Completion requirements
📌 Exercice 1
Déterminer en extension les ensembles suivants :
1) \( A = \{-3t + 7 \mid t \in [-1, 2]\} \)
2) \( B = \{x^2 - 4x + 1 \mid x \in [0, 4]\} \)
3) \( D = \left\{ \frac{2x+3}{x+2} \mid x \in [-2, 5] \right\} \)
✅ Corrigé
1) \( f(t) = -3t + 7 \) est décroissante sur \([-1, 2]\).
\( f(-1) = 3+7 = 10 \) et \( f(2) = -6+7 = 1 \).
Donc \( A = [1, 10] \).
2) \( f(x) = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3 \).
Sur \([0, 4]\), le minimum est \(-3\) (en \(x=2\)), le maximum est \(1\) (en \(x=0\) ou \(x=4\)).
Donc \( B = [-3, 1] \).
3) \( f(x) = \frac{2x+3}{x+2} = 2 - \frac{1}{x+2} \).
Sur \([-2, 5]\), la fonction est croissante (car \( \frac{1}{x+2} \) est décroissante).
En \(x \to -2^+\), \( f(x) \to -\infty \). En \(x=5\), \( f(5) = \frac{13}{7} \).
Donc \( D = ]-\infty, \frac{13}{7}] \).
📌 Exercice 2
On considère \( A = \left\{ \frac{2k+1}{4} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \) et \( B = \left\{ \frac{5k'+4}{3} \mid k' \in \mathbb{Z} \right\} \).
Montrer que \( A \cap B = \emptyset \) et \( B \cap \mathbb{N} \neq \emptyset \).
✅ Corrigé
Si \( x \in A \cap B \), alors \( \frac{2k+1}{4} = \frac{5k'+4}{3} \).
Donc \( 3(2k+1) = 4(5k'+4) \iff 6k+3 = 20k'+16 \iff 6k - 20k' = 13 \).
Le membre de gauche est pair, mais 13 est impair. Contradiction. Donc \( A \cap B = \emptyset \).
\( B \cap \mathbb{N} \neq \emptyset \) car pour \( k'=1 \), \( \frac{5+4}{3} = 3 \in \mathbb{N} \).
📌 Exercice 3
On pose \( A = \{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\} \) et \( B = \left\{ \frac{2k'-3}{5} \mid k' \in \mathbb{Z} \right\} \).
1) Montrer que \( A \subset B \) et \( A \neq B \).
2) Déterminer \( \overline{A} \) le complémentaire de \( A \) dans \( \mathbb{Z} \).
✅ Corrigé
1) \( A = \{2k+1 \mid k \in \mathbb{Z}\} \) est l'ensemble des entiers impairs.
\( B = \left\{ \frac{2k'-3}{5} \mid k' \in \mathbb{Z} \right\} \) est l'ensemble des nombres de la forme \( \frac{2k'-3}{5} \).
Pour \( k' = 5k+2 \), on a \( \frac{2(5k+2)-3}{5} = \frac{10k+4-3}{5} = \frac{10k+1}{5} = 2k + \frac15 \), qui n'est pas entier.
Pour \( k' = 5k+4 \), \( \frac{2(5k+4)-3}{5} = \frac{10k+8-3}{5} = \frac{10k+5}{5} = 2k+1 \).
Donc \( A \subset B \). Mais \( \frac{1}{5} \in B \) (pour \( k'=2 \)) mais \( \frac15 \notin A \). Donc \( A \neq B \).
2) \( \overline{A} = \mathbb{Z} \setminus A = \{2k \mid k \in \mathbb{Z}\} \), l'ensemble des entiers pairs.
📌 Exercice 4
On considère \( A = \{2p+1 \mid p \in \mathbb{Z}\} \) et \( B = \{3q+2 \mid q \in \mathbb{Z}\} \).
Déterminer \( A \cap B \).
✅ Corrigé
\( A \) est l'ensemble des entiers impairs. \( B \) est l'ensemble des entiers congrus à \( 2 \) modulo \( 3 \).
\( A \cap B = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \text{ est impair et } n \equiv 2 \pmod 3\} \).
Les entiers congrus à 2 modulo 3 sont : \( \dots, -4, -1, 2, 5, 8, 11, \dots \).
Parmi eux, les impairs sont \( \dots, -1, 5, 11, 17, \dots \).
Donc \( A \cap B = \{6k+5 \mid k \in \mathbb{Z}\} = \{6k-1 \mid k \in \mathbb{Z}\} \).
📌 Exercice 5
On pose \( A = \left\{ \frac{7\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \), \( B = \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{6} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \), \( C = \left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{6} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \).
Montrer que \( A \subset B \) et \( B \cap C = \emptyset \).
✅ Corrigé
\( A \subset B \) :
Un élément de \( A \) est de la forme \( \frac{7\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} = \frac{7\pi}{12} + \frac{4k\pi}{12} = \frac{(4k+7)\pi}{12} \).
Un élément de \( B \) est de la forme \( \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2k\pi}{12} = \frac{(2k+3)\pi}{12} \).
Il faut que \( 4k+7 \) soit de la forme \( 2k'+3 \). On a \( 4k+7 = 2(2k+2) + 3 \). Donc avec \( k' = 2k+2 \), on obtient \( \frac{(4k+7)\pi}{12} \in B \).
\( B \cap C = \emptyset \) :
Un élément de \( B \) est de la forme \( \frac{(2k+3)\pi}{12} \).
Un élément de \( C \) est de la forme \( \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{6} = \frac{4\pi}{12} + \frac{2k\pi}{12} = \frac{(2k+4)\pi}{12} \).
Pour qu'il y ait intersection, il faut \( 2k+3 = 2k'+4 \iff 2(k-k') = 1 \), impossible dans \( \mathbb{Z} \).
Donc \( B \cap C = \emptyset \).
📌 Exercice 6
On considère \( E = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 25\} \), \( F = E \cap [-3, 5] \), \( G = E \cap [-2, 4] \).
1) Déterminer en extension \( F, E, G, \overline{G}, \overline{F} \).
2) Déterminer en extension les complémentaires dans \( E \).
✅ Corrigé
1) \( E \) : \( x^2 \leq 25 \iff -5 \leq x \leq 5 \). Donc \( E = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \).
\( F \) : \( F = E \cap [-3, 5] = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \).
\( G \) : \( G = E \cap [-2, 4] = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \).
\( \overline{G} \) (dans \( E \)) : \( E \setminus G = \{-5, -4, -3, 5\} \).
\( \overline{F} \) (dans \( E \)) : \( E \setminus F = \{-5, -4\} \).
2) Complémentaires dans \( E \) :
- \( \overline{F} = \{-5, -4\} \)
- \( \overline{G} = \{-5, -4, -3, 5\} \)
- \( \overline{\overline{F}} = F = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)
- \( \overline{\overline{G}} = G = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \)