متطلبات الإكمال
📌 Exercice 1
On pose \( A_m = \{x \in \mathbb{R} \mid |x-2| < m\} \) avec \( m \in \mathbb{R}^* \).
1) Déterminer \( m \) pour que \( A_m \subset ]1, 5[ \).
2) Déterminer \( m \) pour que \( A_m \cap ]1, 5[ = \emptyset \).
✅ Corrigé
1) \( A_m = ]2-m, 2+m[ \). Pour que \( A_m \subset ]1, 5[ \), il faut :
\( 2-m \geq 1 \iff m \leq 1 \) et \( 2+m \leq 5 \iff m \leq 3 \).
Donc \( m \leq 1 \). Comme \( m > 0 \), on a \( 0 < m \leq 1 \).
2) \( A_m \cap ]1, 5[ = \emptyset \iff 2+m \leq 1 \) ou \( 2-m \geq 5 \).
\( 2+m \leq 1 \iff m \leq -1 \) impossible car \( m > 0 \).
\( 2-m \geq 5 \iff -m \geq 3 \iff m \leq -3 \) impossible.
Donc il n'existe pas de \( m > 0 \) tel que \( A_m \cap ]1, 5[ = \emptyset \).
📌 Exercice 2
1) Déterminer en extension \( A = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid 2x^2 + xy - y^2 - 5 = 0\} \).
2) Déterminer en extension \( B = \left\{ \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{4} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \) et \( C = \left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{3k\pi}{4} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \).
✅ Corrigé
1) \( 2x^2 + xy - y^2 - 5 = 0 \iff (2x-y)(x+y) = 5 \).
Les diviseurs de 5 dans \( \mathbb{Z} \) sont \( \pm1, \pm5 \).
On résout les systèmes :
- \( 2x-y=1 \) et \( x+y=5 \) → \( x=2, y=3 \)
- \( 2x-y=5 \) et \( x+y=1 \) → \( x=2, y=-1 \)
- \( 2x-y=-1 \) et \( x+y=-5 \) → \( x=-2, y=-3 \)
- \( 2x-y=-5 \) et \( x+y=-1 \) → \( x=-2, y=1 \)
- \( 2x-y=-1 \) et \( x+y=5 \) → \( x= \frac43 \) non entier
- \( 2x-y=1 \) et \( x+y=-5 \) → \( x=-\frac43 \) non entier
- \( 2x-y=5 \) et \( x+y=-1 \) → \( x= \frac43 \) non entier
- \( 2x-y=-5 \) et \( x+y=1 \) → \( x=-\frac43 \) non entier
Donc \( A = \{(2,3), (2,-1), (-2,-3), (-2,1)\} \).
2) \( B = \left\{ \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{4} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left\{ \frac{(4k+2)\pi}{12} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \).
\( C = \left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{3k\pi}{4} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} = \left\{ \frac{(9k+4)\pi}{12} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \).
En extension, ce sont des ensembles infinis qu'on ne peut pas écrire exhaustivement.
📌 Exercice 3
\( E \) un ensemble non vide, \( A, B, C \) des parties de \( E \).
1) \( A \subset B \Rightarrow \overline{B} \subset \overline{A} \)
2) \( A \subset B \Rightarrow A \cap \overline{B} = \emptyset \)
3) \( A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C \)
4) \( (A \setminus B) \setminus C = (A \setminus B) \cap (A \setminus C) \)
5) \( (A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C) \)
✅ Corrigé
1) Soit \( x \in \overline{B} \). Alors \( x \notin B \). Si \( x \in A \), comme \( A \subset B \), on aurait \( x \in B \), contradiction. Donc \( x \notin A \), soit \( x \in \overline{A} \).
2) Si \( x \in A \cap \overline{B} \), alors \( x \in A \) et \( x \notin B \). Mais \( A \subset B \) donne \( x \in B \), contradiction. Donc \( A \cap \overline{B} = \emptyset \).
3) \( x \in A \cap (B \setminus C) \iff x \in A \text{ et } x \in B \setminus C \iff x \in A \cap B \text{ et } x \notin C \iff x \in (A \cap B) \setminus C \).
4) \( x \in (A \setminus B) \setminus C \iff x \in A \setminus B \text{ et } x \notin C \iff x \in A \setminus B \text{ et } x \in A \setminus C \iff x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C) \).
5) \( x \in (A \cup B) \setminus C \iff x \in A \cup B \text{ et } x \notin C \iff (x \in A \text{ ou } x \in B) \text{ et } x \notin C \iff (x \in A \setminus C) \text{ ou } (x \in B \setminus C) \iff x \in (A \setminus C) \cup (B \setminus C) \).
📌 Exercice 4
On considère \( E = \left\{ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 \mid \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \right\} \).
1) Montrer que \( (x,y) \in E \iff (x-5)(y-5) = 25 \).
2) Déterminer \( E \) en extension.
✅ Corrigé
1) \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac15 \iff \frac{x+y}{xy} = \frac15 \iff 5x+5y = xy \iff xy - 5x - 5y = 0 \).
\( (x-5)(y-5) = xy - 5x - 5y + 25 = 0 + 25 = 25 \).
2) Les diviseurs de 25 dans \( \mathbb{Z} \) sont \( \pm1, \pm5, \pm25 \).
Donc \( (x-5, y-5) \in \{(1,25), (25,1), (5,5), (-1,-25), (-25,-1), (-5,-5)\} \).
D'où \( E = \{(6,30), (30,6), (10,10), (4,-20), (-20,4), (0,0)\} \).
Mais \( (0,0) \) n'est pas dans \( E \) car \( \frac{1}{0} \) n'est pas défini.
Donc \( E = \{(6,30), (30,6), (10,10), (4,-20), (-20,4)\} \).
📌 Exercice 5
Simplifier :
1) \( A \cup (A \cap B) \)
2) \( (A \cup B) \cap (B \cap C) \cap (C \cup A) \)
3) \( (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \)
4) \( \overline{(A \cap B) \cap (A \cap C)} \cup \overline{A} \)
5) \( \overline{A \cup B} \cap \overline{B \cup A} \)
✅ Corrigé
1) \( A \cup (A \cap B) = A \) (car \( A \cap B \subset A \)).
2) \( (A \cup B) \cap (B \cap C) \cap (C \cup A) = A \cap B \cap C \) (car \( B \cap C \subset A \cup B \) et \( B \cap C \subset C \cup A \)).
3) \( (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = A \cup B \) (le premier et le deuxième donnent \( A \), le troisième donne \( B \setminus A \)).
4) \( \overline{(A \cap B) \cap (A \cap C)} \cup \overline{A} = \overline{A \cap B \cap C} \cup \overline{A} = \overline{A} \) (car \( \overline{A} \subset \overline{A \cap B \cap C} \)).
5) \( \overline{A \cup B} \cap \overline{B \cup A} = \overline{A \cup B} \) (car les deux ensembles sont égaux).
📌 Exercice 6
\( E \) un ensemble non vide, \( A, B, C \) des parties de \( E \).
Montrer que :
a) \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \)
b) \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \)
c) \( \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \)
d) \( \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \)
✅ Corrigé
a) \( x \in A \cap (B \cup C) \iff x \in A \text{ et } (x \in B \text{ ou } x \in C) \iff (x \in A \cap B) \text{ ou } (x \in A \cap C) \iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
b) \( x \in A \cup (B \cap C) \iff x \in A \text{ ou } (x \in B \text{ et } x \in C) \iff (x \in A \text{ ou } x \in B) \text{ et } (x \in A \text{ ou } x \in C) \iff x \in (A \cup B) \cap (A \cup C) \).
c) \( x \in \overline{A \cap B} \iff x \notin A \cap B \iff x \notin A \text{ ou } x \notin B \iff x \in \overline{A} \text{ ou } x \in \overline{B} \iff x \in \overline{A} \cup \overline{B} \).
d) \( x \in \overline{A \cup B} \iff x \notin A \cup B \iff x \notin A \text{ et } x \notin B \iff x \in \overline{A} \text{ et } x \in \overline{B} \iff x \in \overline{A} \cap \overline{B} \).