📌 Exercice 1

Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :

  • 1) \( (\exists y \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R})\; x^2 \geq 10y \)
  • 2) \( (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})\; x+y > 2 \)
  • 3) \( (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})\; x^2+y \leq xy \)
  • 4) \( (\forall x \in \mathbb{R}^+)\; x+\frac{1}{x} \geq 2 \)
  • 5) \( (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; x+2y \leq 1 \)
  • 6) \( (\forall a \in \mathbb{R})(\exists b \in \mathbb{R})\; a^2+2b^2 > 4ab \)
✅ Corrigé

1) \( \overline{P} : (\forall y \in \mathbb{R})(\exists x \in \mathbb{R})\; x^2 < 10y \). Vraie (prendre \(y=0\), \(x^2 \geq 0 = 10y\)).

2) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; x+y \leq 2 \). Vraie (prendre \(y = x+1\), alors \(x+y = 2x+1 > 2\) pour \(x > \frac12\)).

3) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; x^2+y > xy \). Fausse (contre-exemple : \(x=2\), \(4+y > 2y \iff y < 4\), donc il existe \(y\)).

4) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R}^*)\; x+\frac{1}{x} < 2 \). Fausse (car pour \(x>0\), \(x+\frac{1}{x} \geq 2\), et pour \(x<0\), \(x+\frac{1}{x} \leq -2 < 2\)).

5) \( \overline{P} : (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})\; x+2y > 1 \). Vraie (prendre \(y=1\), alors \(x+2 > 1\) pour tout \(x\)).

6) \( \overline{P} : (\exists a \in \mathbb{R})(\forall b \in \mathbb{R})\; a^2+2b^2 \leq 4ab \). Fausse (pour \(a=1\), \(1+2b^2 \leq 4b \iff 2b^2-4b+1 \leq 0\), il existe des \(b\)).

📌 Exercice 2

Compléter les énoncés suivants pour avoir des propositions vraies :

  • 1) \( (\forall x \in \mathbb{R})\; x^2 \geq 4 \iff \dots \)
  • 2) \( (\forall x \in \mathbb{R}^+)\; \sqrt{x} \leq 3 \iff \dots \)
  • 3) \( (\forall x \in \mathbb{R})\; x \leq 2x^2 \iff x \in \dots \)
  • 4) \( (\forall x \in \mathbb{R}^*)\; \frac{1}{x} > 3 \iff \dots \)
✅ Corrigé

1) \( x \in ]-\infty; -2] \cup [2; +\infty[ \)

2) \( 0 \leq x \leq 9 \)

3) \( x \in ]-\infty; 0] \cup [\frac12; +\infty[ \)

4) \( 0 < x < \frac13 \)

📌 Exercice 3

1) Montrer que : \( (\forall (a,b) \in [2;+\infty[^2)\; a^2-4a = b^2-4b \Rightarrow a=b \)
2) Soient \(a,b \in \mathbb{R}^*\) tels que \(a-b \neq 0\). Montrer que \( \frac{a+b}{a-b}=3 \Rightarrow a=2b \).
3) \( (\forall x \in \mathbb{R}^*)(\forall y \in \mathbb{R}^*)\; \left(x+\frac{1}{x} = y+\frac{1}{y}\right) \Rightarrow (x=y \text{ ou } xy=1) \)
4) a) Quelle est la négation de \( P : (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})\; x^2+y-2xy=0 \) ?
b) Montrer que \(P\) est fausse.
✅ Corrigé

1) \( a^2-4a = b^2-4b \iff (a-b)(a+b-4)=0 \). Comme \(a,b \geq 2\), \(a+b-4 \geq 0\). Si \(a+b-4=0\), alors \(a=b=2\). Sinon \(a=b\).

2) \( \frac{a+b}{a-b}=3 \iff a+b = 3a-3b \iff 4b = 2a \iff a=2b \).

3) \( x+\frac{1}{x} = y+\frac{1}{y} \iff (x-y)\left(1-\frac{1}{xy}\right)=0 \iff x=y \text{ ou } xy=1 \).

4) a) \( \overline{P} : (\exists x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; x^2+y-2xy \neq 0 \).
b) Pour \(x=1\), \(1+y-2y = 1-y\). Pour \(y=1\), on a \(0\). Donc \( \exists x\) tel que pour tout \(y\), \(x^2+y-2xy=0\) est faux.

📌 Exercice 4 – Contraposée

1) \( (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; (x \neq 1 \text{ et } y \neq 1) \Rightarrow (xy+1 \neq x+y) \)
2) \( (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R})\; (x \neq y) \Rightarrow ((x+1)(y-1) \neq (x-1)(y+1)) \)
3) \( (\forall x \in \mathbb{N}^*)(\forall y \in \mathbb{N}^*)\; xy=1 \Rightarrow (x=1 \text{ et } y=1) \)
4) \( (\forall a \in \mathbb{R}^*)\; a^4+8a^3+18a^2+8a > 3 \Rightarrow a+2 > \sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{2}}} \)
✅ Corrigé

1) Contraposée : \( xy+1 = x+y \iff (x-1)(y-1)=0 \iff x=1 \text{ ou } y=1 \).

2) Contraposée : \( (x+1)(y-1) = (x-1)(y+1) \iff xy-x+y-1 = xy+x-y-1 \iff -x+y = x-y \iff 2y = 2x \iff x=y \).

3) Contraposée : \( x \neq 1 \text{ ou } y \neq 1 \Rightarrow xy \neq 1 \). Si \(x \geq 2\) ou \(y \geq 2\), alors \(xy \geq 2\).

4) \(a^4+8a^3+18a^2+8a = (a+2)^4 - 16\). L'implication devient \((a+2)^4 - 16 > 3 \iff (a+2)^4 > 19\), donc \(a+2 > \sqrt[4]{19}\), qui est plus grand que \(\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{2}}}\) (environ \(\sqrt{3+\sqrt{3.586}} \approx \sqrt{4.894} \approx 2.21\), tandis que \(\sqrt[4]{19} \approx 2.09\)).

📌 Exercice 5 – Récurrence

  • 1) \( (\forall n \in \mathbb{N}^*)\; 11 \mid 3^{2n} + 2^{6n-5} \)
  • 2) \( (\forall n \in \mathbb{N})\; 17 \mid 3 \times 5^{2n+1} + 2^{3n+1} \)
  • 3) \( \sum_{k=0}^{n} 3^k = \frac{1}{2}(3^{n+1}-1) \)
  • 4) \( (\forall n \in \mathbb{N}^*)\; 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \leq 2 - \frac{1}{n} \)
  • 5) \( \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2} \)
  • 6) \( (\forall n \in \mathbb{N}^*)\; \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq \frac{n+1}{2} \)
  • 7) \( (\forall n \in \mathbb{N}^*)\; 2^n(1 \times 3 \times \dots \times (2n-1)) = (n+1)(n+2) \times \dots \times (n+n) \)
  • 8) Soit \(x \in \mathbb{R}^*\). a) Montrer que \( (\forall n \in \mathbb{N})\; (1+x)^n \geq 1+nx \).
    b) Déduire que \( (\forall n \in \mathbb{N}^*)\; (1+n)^n \geq 2n^n \).
✅ Corrigé

1) Initialisation \(n=1\) : \(3^2 + 2^{1} = 9+2=11\). Hérédité : \(3^{2(n+1)} + 2^{6n+1} = 9 \times 3^{2n} + 64 \times 2^{6n-5} = 9(11k - 2^{6n-5}) + 64 \times 2^{6n-5} = 99k + 55 \times 2^{6n-5} = 11(9k + 5 \times 2^{6n-5})\).

2) Initialisation \(n=0\) : \(3 \times 5^{1} + 2^{1} = 15+2=17\). Hérédité : \(3 \times 5^{2n+3} + 2^{3n+4} = 25 \times 3 \times 5^{2n+1} + 8 \times 2^{3n+1} = 25(17k - 2^{3n+1}) + 8 \times 2^{3n+1} = 425k - 17 \times 2^{3n+1} = 17(25k - 2^{3n+1})\).

3) Somme géométrique classique.

4) Initialisation \(n=1\) : \(1 \leq 1\). Hérédité : \(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{n+1}\).

5) Initialisation \(n=1\) : \(1 = 1\). Hérédité : \(\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1}k^2 = (-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2} + (-1)^n(n+1)^2 = (-1)^{n+2}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).

6) Initialisation \(n=1\) : \(1 \leq 1\). Hérédité : \(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} \leq \frac{n+1}{2} + \frac{1}{n+1} \leq \frac{n+2}{2} \iff \frac{1}{n+1} \leq \frac12 \iff n \geq 1\).

7) Initialisation \(n=1\) : \(2 \times 1 = 2\). Hérédité : \(2^{n+1}(1 \times 3 \times \dots \times (2n+1)) = 2 \times 2^n \times (1 \times 3 \times \dots \times (2n-1)) \times (2n+1) = 2 \times (n+1)(n+2)\dots(n+n) \times (2n+1) = (n+2)(n+3)\dots(n+n+1)\).

8) a) Inégalité de Bernoulli : initialisation \(n=0\) : \(1 \geq 1\). Hérédité : \((1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geq (1+x)(1+nx) = 1+(n+1)x+nx^2 \geq 1+(n+1)x\).
b) En prenant \(x=n\) : \((1+n)^n \geq 1+n^2 \geq 2n^n\) pour \(n \geq 1\).

📚 Exercices de logique – Synthèse