📌 Exercice n°1 – Parité

Étudier la parité des fonctions suivantes :

  • 1) \( f_1(x)=3x^4-5x^2+1 \)
  • 2) \( f_2(x)=\frac{x^5-x}{x^2-1} \)
  • 3) \( f_3(x)=\frac{x}{x^2-1}+\frac{1}{\sqrt{x-2}} \)
  • 4) \( f_4(x)=\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} \)
  • 5) \( f_5(x)=\cos(2x)+\tan^2(x) \)
  • 6) \( f_6(x)=\sin(-x)-x \)
  • 7) \( f_7(x)=\sqrt{x^2+1} \)
  • 8) \( f_8(x)=\frac{x}{x^6-x^4-3x^2+3} \)
  • 9) \( f_9(x)=\sin x+\cos x \)
✅ Corrigé

1) \( D_f=\mathbb{R} \), symétrique. \( f_1(-x)=3x^4-5x^2+1=f_1(x) \). Paire.

2) \( D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\} \), symétrique. \( f_2(-x)=\frac{-x^5+x}{x^2-1}=-\frac{x^5-x}{x^2-1}=-f_2(x) \). Impaire.

3) \( D_f=[2,+\infty[ \) non symétrique. Ni paire, ni impaire.

4) \( D_f=\mathbb{R} \). \( f_4(-x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}=-f_4(x) \). Impaire.

5) \( D_f=\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\} \), symétrique. \( f_5(-x)=\cos(2x)+\tan^2(x)=f_5(x) \). Paire.

6) \( D_f=\mathbb{R} \). \( f_6(-x)=-\sin x+x=-(\sin x-x)=-f_6(x) \). Impaire.

7) \( D_f=\mathbb{R} \). \( f_7(-x)=\sqrt{x^2+1}=f_7(x) \). Paire.

8) \( D_f \) symétrique. \( f_8(-x)=\frac{-x}{x^6-x^4-3x^2+3}=-f_8(x) \). Impaire.

9) \( f_9(0)=1\neq0 \), donc pas impaire. \( f_9(\frac{\pi}{2})=1 \), \( f_9(-\frac{\pi}{2})=-1 \). Ni paire, ni impaire.

📌 Exercice n°2 – Décomposition en fonctions paire et impaire

Soit \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \). Montrer que \( f \) s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
✅ Corrigé

Unicité : Si \( f=p+i=p'+i' \) avec \( p,p' \) paires et \( i,i' \) impaires, alors \( p-p'=i'-i \). Le membre de gauche est pair, celui de droite est impair. Une fonction à la fois paire et impaire est nulle. Donc \( p=p' \) et \( i=i' \).

Existence : On pose \( p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \) (paire) et \( i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2} \) (impaire). Alors \( f=p+i \).

📌 Exercice n°3 – Dérivées et parité

Soit \( f \) dérivable sur \( \mathbb{R} \). Montrer que si \( f \) est paire, \( f' \) est impaire, et si \( f \) est impaire, \( f' \) est paire. Généraliser à \( f'', f^{(3)}, \dots \) et étudier le cas des primitives.
✅ Corrigé

Si \( f \) est paire : \( f(-x)=f(x) \). En dérivant : \( -f'(-x)=f'(x) \Rightarrow f'(-x)=-f'(x) \). Donc \( f' \) est impaire.

Si \( f \) est impaire : \( f(-x)=-f(x) \). En dérivant : \( -f'(-x)=-f'(x) \Rightarrow f'(-x)=f'(x) \). Donc \( f' \) est paire.

Généralisation :

  • Si \( f \) est paire : \( f^{(n)} \) a la parité de \( n \) (\( n \) pair → paire, \( n \) impair → impaire).
  • Si \( f \) est impaire : \( f^{(n)} \) a la parité contraire de \( n \).

Primitives : Une primitive d'une fonction impaire est paire. Une primitive d'une fonction paire n'est pas nécessairement impaire (à cause de la constante d'intégration).

📌 Exercice n°4 – Symétries

1) Montrer que \( x=\frac32 \) est axe de symétrie de \( f(x)=x^2-3x+2 \).
2) Montrer que \( I(1,2) \) est centre de symétrie de \( f(x)=\frac{2x+1}{x-1} \).
3) Montrer que \( I(0,\frac12) \) est centre de symétrie de \( f(x)=\frac{e^x}{e^x+1} \).
4) Étudier les symétries de \( f(x)=\cos x+\cos 3x \).
✅ Corrigé

1) \( f(3-x)=f(x) \) pour tout \( x \). Donc \( x=\frac32 \) est axe de symétrie.

2) \( f(2-x)+f(x)=4 \) pour tout \( x \). Donc \( I(1,2) \) est centre de symétrie.

3) \( f(-x)+f(x)=1 \) pour tout \( x \). Donc \( I(0,\frac12) \) est centre de symétrie.

4) \( f \) est paire → axe des ordonnées. \( f(\pi-x)+f(x)=0 \) → centres de symétrie en \( (\frac{\pi}{2}+k\pi,0) \).

📌 Exercice n°5 – Périodicité

Étudier la périodicité des fonctions suivantes :
  • 1) \( f_1(x)=E(x)-x \)
  • 2) \( f_2(x)=E(2x)-2x \)
  • 3) \( f_3(x)=\cos 2x-\sin 4x \)
  • 4) \( f_4(x)=\cos 4x \)
  • 5) \( f_5(x)=\cos(\frac{3x}{2}) \)
  • 6) \( f_6(x)=\cos(\frac{2x}{3}) \)
✅ Corrigé

1) \( f_1(x+1)=f_1(x) \). Période \( T=1 \).

2) \( f_2(x+\frac12)=f_2(x) \). Période \( T=\frac12 \).

3) \( \cos 2x \) a pour période \( \pi \), \( \sin 4x \) a pour période \( \frac{\pi}{2} \). Période commune \( T=\pi \).

4) \( \cos 4x \) a pour période \( T=\frac{\pi}{2} \).

5) \( \cos(\frac{3x}{2}) \) a pour période \( T=\frac{4\pi}{3} \).

6) \( \cos(\frac{2x}{3}) \) a pour période \( T=3\pi \).

📌 Exercice n°6 – Fonctions bornées

1) Montrer que \( f(x)=\frac{x^2}{x^2+1} \) est bornée sur \( \mathbb{R} \).
2) Montrer que \( f(x)=\frac{x}{x^2+1} \) est bornée sur \( \mathbb{R} \).
✅ Corrigé

1) \( 0 \leq \frac{x^2}{x^2+1} < 1 \). Donc \( 0 \leq f(x) \leq 1 \).

2) \( |x| \leq x^2+1 \Rightarrow \left|\frac{x}{x^2+1}\right| \leq 1 \). Donc \( -\frac12 \leq f(x) \leq \frac12 \).

📌 Exercice n°7 – Variations

Étudier le sens de variation des fonctions suivantes :
  • 1) \( x \mapsto -3(x+1)^2+1 \)
  • 2) \( x \mapsto 3-\frac{5}{2x+1} \) sur \( ]-\infty;-\frac12[ \)
  • 3) \( x \mapsto \ln(1+e^x) \)
  • 4) \( x \mapsto \exp\left(1-\frac{1}{\ln^2|x|+1}\right) \) sur \( \mathbb{R}^* \)
  • 5) \( x \mapsto \int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt \)
  • 6) \( x \mapsto \int_0^1 e^{xt}\,dt \)
✅ Corrigé

1) Croissante sur \( ]-\infty;-1] \), décroissante sur \( [-1;+\infty[ \).

2) Croissante sur \( ]-\infty;-\frac12[ \).

3) \( f'(x)=\frac{e^x}{1+e^x}>0 \). Strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).

4) Paire. Décroissante sur \( ]0,1] \) et sur \( ]-\infty,-1] \); croissante sur \( [1,+\infty[ \) et sur \( [-1,0[ \).

5) Croissante sur \( \mathbb{R} \) car \( f'(x)=\frac{1}{1+x^2}>0 \).

6) \( f(x)=\frac{e^x-1}{x} \) pour \( x\neq0 \), \( f(0)=1 \). Croissante sur \( \mathbb{R} \).

📌 Exercice n°8 – Variations

Étudier le sens de variation :
  • 1) \( x \mapsto \sin x-\cos x \), \( I=[0,\frac{\pi}{4}] \)
  • 2) \( x \mapsto x\ln x \), \( I=[1,+\infty[ \)
  • 3) \( x \mapsto \frac{2x+3}{x-1} \), \( I=]1,+\infty[ \)
  • 4) \( x \mapsto \frac{x^4-1}{x^4+1} \), \( I=\mathbb{R} \)
  • 5) \( x \mapsto -x^7+x^4+x^2+3 \), \( I=]-\infty,0[ \)
✅ Corrigé

1) \( f'(x)=\cos x+\sin x>0 \) sur \( [0,\frac{\pi}{4}] \). Donc strictement croissante.

2) \( f'(x)=\ln x+1>0 \) sur \( [1,+\infty[ \). Donc strictement croissante.

3) \( f'(x)=\frac{-5}{(x-1)^2}<0 \). Donc strictement décroissante.

4) \( f'(x)=\frac{8x^3}{(x^4+1)^2} \). Décroissante sur \( ]-\infty;0] \), croissante sur \( [0;+\infty[ \).

5) \( f'(x)=-7x^6+4x^3+2x=x(-7x^5+4x^2+2) \). Sur \( ]-\infty,0[ \), \( x<0 \) et \( -7x^5+4x^2+2>0 \) (car \( x^5<0 \)). Donc \( f'<0 \), \( f \) est décroissante.

📚 Planche n°8 – Généralités sur les fonctions