Conditions d’achèvement
A. Généralités sur les ensembles
-
- 1) Détermination d’un ensemble (extension / compréhension)
- 2) Inclusion – Égalité de deux ensembles
- 3) Ensemble des parties d’un ensemble
- 4) Complémentaire d’un ensemble
- B. Opérations sur les ensembles
- 1) Intersection et réunion de deux ensembles
- 2) Propriétés (commutativité, associativité, distributivité, lois de Morgan)
- 3) Différence de deux ensembles
- 4) Différence symétrique de deux ensembles
- C. Produit cartésien de deux ensembles
❶ A) GÉNÉRALITÉS SUR LES ENSEMBLES
1) Détermination d’un ensemble
📌 Définition : Il existe deux manières pour définir un ensemble \(E\) :
- En extension : on donne la liste de tous ses éléments.
- En compréhension : on donne une propriété \(p(x)\) qui caractérise ses éléments : \(E = \{x \mid p(x)\}\).
🔹 Exemples :
- Ensemble des diviseurs de 6 :
En extension : \(E = \{1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6\}\)
En compréhension : \(E = \{d \in \mathbb{Z} \mid d \text{ divise } 6\}\) - Entiers naturels dont le carré ≤ 37 :
En extension : \(H = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}\)
En compréhension : \(H = \{n \in \mathbb{N} \mid n^2 \leq 37\}\) - Entiers naturels pairs :
En extension : \(P = \{0; 2; 4; 6; \dots\}\)
En compréhension : \(P = \{2k \mid k \in \mathbb{N}\}\)
✏️ Exercice : Écrire en extension les ensembles suivants :
- \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x-1| \leq 5\} = \{-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}\)
- \(G = \{n \in \mathbb{N} \mid \frac{18}{n+1} \in \mathbb{N}\} = \{0; 1; 2; 5; 8; 17\}\)
- \(B = \{(x; y) \in \mathbb{N}^2 \mid 0 < 2xy < 7\} = \{(1;1); (1;2); (2;1); (1;3); (3;1)\}\)
2) Inclusion – Égalité de deux ensembles
📌 Définition : Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles.
- \(A \subset B \iff (x \in A \Rightarrow x \in B)\)
- \(A = B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)\)
- \(A \not\subset B \iff \exists x \in A \text{ et } x \notin B\)
🔹 Exemple : Pour \(E = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\), on a :
- \(\{1; 2\} \subset E\)
- \(\{1; 6; 5\} \subset E\)
- \(\{1; 8\} \not\subset E\)
E A B \(A \subset E\) mais \(B \not\subset E\)
3) Ensemble des parties d’un ensemble
📌 Définition : L'ensemble des parties de \(E\), noté \(\mathcal{P}(E)\), est l'ensemble de toutes les parties de \(E\) : \[ \mathcal{P}(E) = \{X \mid X \subset E\} \]
✏️ Remarques :
- \(A \in \mathcal{P}(E) \iff A \subset E\)
- \(\emptyset \in \mathcal{P}(E)\) et \(E \in \mathcal{P}(E)\)
- Si \(E\) a \(n\) éléments, alors \(\mathcal{P}(E)\) a \(2^n\) éléments.
🔹 Exemple : Pour \(E = \{1; 2; 3\}\) : \[ \mathcal{P}(E) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1;2\}, \{1;3\}, \{2;3\}, \{1;2;3\}\} \]
E {1;2} {2;3} {1;3} Chaque sous-ensemble est un élément de \(\mathcal{P}(E)\)
4) Complémentaire d’un ensemble
📌 Définition : Soit \(A\) une partie de \(E\). Le complémentaire de \(A\) dans \(E\) est : \[ \overline{A} = C_E A = \{x \in E \mid x \notin A\} \]
E A \(\overline{A}\) = zone en dehors du cercle
✏️ Propriétés :
- \(\overline{\overline{A}} = A\)
- \(\overline{E} = \emptyset\) et \(\overline{\emptyset} = E\)
- \(A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}\)
🔹 Exemples :
- \(C_{\mathbb{R}} \mathbb{Q} = \mathbb{I}\) (irrationnels)
- \(C_{\mathbb{R}} \mathbb{R}^+ = \mathbb{R}^{-*}\)
- \(C_{\mathbb{R}} [-1; 1] = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[\)
❷ B) OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES
1) Intersection et réunion de deux ensembles
📌 Intersection : \(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}\)
📌 Réunion : \(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\)
📌 Réunion : \(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\)
\(A \cap B\)
\(A \cup B\)
🔹 Exemples :
- \(\{1; 2; 3\} \cap \{2; 3; 4\} = \{2; 3\}\)
- \(\{1; 2; 3\} \cup \{2; 3; 4\} = \{1; 2; 3; 4\}\)
- \(]0; 5[ \cap ]-3; 3[ = ]0; 3[\)
- \(]0; 5[ \cup ]-3; 3[ = ]-3; 5[\)
2) Propriétés des opérations
✏️ Commutativité :
- \(A \cap B = B \cap A\)
- \(A \cup B = B \cup A\)
✏️ Associativité :
- \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C\)
- \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C\)
✏️ Distributivité :
- \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
- \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
✏️ Lois de Morgan :
- \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
- \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
🔹 Illustration des lois de Morgan :
📌 Lois de Morgan : Pour toutes parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble \(E\) :
\[ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \]
\[ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \]
3) Différence de deux ensembles
📌 Définition : La différence de \(A\) et \(B\) (dans cet ordre) est : \[ A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \notin B\} \]
\(A \setminus B\) : éléments de A qui ne sont pas dans B
🔹 Exemples :
- \(\{1;2;3;4;5\} \setminus \{1;2;3;9\} = \{4;5\}\)
- \(]0;5[ \setminus ]-3;3[ = [3;5[\)
- \(]-3;3[ \setminus ]0;5[ = ]-3;0]\)
4) Différence symétrique de deux ensembles
📌 Définition : La différence symétrique de \(A\) et \(B\) est : \[ A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \] C'est l'ensemble des éléments qui appartiennent à exactement un des deux ensembles.
🔹 Exemple : \(A = \{1;2;3;4;5;6\}\), \(B = \{3;4;5;6;7;8;9\}\)
\(A \setminus B = \{1;2\}\), \(B \setminus A = \{7;8;9\}\)
\(A \triangle B = \{1;2;7;8;9\}\)
\(A \setminus B = \{1;2\}\), \(B \setminus A = \{7;8;9\}\)
\(A \triangle B = \{1;2;7;8;9\}\)
❸ C) PRODUIT CARTÉSIEN DE DEUX ENSEMBLES
5) Produit cartésien de deux ensembles
📌 Définition : Le produit cartésien de \(A\) et \(B\) est l'ensemble des couples \((x,y)\) tels que \(x \in A\) et \(y \in B\) : \[ A \times B = \{(x,y) \mid x \in A \text{ et } y \in B\} \] \[ B \times A = \{(x,y) \mid x \in B \text{ et } y \in A\} \]
✏️ Remarques :
- \((x,y) \in A \times B \iff x \in A \text{ et } y \in B\)
- Si \(A = B\), le produit cartésien est noté \(A^2\)
- \(A \times B \neq B \times A\) en général
- \(\mathbb{R}^2 = \{(x,y) \mid x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}\)
🔹 Exemple : Soit \(A = \{1; 2\}\) et \(B = \{a; b; c\}\)
\[ A \times B = \{(1;a); (1;b); (1;c); (2;a); (2;b); (2;c)\} \]
\[ A \times B = \{(1;a); (1;b); (1;c); (2;a); (2;b); (2;c)\} \]
✏️ Propriétés du produit cartésien :
- \((A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)\)
- \((A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)\)
- \(A \times B = C \times D \iff A = C \text{ et } B = D\) (si non vides)
📌 Exercice 1 – Inclusion et égalité
Soit \(A = \{x \in \mathbb{R} \mid |1-\frac{x}{2}| \leq 1\}\) et \(B = [0;4]\). Montrer que \(A = B\).
✅ Corrigé
\(|1-\frac{x}{2}| \leq 1 \iff -1 \leq 1-\frac{x}{2} \leq 1 \iff -2 \leq -\frac{x}{2} \leq 0 \iff 0 \leq x \leq 4\).
Donc \(A = [0;4] = B\).
📌 Exercice 2 – Produit cartésien
Soit \(F = \{(x;y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y=0\}\) et \(E = \{(x;y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2-2y^2-xy=0\}\).
1) Montrer que \(F \subset E\).
2) Déterminer \(y\) tel que \((1;y) \in E\).
3) A-t-on \(E = F\) ?
1) Montrer que \(F \subset E\).
2) Déterminer \(y\) tel que \((1;y) \in E\).
3) A-t-on \(E = F\) ?
✅ Corrigé
1) Si \((x;y) \in F\), alors \(y=-x\). On a \(x^2-2(-x)^2-x(-x) = x^2-2x^2+x^2 = 0\). Donc \((x;y) \in E\). Ainsi \(F \subset E\).
2) \((1;y) \in E \iff 1^2-2y^2-1 \times y = 0 \iff -2y^2-y+1=0 \iff 2y^2+y-1=0\).
\(\Delta = 1+8=9\), donc \(y = \frac{-1 \pm 3}{4}\). Soit \(y = \frac12\) ou \(y = -1\).
3) \(E \neq F\) car \((1;\frac12) \in E\) mais \((1;\frac12) \notin F\) (car \(1+\frac12 \neq 0\)).
📌 Exercice 3 – Différence symétrique
On pose \(A = \{n \in \mathbb{N} \mid 4^{n^2-4n+10} \in \mathbb{N}\}\) et \(B = \{n \in \mathbb{N} \mid n \neq 0\}\).
Déterminer \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\) et \(A \triangle B\).
Déterminer \(A \cap B\), \(A \cup B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\) et \(A \triangle B\).
✅ Corrigé
On a \(4^{n^2-4n+10} = 4^{(n-2)^2+6} = 4^6 \times 4^{(n-2)^2}\) qui est toujours un entier naturel.
Donc \(A = \mathbb{N}\).
\(B = \mathbb{N}^*\).
Donc : \(A \cap B = \mathbb{N}^*\), \(A \cup B = \mathbb{N}\), \(A \setminus B = \{0\}\), \(B \setminus A = \emptyset\), \(A \triangle B = \{0\}\).