serie6:

1) \(\frac{a+b}{2} - a = \frac{b-a}{2} \geq 0\) et \(b - \frac{a+b}{2} = \frac{b-a}{2} \geq 0\). De plus \(\sqrt{ab} \leq b\) car \(ab \leq b^2\).

2) Si \(n\) est pair, \(n=2k\), alors \(n(n+1)=2k(2k+1)\) est pair. Si \(n\) est impair, \(n=2k+1\), alors \(n+1=2k+2=2(k+1)\) est pair.

3) Par l'absurde : supposons \(\sqrt{n^2+1}=k \in \mathbb{N}\). Alors \(k^2-n^2=1 \iff (k-n)(k+n)=1\). Comme \(k-n \in \mathbb{Z}\) et \(k+n \in \mathbb{Z}\), on a \(k-n=1\) et \(k+n=1\) ou \(k-n=-1\) et \(k+n=-1\). La première donne \(k=1, n=0\), impossible car \(n \in \mathbb{N}^*\). La seconde donne \(k=-1, n=0\), impossible.

4) Non, contre-exemple : \(x=-3\), on a \(x<2\) mais \(x^2=9 \not< 4\).

5) Récurrence : initialisation \(n=0\) : \(1 \geq 1\). Hérédité : \((1+a)^{n+1} = (1+a)(1+a)^n \geq (1+a)(1+na) = 1+(n+1)a + na^2 \geq 1+(n+1)a\).

1) Il existe une voiture rapide qui n'est pas rouge.

2) Il existe un triangle rectangle qui ne possède pas d'angle droit.

3) Il existe une prison et un détenu et un gardien tels que le détenu ne déteste pas le gardien.

4) \(\exists x \in \mathbb{Z} \; \forall y \in \mathbb{Z} \; \exists z \in \mathbb{Z} \; (z < y \text{ et } z \geq x+1)\).

5) Tout mouton écossais a tous ses côtés non noirs (ou aucun côté noir).

6) a) \(\overline{P} \text{ ou } \overline{Q}\)
b) \(P \text{ ou } Q\)
c) \(P \text{ et } \overline{Q}\)

a) \(q \Rightarrow p\)

b) \(\overline{p}\)

c) \(\overline{q} \text{ ou } p\)

d) \(\overline{p} \text{ et } \overline{q}\)

1) \(n^3-n = (n-1)n(n+1)\), produit de trois entiers consécutifs, donc divisible par 2 et par 3, donc par 6.

2) Par récurrence : initialisation \(n=0\) : \(0\) divisible par 30. Hérédité : \((n+1)^5-(n+1) = (n^5-n) + 5n^4+10n^3+10n^2+5n\). Le deuxième terme est multiple de 5 et de 6 (car \(n^4+2n^3+2n^2+n = n(n+1)(n^2+n+1)\) est pair).

3) Même méthode, \(n^7-n\) est multiple de 7 (petit théorème de Fermat) et de 6, donc de 42.

1) \(3\) est impair est vraie, \(6\) est premier est fausse. Donc \(V \Rightarrow F\) est fausse.

2) \(\sqrt{2}\) est irrationnel est vraie. \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2-2x-1 > 0\) est fausse (contre-exemple \(x=0\) donne \(-1 > 0\) faux). Donc \(V \Rightarrow F\) est fausse.

3) \(5\) est positif est vraie, \(3\) divise 18 est vraie. Donc \(V \Rightarrow V\) est vraie.

1) a) \(x \in [0,3]\) est nécessaire mais pas suffisante (ex: \(x=0\) ou \(x=2.5\)).
b) \(n\) est divisible par 2 est nécessaire mais pas suffisante (ex: \(n=2\)).

2) a) \(x=1.5\) est suffisante mais pas nécessaire (ex: \(x=1\) est aussi dans [1,2]).
b) \(n=3\) est suffisante mais pas nécessaire (ex: \(n=6\) divise 6).

1) \(\Delta = 1 - 24 = -23 < 0\) et \(a=2>0\), donc \(2x^2+x+3 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Vraie.

2) Contre-exemple : \(a=0, b=0\) donne \(0=0\). Donc fausse.

3) \(\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}\). Pour \(n=1\), \(\frac{2}{1}=2 \in \mathbb{N}\). Donc fausse.

\(\overline{Q}\) : \((\forall x \in \mathbb{R}) : x < 2 \text{ et } x^2 < 2019\) (car \(\overline{A \Rightarrow B} = A \text{ et } \overline{B}\)).

\(\overline{P}\) : \((\exists x \in \mathbb{R}) : x \neq 2 \text{ et } x^2 = 4\) (car \(\overline{A \Rightarrow B} = A \text{ et } \overline{B}\)).

1) \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0\)

2) \(\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{Z}, x \times n > 1\)

3) \(\forall n \in \mathbb{N}, \exists ! x \in \mathbb{R}, x > n\)

1) \(\forall n \in \mathbb{N}, (n \text{ est pair} \text{ ou } n \text{ est impair})\). Vraie.

2) \((\forall n \in \mathbb{N}, n \text{ est pair}) \text{ ou } (\forall n \in \mathbb{N}, n \text{ est impair})\). Fausse (ni l'un ni l'autre n'est vrai).

3) \(\exists n \in \mathbb{N}, \forall m \in \mathbb{N}, n > m\). Fausse (aucun entier n'est plus grand que tous les autres).

1) \(\exists c \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}, f(x)=c\)

2) \(\forall c \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R}, f(x) \neq c\) ou \(\exists (x,y) \in \mathbb{R}^2, f(x) \neq f(y)\)

Contraposée : \(x^2-3x = y^2-3y \iff (x-y)(x+y-3)=0\). Comme \(x,y > 1\), \(x+y-3 > -1\) mais peut être nul si \(x+y=3\). Donc l'implication n'est pas vraie en général. Contre-exemple : \(x=1.5, y=1.5\) (ou \(x=1, y=2\) avec \(x\) et \(y\) dans \(]1;+\infty[\) ? \(1 \notin ]1;+\infty[\)).

1) Résolvons : \(|x^2-x| = -3x\). Donc \(x \leq 0\). Si \(x=0\), \(0=0\). Donc \(x=0\) est solution. Vraie.

2) \(x^2+3x = x(x+3)=0 \Rightarrow x=0\) ou \(x=-3\). Aucun n'est \(>0\). Fausse.