I. Activités et rappels

    • 1) Ensemble de définition
    • 2) Notions de base
  • II. Notions de base
    • 1) Ensemble de définition d'une fonction
    • 2) Représentation graphique d'une fonction
  • III. Fonctions paires, impaires, périodiques
    • 1) Fonction paire
    • 2) Fonction impaire
    • 3) Fonction périodique
  •  
    • IV. Fonctions majorée, minorée, bornée
    • V. Comparaison de deux fonctions
      • 1) Signe d'une fonction
      • 2) Comparaison de deux fonctions
    • VI. Variation d'une fonction et extremums
      • 1) Activités et définitions
      • 2) Taux de variation d'une fonction
      • VI. Variation d'une fonction et extremums (suite)
        • 3) Extremums absolus et relatifs
      • VII. Étude des fonctions usuelles
        • 1) \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
        • 2) \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \)
        • 3) \( f(x) = \sqrt{ax+b} \)
        • 4) \( f(x) = ax^3 \)
       
     
❶ I) ACTIVITÉS ET RAPPELS

1) Ensemble de définition

📌 Définition : On appelle fonction numérique à variable réelle toute relation d'une partie \(E\) de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) telle que chaque élément \(x\) de \(E\) a au plus une image dans \(\mathbb{R}\).

Si \(f(x)=y\), alors :
  • \(y\) est l'image de \(x\) par la fonction \(f\).
  • \(x\) est l'antécédent de \(y\) par la fonction \(f\).
🔹 Activité 1 : Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes :
  • 1) \( f(x) = \frac{2\sqrt{x+1}}{3x^2+x-4} \)
  • 2) \( g(x) = \frac{\sqrt{2x+1} + 3x}{\sqrt{x-x^2}} \)
  • 3) \( h(x) = \frac{\tan x}{2\sin x + 1} \)
  • 4) \( k(x) = \frac{3x+1}{x-E(x)} \)
  • 5) \( u(x) = \sqrt{E(x)} - x \)
  • 6) \( v(x) = \sqrt{x-1} - \sqrt{1-x} \)
✅ Corrigé

1) \(x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\) et \(3x^2+x-4 \neq 0 \iff (3x+4)(x-1) \neq 0 \iff x \neq -\frac43 \text{ et } x \neq 1\).

Donc \(D_f = [-1; 1[ \cup ]1; +\infty[\).

2) \(2x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac12\) et \(x-x^2 > 0 \iff x(1-x) > 0 \iff 0 < x < 1\).

Donc \(D_g = ]0; 1[\).

3) \(\tan x\) est défini pour \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) et \(2\sin x + 1 \neq 0 \iff \sin x \neq -\frac12 \iff x \neq -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ et } x \neq \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\).

4) \(x - E(x) \neq 0 \iff x \notin \mathbb{Z}\). Donc \(D_k = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\).

5) \(E(x) \geq 0 \iff x \geq 0\). Donc \(D_u = \mathbb{R}^+\).

6) \(x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\) et \(1-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1\). Donc \(D_v = \{1\}\).

2) Activité – Rectangle

🔹 Activité 2 : Soit \(ABCD\) un rectangle tel que \(AB=5cm\) et \(BC=3cm\).
\(M\) un point qui part de \(A\) et se déplace sur \(ABCD\). Soit \(f(x)\) la distance \(MC\).

1) \(f(0)=MC\) avec \(M=A\) : \(AC = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34}\).
\(f(5)=MC\) avec \(M=B\) : \(BC=3\).
\(f(13)=MC\) avec \(M\) au point \(D\) (périmètre = 16, \(M\) à 13 cm de A sur le chemin \(A \to B \to C \to D\)) : \(MC=DC=5\).
\(f(16)=MC\) avec \(M=A\) : \(AC = \sqrt{34}\).

❷ II) NOTIONS DE BASE

1) Ensemble de définition d'une fonction

📌 Définition : Soit \(f\) une fonction numérique à variable réelle de \(E\) dans \(\mathbb{R}\). Les éléments de \(E\) qui ont une image par \(f\) forment l'ensemble de définition de \(f\), noté \(\mathcal{D}_f\). \[ \mathcal{D}_f = \{x \in E \mid f(x) \in \mathbb{R}\} \]
🔹 Exercice : Déterminer l'ensemble de définition de \(f(x) = \sqrt{x - \sqrt{x+1}}\).

Il faut \(x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\) et \(x - \sqrt{x+1} \geq 0\).

Posons \(t = \sqrt{x+1} \geq 0\), alors \(x = t^2-1\).

\(t^2-1 - t \geq 0 \iff t^2-t-1 \geq 0\).

Les racines sont \(t_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2} < 0\) et \(t_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Donc \(t \geq \frac{1+\sqrt{5}}{2} \iff x+1 \geq \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\).

Donc \(x \geq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

\(D_f = \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}; +\infty\right[\).

✏️ Remarque : Si \(f\) est une fonction dont l'ensemble de définition est \(\mathcal{D}_f\), l'application définie de \(\mathcal{D}_f\) vers \(\mathbb{R}\) s'appelle l'application associée à la fonction \(f\).

2) Représentation graphique d'une fonction

📌 Définition (Graphe) : Le graphe de la fonction \(f\) est l'ensemble des couples \((x, f(x))\) tels que \(x \in \mathcal{D}_f\). \[ G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in \mathcal{D}_f\} \]
📌 Définition (Courbe) : Dans un repère \(\mathcal{R}(O, \vec{i}, \vec{j})\), la courbe représentative de \(f\) est l'ensemble des points \(M(x, f(x))\) tels que \(x \in \mathcal{D}_f\). \[ \mathcal{C}_f = \{M(x, f(x)) \mid x \in \mathcal{D}_f\} \] \[ M(x,y) \in \mathcal{C}_f \iff \begin{cases} x \in \mathcal{D}_f \\ y = f(x) \end{cases} \]
✏️ Remarque : Pour qu'une courbe dans le plan soit la courbe d'une fonction numérique à variable réelle, il faut et il suffit que chaque parallèle à l'axe des ordonnées coupe cette courbe en au plus un point.
❸ III) FONCTIONS : PAIRE, IMPAIRE, PÉRIODIQUE

1) Fonction paire

📌 Définition : Soit \(f\) une fonction dont l'ensemble de définition est \(D_f\). On dit que \(f\) est paire si :
  • \( (\forall x \in \mathbb{R})(x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f) \)
  • \( (\forall x \in D_f)(f(-x) = f(x)) \)
✨ Propriété : La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Fonction paire

\(f(-x)=f(x)\)

Fonction impaire

\(f(-x)=-f(x)\)
🔹 Exemple : \(f(x)=x^2\) est paire car \(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\).

2) Fonction impaire

📌 Définition : Soit \(f\) une fonction dont l'ensemble de définition est \(D_f\). On dit que \(f\) est impaire si :
  • \( (\forall x \in \mathbb{R})(x \in D_f \Rightarrow -x \in D_f) \)
  • \( (\forall x \in D_f)(f(-x) = -f(x)) \)
✨ Propriété : La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
🔹 Exemple : \(f(x)=x^3\) est impaire car \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\).
🔹 Activité 3 : La courbe ci-contre est une partie de la courbe de \(h(x)=\frac{x^2}{x^2-1}\).

1) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\).

2) \(h(-x)=\frac{(-x)^2}{(-x)^2-1}=\frac{x^2}{x^2-1}=h(x)\). Donc \(h\) est paire.

3) La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3) Fonction périodique

📌 Définition : Soit \(f\) une fonction dont l'ensemble de définition est \(D_f\). On dit que \(f\) est périodique s'il existe un réel \(T \neq 0\) tel que :
  • \( (\forall x \in \mathbb{R})(x \in D_f \Rightarrow x+T \in D_f \text{ et } x-T \in D_f) \)
  • \( (\forall x \in D_f)(f(x+T) = f(x)) \)
Le plus petit réel \(T>0\) vérifiant cette propriété est appelé la période de \(f\).
🔹 Exemples :
  • \(\sin x\) et \(\cos x\) sont périodiques de période \(2\pi\).
  • \(\tan x\) est périodique de période \(\pi\).
  • La fonction partie entière \(E(x)\) est périodique ? Non, car \(E(x+1)=E(x)+1\).
🔹 Activité : Soit \(f(x)=3x - E(3x+\frac12)\).

1-a) Supposons \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x\).

\(3(x+T)-E(3x+3T+\frac12)=3x-E(3x+\frac12)\).

Donc \(3T = E(3x+3T+\frac12) - E(3x+\frac12) \in \mathbb{Z}\). Donc \(3T \in \mathbb{Z}\).

1-b) Le plus petit \(T>0\) tel que \(3T \in \mathbb{Z}\) est \(T=\frac13\).

2) Pour \(T=\frac13\), on vérifie que \(f(x+\frac13)=f(x)\).

❹ IV) FONCTION MAJORÉE, MINORÉE, BORNÉE

1) Activités

🔹 Activité 1 : Soit \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \).
En utilisant la forme canonique, montrer que \( (\forall x \in \mathbb{R})(f(x) \geq -1) \).

\( f(x) = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2[(x-1)^2 - 1] + 1 = 2(x-1)^2 - 1 \).

Comme \( 2(x-1)^2 \geq 0 \), on a \( f(x) \geq -1 \).

🔹 Activité 2 : Soit \( h(x) = \frac{x}{1+|x|} \).
1) Déterminer \( D_h \) et étudier la parité.
2) Construire la courbe de la restriction sur \( [0;+\infty[ \).
3) Montrer que \( (\forall x \in \mathbb{R})(-1 < h(x) < 1) \).
4) \( h \) admet-elle un maximum absolu ?

1) \( D_h = \mathbb{R} \). \( h(-x) = \frac{-x}{1+|x|} = -h(x) \). Donc \( h \) est impaire.

3) Pour \( x \geq 0 \), \( h(x) = \frac{x}{1+x} < 1 \) et \( h(x) \geq 0 \).

Pour \( x < 0 \), \( h(x) = \frac{x}{1-x} > -1 \) et \( h(x) < 0 \).

Donc \( -1 < h(x) < 1 \) pour tout \( x \).

4) \( h \) n'admet pas de maximum absolu car \( h(x) < 1 \) pour tout \( x \), mais \( \lim_{x \to +\infty} h(x) = 1 \).

2) Définitions

📌 Définition : Soit \( f \) une fonction dont l'ensemble de définition est \( D_f \), et \( D \) une partie de \( D_f \).

  • \( f \) est majorée sur \( D \) si \( (\exists M \in \mathbb{R})(\forall x \in D)(f(x) \leq M) \).
  • \( f \) est minorée sur \( D \) si \( (\exists m \in \mathbb{R})(\forall x \in D)(f(x) \geq m) \).
  • \( f \) est bornée sur \( D \) si elle est à la fois majorée et minorée sur \( D \).
✏️ Remarques :
  • Si \( f \) est majorée par \( M \), elle est majorée par tout \( M' \geq M \).
  • Si \( f \) est minorée par \( m \), elle est minorée par tout \( m' \leq m \).
  • Un majorant n'est pas nécessairement un extremum absolu.
✏️ Propriété : \( f \) est bornée sur \( D \) si et seulement si \[ (\exists \alpha \in \mathbb{R}^+)(\forall x \in D)(|f(x)| \leq \alpha) \]
🔹 Exemples :
  • La fonction \( \sin x \) est bornée sur \( \mathbb{R} \) par \( 1 \) (majorant) et \( -1 \) (minorant).
  • La fonction \( f(x)=x^2 \) est minorée par 0 sur \( \mathbb{R} \), mais pas majorée.
  • La fonction \( f(x)=\frac{1}{x} \) n'est ni majorée ni minorée sur \( \mathbb{R}^* \).
❺ V) COMPARAISON DE DEUX FONCTIONS

1) Signe d'une fonction

🔹 Activité : Soit \( f(x)=2x^2+x+1 \). Montrer que \( f(x) \geq 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

\( f(x)=2x^2+x+1 \). Le discriminant \( \Delta = 1 - 8 = -7 < 0 \).

Comme \( a=2>0 \), on a \( f(x) > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

📌 Définition : Soit \( f \) une fonction dont l'ensemble de définition est \( D_f \), et \( D \) une partie de \( D_f \).

  • \( f \) est positive sur \( D \) si \( (\forall x \in D)(f(x) \geq 0) \).
  • \( f \) est négative sur \( D \) si \( (\forall x \in D)(f(x) \leq 0) \).
✏️ Remarques :
  • Si \( f \) est positive sur \( D_f \), on dit que \( f \) est positive et on écrit \( f \geq 0 \).
  • Si \( f \) est négative sur \( D_f \), on dit que \( f \) est négative et on écrit \( f \leq 0 \).
  • Une fonction positive est minorée par 0, une fonction négative est majorée par 0.

2) Comparaison de deux fonctions

📌 Définition : Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions. On dit que \( f \) est plus grande que \( g \) sur \( D \) si \[ (\forall x \in D)(f(x) \geq g(x)) \] et on écrit \( f \geq g \) sur \( D \).
✨ Interprétation géométrique : Si \( f \geq g \) sur \( D \), alors la courbe \( C_f \) est au-dessus de la courbe \( C_g \) sur \( D \).
🔹 Exercice : \( f(x)=x^2-2x \) et \( g(x)=\frac{2x}{x-1} \).
1) Résoudre \( f(x)=g(x) \).
2) Construire les courbes.
3) Soit \( h(x)=\sup(f(x),g(x)) \). Donner l'expression de \( h \).

1) \( x^2-2x = \frac{2x}{x-1} \iff (x^2-2x)(x-1) = 2x \iff x(x-1)(x-2) = 0 \).

Donc \( x=0 \) ou \( x=1 \) ou \( x=2 \). Mais \( x=1 \) est exclu car \( g \) n'est pas définie en 1.

Les solutions sont \( x=0 \) et \( x=2 \).

3) \( h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } f(x) \geq g(x) \\ g(x) & \text{sinon} \end{cases} \).

❻ VI) VARIATION D'UNE FONCTION ET EXTREMUMS

1) Activités et définitions

🔹 Activité 1 : À partir de la courbe, déterminer la monotonie et les extremums.
x y (-1;3) (0;1)

Monotonie :

  • Sur \( ]-\infty; -1] \), \( f \) est décroissante.
  • Sur \( [-1; 0] \), \( f \) est croissante.
  • Sur \( [0; +\infty[ \), \( f \) est décroissante.

Extremums :

  • Un maximum local en \( x=0 \) avec \( f(0)=1 \).
  • Un minimum local en \( x=-1 \) avec \( f(-1)=3 \) ? Attention, sur la courbe, \( f(-1) \) semble être un minimum.
🔹 Activité 2 : \( g(x)=|x^2+x-2| \).
1) Écrire sans valeur absolue.
2) Étudier la monotonie.

1) \( x^2+x-2 = (x+2)(x-1) \).

\( g(x) = \begin{cases} x^2+x-2 & \text{si } x \leq -2 \text{ ou } x \geq 1 \\ -(x^2+x-2) & \text{si } -2 < x < 1 \end{cases} \).

2) Les variations s'obtiennent en étudiant chaque morceau.

2) Définitions de la monotonie
📌 Définitions : Soit \( f \) une fonction définie sur \( D_f \), et \( I \) un intervalle de \( D_f \).
  • \( f \) est croissante sur \( I \) si : \( (\forall (a,b) \in I^2)(a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)) \).
  • \( f \) est strictement croissante sur \( I \) si : \( (\forall (a,b) \in I^2)(a < b \Rightarrow f(a) < f(b)) \).
  • \( f \) est décroissante sur \( I \) si : \( (\forall (a,b) \in I^2)(a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b)) \).
  • \( f \) est strictement décroissante sur \( I \) si : \( (\forall (a,b) \in I^2)(a < b \Rightarrow f(a) > f(b)) \).

📈 Croissante

\(a < b \Rightarrow f(a) < f(b)\)

📉 Décroissante

\(a < b \Rightarrow f(a) > f(b)\)

3) Taux de variation d'une fonction

📌 Définition : Soit \( f \) une fonction, \( I \subset D_f \), et \( a, b \in I \) avec \( a \neq b \). Le taux d'accroissement de \( f \) entre \( a \) et \( b \) est : \[ T_{(a,b)} = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \]
📌 Théorème : Soit \( f \) une fonction définie sur \( D_f \), \( I \) un intervalle inclus dans \( D_f \).

  • \( f \) est croissante sur \( I \) si et seulement si \( (\forall (a,b) \in I^2)(a \neq b \Rightarrow T_{(a,b)} \geq 0) \).
  • \( f \) est décroissante sur \( I \) si et seulement si \( (\forall (a,b) \in I^2)(a \neq b \Rightarrow T_{(a,b)} \leq 0) \).
🔹 Exemple : Pour \( f(x)=x^2 \), le taux de variation entre \( a \) et \( b \) est \( T_{(a,b)} = \frac{a^2-b^2}{a-b} = a+b \).
Sur \( [0;+\infty[ \), \( T_{(a,b)} \geq 0 \), donc \( f \) est croissante sur \( [0;+\infty[ \).
Sur \( ]-\infty;0] \), \( T_{(a,b)} \leq 0 \), donc \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty;0] \).
 
❻ VI) VARIATION D'UNE FONCTION ET EXTREMUMS (suite)

2.2 Monotonie et parité

✏️ Propriété :
  • Soit \( f \) une fonction paire. Si \( f \) est croissante sur \( I \subset \mathbb{R}^+ \), alors elle est décroissante sur \( I' \) (symétrique de \( I \)).
  • Soit \( f \) une fonction impaire. Si \( f \) est croissante sur \( I \subset \mathbb{R}^+ \), alors elle est croissante sur \( I' \).
🔹 Exercices :
  • 1) Étudier la monotonie de \( f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x} \) sur \( \mathbb{R}^+ \).
  • 2) Étudier la monotonie de \( g(x)=\frac{x}{x^2+1} \) sur \([0,1]\) et sur \([1,+\infty[\).

1) \( f \) est la somme de deux fonctions croissantes sur \( \mathbb{R}^+ \). Donc \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}^+ \).

2) \( g(x)=\frac{x}{x^2+1} \). Taux d'accroissement : \( T = \frac{1-x_1x_2}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} \).

Sur \([0,1]\), \( x_1x_2 \leq 1 \), donc \( T \geq 0 \). \( g \) est croissante sur \([0,1]\).

Sur \([1,+\infty[\), \( x_1x_2 \geq 1 \), donc \( T \leq 0 \). \( g \) est décroissante sur \([1,+\infty[\)

3) Extremums d'une fonction

3.1 Extremums absolus

🔹 Activité : Soit \( f(x)=\frac{2}{1+x^2} \). Montrer que \( f(x) \leq f(0) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

\( 1+x^2 \geq 1 \Rightarrow \frac{2}{1+x^2} \leq 2 \).

Or \( f(0)=2 \). Donc \( f(x) \leq f(0) \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

📌 Définition : Soit \( f \) une fonction définie sur \( D_f \).

  • \( f \) admet un maximum absolu en \( a \) si \( (\forall x \in D_f)(f(x) \leq f(a)) \). On note \( \max_{x \in D_f} f(x) = f(a) \).
  • \( f \) admet un minimum absolu en \( a \) si \( (\forall x \in D_f)(f(x) \geq f(a)) \). On note \( \min_{x \in D_f} f(x) = f(a) \).

3.2 Extremums relatifs

📌 Définition : Soit \( f \) une fonction définie sur \( D_f \).

  • \( f \) admet un maximum relatif en \( a \) s'il existe un intervalle ouvert \( I \subset D_f \) contenant \( a \) tel que \( (\forall x \in I)(f(x) \leq f(a)) \).
  • \( f \) admet un minimum relatif en \( a \) s'il existe un intervalle ouvert \( I \subset D_f \) contenant \( a \) tel que \( (\forall x \in I)(f(x) \geq f(a)) \).
✏️ Propriété :
  • Si \( f \) est croissante sur \([a,b]\) et décroissante sur \([b,c]\), alors \( f \) admet un maximum relatif en \( b \).
  • Si \( f \) est décroissante sur \([a,b]\) et croissante sur \([b,c]\), alors \( f \) admet un minimum relatif en \( b \).
🔹 Activité : \( g(x)=\frac{x}{1+x^2} \).
1) Étudier la parité.
2) Étudier les variations sur \([0,1]\) et \([1,+\infty[\).
3) Dresser le tableau de variation sur \( \mathbb{R} \).

1) \( g(-x)=\frac{-x}{1+x^2}=-g(x) \). Donc \( g \) est impaire.

2) Sur \([0,1]\), \( g \) est croissante. Sur \([1,+\infty[\), \( g \) est décroissante.

3) Tableau de variation :

\( x \) \( -\infty \) \( -1 \) \( 0 \) \( 1 \) \( +\infty \)
\( g(x) \) \( 0 \) \( -\frac12 \) \( 0 \) \( \frac12 \) \( 0 \)
Variation ↗ ↘ ↗ ↘ ↘

\( g \) admet un maximum absolu en \( x=1 \) avec \( g(1)=\frac12 \).

\( g \) admet un minimum absolu en \( x=-1 \) avec \( g(-1)=-\frac12 \).

❼ VII) ÉTUDE DES FONCTIONS USUELLES (RAPPELS)

1) \( f(x) = ax^2 + bx + c \)

✏️ Propriété : Soit \( f(x)=ax^2+bx+c \) (\( a \neq 0 \)).

  • En posant \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = f(\alpha) \), on a la forme canonique : \[ f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \]
  • La courbe \( C_f \) est une parabole de sommet \( \Omega(\alpha, \beta) \) et d'axe \( x = \alpha \).
Variations selon le signe de \( a \)
Si \( a > 0 \)
\( x \) \( -\infty \) \( \alpha \) \( +\infty \)
\( f(x) \) \( +\infty \) \( \beta \) \( +\infty \)
Si \( a < 0 \)
\( x \) \( -\infty \) \( \alpha \) \( +\infty \)
\( f(x) \) \( -\infty \) \( \beta \) \( -\infty \)
🔹 Exemple : \( f(x)=x^2-4x+1 \).
\( \alpha = -\frac{-4}{2}=2 \), \( \beta = f(2)=4-8+1=-3 \).
Forme canonique : \( f(x)=(x-2)^2-3 \).
Parabole de sommet \( \Omega(2,-3) \), axe \( x=2 \), ouverte vers le haut.

2) \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \)

✏️ Propriété : Soit \( f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \) (\( c \neq 0 \), \( ad-bc \neq 0 \)).

  • Il existe \( \alpha, \beta, \gamma \) tels que \( f(x) = \beta + \frac{\gamma}{x-\alpha} \).
  • La courbe \( C_f \) est une hyperbole de centre \( \Omega(\alpha, \beta) \), d'asymptotes les droites : \[ (\Delta) : x = -\frac{d}{c} \quad \text{et} \quad (\Delta') : y = \frac{a}{c} \]
Variations selon le signe de \( \frac{a}{c} \)
Si \( \frac{a}{c} > 0 \)
\( x \) \( -\infty \) \( -\frac{d}{c} \) \( +\infty \)
\( f(x) \) \( \frac{a}{c} \) \( \searrow \) \( \frac{a}{c} \)
Si \( \frac{a}{c} < 0 \)
\( x \) \( -\infty \) \( -\frac{d}{c} \) \( +\infty \)
\( f(x) \) \( \frac{a}{c} \) \( \nearrow \) \( \frac{a}{c} \)
🔹 Exemple : \( f(x)=\frac{2x+1}{x-1} \).
\( \frac{a}{c} = 2 > 0 \). Asymptotes : \( x=1 \), \( y=2 \).
La fonction est décroissante sur \( ]-\infty;1[ \) et sur \( ]1;+\infty[ \).

3) \( f(x) = \sqrt{ax+b} \)

🔹 Activité : \( g(x)=\sqrt{ax+b} \) avec \( a \neq 0 \).
1) Déterminer \( D_g \).
2) Calculer le taux d'accroissement.
3) Dresser le tableau de variation.

1) \( D_g = \{x \in \mathbb{R} \mid ax+b \geq 0\} \).

Si \( a > 0 \), \( D_g = [-\frac{b}{a}; +\infty[ \).

Si \( a < 0 \), \( D_g = ]-\infty; -\frac{b}{a}] \).

2) \( T = \frac{\sqrt{ax_1+b}-\sqrt{ax_2+b}}{x_1-x_2} = \frac{a}{\sqrt{ax_1+b}+\sqrt{ax_2+b}} \).

Comme le dénominateur est positif, le signe de \( T \) est celui de \( a \).

3) Si \( a > 0 \), \( g \) est strictement croissante sur \( [-\frac{b}{a}; +\infty[ \).

Si \( a < 0 \), \( g \) est strictement décroissante sur \( ]-\infty; -\frac{b}{a}] \).

4) \( f(x) = ax^3 \)

🔹 Activité : \( h(x)=ax^3 \) avec \( a \neq 0 \).
1) Montrer que \( h \) est impaire.
2) Étudier les variations.

1) \( h(-x)=a(-x)^3 = -ax^3 = -h(x) \). Donc \( h \) est impaire.

2) Taux d'accroissement : \( T = a(x_1^2+x_1x_2+x_2^2) \).

Comme \( x_1^2+x_1x_2+x_2^2 > 0 \) pour \( x_1 \neq x_2 \), le signe de \( T \) est celui de \( a \).

Si \( a > 0 \), \( h \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

Si \( a < 0 \), \( h \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \).

📚 Généralités sur les Fonctions – 1BAC SM