serie 5:

i) Contre-exemple : \(a=1, b=1\). Alors \((1+1)^2=4\) et \(1^2+1^2=2\). Donc \(4 \neq 2\).

ii) Contre-exemple : \(x=1, y=-1\). Alors \(|1-1|=0\) et \(|1|+|-1|=2\). Donc \(0 \neq 2\).

iii) Contre-exemple : \(\alpha=0\). Alors \(\frac{\cos 0}{2}=\frac12\) et \(\cos 0=1\). Donc \(\frac12 \neq 1\).

\(p\) : Négation : \( \forall x \in \mathbb{Z} \; (\forall y \in \mathbb{Z}) \quad 2x-3y \neq \sqrt{2} \). Fausse car \(2x-3y\) est entier et \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

\(q\) : Négation : \( \exists y \in \mathbb{R} \; (\forall x \in \mathbb{R}) \quad x^2+xy+y^2 \neq 0 \). Vraie car \(x^2+xy+y^2 = (x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} \geq 0\), et pour \(y \neq 0\), l'expression est \(>0\).

\(r\) : \(xy-x+2y-1=0 \iff y(x+2)=x+1 \iff y=\frac{x+1}{x+2}\) pour \(x \neq -2\). Pour \(x \in [0,2]\), \(y = \frac{x+1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}\). Cette fonction est croissante sur \([0,2]\), et \(y \in [\frac12, \frac34]\). Donc \(r\) est vraie. Négation : \( \exists x \in [0,2] \; (\forall y \in [\frac12,\frac34]) \quad xy-x+2y-1 \neq 0 \).

1) \(P\) est vraie : pour tout \(x \in \mathbb{N}\), \(y=2x+1 \in \mathbb{N}\).
\(Q\) est fausse : pour \(x=2\), \(2=2y+1 \iff y=\frac12 \notin \mathbb{N}\).

2) Les deux propositions sont identiques. \(P\) est vraie : pour tout \(x \in \mathbb{Z}\), \(y=x-3 \in \mathbb{Z}\).

3) \(P\) est fausse : pour \(x=2\), \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
\(Q\) est fausse : \(x^2=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\).

1) Si \(a \neq 0\), alors \(x=-\frac{b}{a}\) est solution, donc \(ax+b=0\) n'est pas vrai pour tout \(x\). Donc \(a=0\), puis \(b=0\).

2) On a \(x^2+y^2 \geq \frac{(2x+4y)^2}{2^2+4^2} = \frac{1}{20}\) d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Donc \(\frac{1}{x^2+y^2} \leq 20\).

3) On a \(a = \frac{(a+b)+(a-b)}{2}\) et \(b = \frac{(a+b)-(a-b)}{2}\). Alors \(ab = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}\). Donc \(|ab| \leq \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{4} \leq \frac{c^2+c^2}{4} = \frac{c^2}{2}\).

1) Contraposée : \(ab+a+b = -1 \iff ab+a+b+1=0 \iff (a+1)(b+1)=0 \iff a=-1 \text{ ou } b=-1\).

2) Contraposée : \(x^2+4x = y^2+4y \iff (x-y)(x+y+4)=0 \iff x=y \text{ ou } x+y=-4\). Mais dans \(\mathbb{Z}^2\), si \(x+y=-4\), cela n'implique pas \(x=y\). Donc l'implication est fausse. Contre-exemple : \(x=1, y=-5\). On a \(1^2+4=5\), \((-5)^2-20=5\), donc \(x^2+4x=y^2+4y\) mais \(x \neq y\).

3) Contraposée : \(a < b \Rightarrow \exists x \in \mathbb{R} : a < x \text{ et } b > x\). On prend \(x = \frac{a+b}{2}\).

1) Par l'absurde : supposons \(x=2k\) solution. Alors \(a(2k)^2+b(2k)+c=0 \iff 4ak^2+2bk+c=0 \iff c = -2(2ak^2+bk)\) est pair, contradiction.

2) \(4x-2y < 0 \iff 2x-y < 0 \iff y > 2x\). \(y-2x \leq -3 \iff y \leq 2x-3\). Impossible car \(y > 2x\) et \(y \leq 2x-3\).

3) On ne peut pas répondre sans figure. En général, si \(I\) est le milieu de \([KR]\), et \(S\) est un point quelconque, le triangle n'est pas nécessairement rectangle.

Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : \((\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2 \leq (1+1+1)(x+y+z)=3\). Donc \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \leq \sqrt{3}\)

1) \(a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\). Comme \(a+b+c>0\), l'égalité est équivalente à \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0 \iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 \iff a=b=c\).

2) Par l'inégalité de Nesbitt : \(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}\). De plus, pour un triangle, \(a < b+c\), donc \(\frac{a}{b+c} < 1\), et la somme est \(< 2\).