متطلبات الإكمال
📌 Exercice 1
Déterminer en extension les ensembles ci-dessous :
1) \( A = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{2|x|-1}{3} \leq 1\} \)
2) \( E = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{x+1}{3} > 1\} \)
3) \( C = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{x+6}{x+3} \in \mathbb{Z}\} \)
4) \( D = \{x \in \mathbb{Z} \mid \frac{\pi}{4} < \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}\} \) (à reformuler)
5) \( E = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid xy - 7x - 5y + 9 = 0\} \)
✅ Corrigé
1) \( \frac{2|x|-1}{3} \leq 1 \iff 2|x|-1 \leq 3 \iff 2|x| \leq 4 \iff |x| \leq 2 \).
Donc \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \).
2) \( \frac{x+1}{3} > 1 \iff x+1 > 3 \iff x > 2 \). Donc \( E = \{3, 4, 5, \dots\} \).
3) \( \frac{x+6}{x+3} = 1 + \frac{3}{x+3} \). Pour que ce soit un entier, il faut que \( x+3 \) divise 3.
\( x+3 \in \{-3, -1, 1, 3\} \Rightarrow x \in \{-6, -4, -2, 0\} \).
Donc \( C = \{-6, -4, -2, 0\} \).
4) L'énoncé semble incomplet. \( \frac{\pi}{4} < \frac{k\pi}{3} \iff \frac14 < \frac{k}{3} \iff k > \frac34 \).
Donc \( k \in \mathbb{Z}, k \geq 1 \). Alors \( D = \{x \in \mathbb{Z} \mid x = \frac{k\pi}{3}, k \geq 1\} \) n'est pas un sous-ensemble de \( \mathbb{Z} \). L'énoncé est probablement \( D = \{k \in \mathbb{Z} \mid \frac{\pi}{4} < \frac{k\pi}{3}\} = \{1, 2, 3, \dots\} \).
5) \( xy - 7x - 5y + 9 = 0 \iff xy - 7x - 5y + 35 = 26 \iff (x-5)(y-7) = 26 \).
Les diviseurs de 26 dans \( \mathbb{Z} \) sont \( \pm1, \pm2, \pm13, \pm26 \).
\( E = \{(5+d, 7+\frac{26}{d}) \mid d \in \{\pm1, \pm2, \pm13, \pm26\}\} \).
Donc \( E = \{(6,33), (4,-19), (7,20), (3,-6), (18,9), (-8,5), (31,8), (-21,6)\} \).
📌 Exercice 2
On pose \( A = \{3x+2 \mid 2x+2 \in \mathbb{R}\} \) et \( B = \{3x+4 \mid 2x+2 \in \mathbb{R}\} \). Montrer que \( A = B \).
On pose \( A = \{6k' + 1 \mid k' \in \mathbb{Z}\} \) et \( B = \{3k - 2 \mid k \in \mathbb{Z}\} \). Montrer que \( A \subseteq B \).
✅ Corrigé
1) \( A = \{3x+2 \mid x \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R} \) car \( 3x+2 \) parcourt tout \( \mathbb{R} \) quand \( x \) parcourt \( \mathbb{R} \).
De même, \( B = \{3x+4 \mid x \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R} \). Donc \( A = B = \mathbb{R} \).
2) \( A = \{6k' + 1 \mid k' \in \mathbb{Z}\} \) est l'ensemble des entiers congrus à 1 modulo 6.
\( B = \{3k - 2 \mid k \in \mathbb{Z}\} \) est l'ensemble des entiers congrus à \( -2 \equiv 1 \) modulo 3.
Si \( n \in A \), alors \( n = 6k' + 1 = 3(2k') + 1 = 3k - 2 \) avec \( k = 2k' + 1 \). Donc \( n \in B \).
Ainsi \( A \subseteq B \).
📌 Exercice 3
On considère \( E = \{3k+4 \mid 12 \in \mathbb{Z}\} \) et \( F = \{6k+1 \mid 12 \in \mathbb{Z}\} \).
a) Vérifiez que \( \frac13 \in E \) et \( \frac13 \notin F \).
b) Montrer que \( F \subseteq E \). A-t-on \( E = F \) ?
✅ Corrigé
a) L'énoncé semble confus. \( E = \{3k+4 \mid 12 \in \mathbb{Z}\} \) n'a pas de sens (la condition ne dépend pas de \( k \)).
Il s'agit probablement de \( E = \{\frac{3k+4}{12} \mid k \in \mathbb{Z}\} \) et \( F = \{\frac{6k+1}{12} \mid k \in \mathbb{Z}\} \).
\( \frac13 = \frac{4}{12} \in E \) (prendre \( k=0 \)).
\( \frac13 = \frac{4}{12} \notin F \) car \( 6k+1 = 4 \iff k = \frac12 \notin \mathbb{Z} \).
b) \( F \subseteq E \) car \( 6k+1 = 3(2k) + 1 \), donc \( \frac{6k+1}{12} = \frac{3(2k)+1}{12} \).
Mais \( E \neq F \) car \( \frac13 \in E \) mais \( \frac13 \notin F \).
📌 Exercice 4
Soit \( E = \{a + b\sqrt{2} \mid (a,b) \in \mathbb{Z}^2\} \).
1) Montrer que \( E \neq \emptyset \).
2) Soit \( u \in E \). Montrer que \( u^2 \in E \).
3) Montrer par récurrence que \( (\forall n \in \mathbb{N}) \; u^n \in E \).
✅ Corrigé
1) \( 0 = 0 + 0\sqrt{2} \in E \) avec \( a=0, b=0 \). Donc \( E \neq \emptyset \).
2) Soit \( u = a + b\sqrt{2} \in E \). Alors \( u^2 = (a+b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2} \).
Comme \( a^2 + 2b^2 \in \mathbb{Z} \) et \( 2ab \in \mathbb{Z} \), on a \( u^2 \in E \).
3) Par récurrence :
- \( n=0 \) : \( u^0 = 1 = 1 + 0\sqrt{2} \in E \).
- Hérédité : si \( u^n = a_n + b_n\sqrt{2} \in E \), alors \( u^{n+1} = u^n \cdot u = (a_n a + 2b_n b) + (a_n b + b_n a)\sqrt{2} \in E \).
📌 Exercice 5
Soient \( a, b \in \mathbb{R} \). On pose \( E = \{n \in \mathbb{Z} \mid E(na) = E(nb)\} \).
1) Supposons \( a < b \) et \( \alpha = \frac{1}{b-a} \). Montrer que \( E \subseteq ]-\alpha, \alpha[ \).
2) En déduire que si \( E = \mathbb{Z} \) alors \( a = b \).
✅ Corrigé
1) Si \( n \in E \), alors \( E(na) = E(nb) = k \in \mathbb{Z} \).
On a \( k \leq na < k+1 \) et \( k \leq nb < k+1 \).
Donc \( n(b-a) < 1 \Rightarrow n < \frac{1}{b-a} = \alpha \).
Et \( n(b-a) > -1 \Rightarrow n > -\frac{1}{b-a} = -\alpha \).
Ainsi \( n \in ]-\alpha, \alpha[ \).
2) Si \( E = \mathbb{Z} \), alors \( \mathbb{Z} \subseteq ]-\alpha, \alpha[ \). Ceci est impossible si \( \alpha \) est fini.
Donc \( \alpha = +\infty \iff b-a = 0 \iff a = b \).
📌 Exercice 6
Soient \( A = \{1,4\} \), \( B = \{1,2,a,b\} \), \( E = \{1,2,3,4,a,b,c\} \).
1) Déterminer \( X \in \mathcal{P}(E) \) tel que \( A \cap X = A \).
2) Déterminer \( Y \in \mathcal{P}(E) \) tel que \( A \cup Y = A \).
✅ Corrigé
1) \( A \cap X = A \iff A \subseteq X \). Donc \( X \) doit contenir \( 1 \) et \( 4 \).
Les autres éléments sont libres. \( X \in \mathcal{P}(E) \) tel que \( \{1,4\} \subseteq X \).
Exemple : \( X = \{1,4\} \) ou \( X = \{1,2,3,4,a,b,c\} \).
2) \( A \cup Y = A \iff Y \subseteq A \). Donc \( Y \subset \{1,4\} \).
Les possibilités sont \( Y = \emptyset, \{1\}, \{4\}, \{1,4\} \).
📌 Exercice 7
On pose \( A = \{\sqrt{n^2+1} - n \mid n \in \mathbb{N}\} \).
1) Montrer que \( A \subseteq [0,1] \).
2) Résoudre dans \( \mathbb{N} \) l'équation \( \sqrt{n^2+1} - n = \frac12 \). A-t-on \( A = ]0,1[ \) ?
✅ Corrigé
1) \( \sqrt{n^2+1} > n \) donc \( \sqrt{n^2+1} - n > 0 \).
\( \sqrt{n^2+1} - n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n} \leq 1 \).
Donc \( A \subseteq [0,1] \).
2) \( \sqrt{n^2+1} - n = \frac12 \iff \sqrt{n^2+1} = n + \frac12 \).
En élevant au carré : \( n^2+1 = n^2 + n + \frac14 \iff n = \frac34 \notin \mathbb{N} \).
Donc pas de solution dans \( \mathbb{N} \). Ainsi \( A \neq ]0,1[ \) (par exemple \( \frac12 \notin A \)).
📌 Exercice 8
On considère \( E = \{3k+4 \mid 12 \in \mathbb{Z}\} \) et \( F = \{6k+1 \mid 12 \in \mathbb{Z}\} \).
a) Vérifiez que \( \frac13 \in E \) et \( \frac13 \notin F \).
b) Montrer que \( F \subseteq E \). A-t-on \( E = F \) ?
✅ Corrigé
Comme pour l'exercice 3, il s'agit probablement de \( E = \{\frac{3k+4}{12} \mid k \in \mathbb{Z}\} \) et \( F = \{\frac{6k+1}{12} \mid k \in \mathbb{Z}\} \).
a) \( \frac13 = \frac{4}{12} \in E \) (prendre \( k=0 \)).
\( \frac13 = \frac{4}{12} \notin F \) car \( 6k+1 = 4 \iff k = \frac12 \notin \mathbb{Z} \).
b) \( F \subseteq E \) car \( 6k+1 = 3(2k) + 1 \).
\( E \neq F \) car \( \frac13 \in E \) mais \( \frac13 \notin F \).