serie 3:

1) \( f(-x)=\cos(-\pi x)=\cos(\pi x)=f(x) \). Donc \( f \) est paire.

2) \( f(x+2)=\cos(\pi(x+2))=\cos(\pi x+2\pi)=\cos(\pi x)=f(x) \).

3) \( f \) est périodique de période \( T=2 \) (car \( f(x+2)=f(x) \)).

1) \( f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x) \). Donc \( f \) est paire.

2) Par l'inégalité triangulaire : \( |x-1|+|x+1| \geq |(x-1)-(x+1)| = |-2| = 2 \).

3) \( f(x)=2 \iff |x-1|+|x+1|=2 \iff x \in [-1,1] \).

Le minimum absolu est \( 2 \), atteint pour tout \( x \in [-1,1] \).

1) \( f(x)=x^2+x = (x+\frac12)^2 - \frac14 \).

2) \( (x+\frac12)^2 \geq 0 \), donc \( f(x) \geq -\frac14 \).

3) \( f(x)=-\frac14 \iff (x+\frac12)^2=0 \iff x=-\frac12 \).

Le minimum absolu est \( -\frac14 \), atteint en \( x=-\frac12 \).

1) \( 4-x^2 \geq 0 \iff x \in [-2,2] \). Donc \( D_f=[-2,2] \).

2) \( f(-x)=\sqrt{4-(-x)^2}=\sqrt{4-x^2}=f(x) \). Donc \( f \) est paire.

3) \( f(x) \geq 0 \) sur \( D_f \). De plus, \( f(x) \leq 2 \) car \( 4-x^2 \leq 4 \).

Le maximum est \( 2 \), atteint en \( x=0 \).

1) \( 1+x \geq 0 \) et \( x \neq 0 \). Donc \( D_f=[-1,0[ \cup ]0,+\infty[ \).

2) \( \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} \).

3) \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} \). Comme \( \sqrt{1+x} \) est croissante, \( f \) est décroissante sur \( [-1,0[ \) et sur \( ]0,+\infty[ \).

4) \( \sqrt{1+x}+1 > 0 \), donc \( f(x)>0 \). De plus, \( \sqrt{1+x}+1 \geq 1 \), donc \( f(x) \leq 1 \).

5) \( f(-1)=\frac{1}{\sqrt{0}+1}=1 \). Le maximum est \( 1 \), atteint en \( x=-1 \).

1) \( D_f=[1,+\infty[ \). Il faut \( g(x) \in D_f \iff x^2+1 \geq 1 \iff x^2 \geq 0 \), toujours vrai.

Donc \( D_{f \circ g}=\mathbb{R} \).

2) \( (f \circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{x^2+1-1}=\sqrt{x^2}=|x| \).

1) \( u(x)=\sqrt{x} \), \( v(x)=1-2x \), \( f=u \circ v \).

2) \( u(x)=x^2 \), \( v(x)=2x+1 \), \( f=u \circ v \).

3) \( u(x)=\frac{x-2}{x+3} \), \( v(x)=|x| \), \( f=u \circ v \).

4) \( u(x)=2\sqrt{x} \), \( v(x)=x^2+3 \), \( f=u \circ v \).

1) \( g(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1} = \frac{x^2+1+x^2}{x^2+1} = 1+\frac{x^2}{x^2+1} \).

2) \( 0 \leq \frac{x^2}{x^2+1} \leq 1 \), donc \( 1 \leq g(x) \leq 2 \).

3) \( f(x)=3x-5 \) n'est pas bornée sur \( \mathbb{R} \) car \( \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\pm\infty \).

4) \( g \) est bornée, donc \( g \circ f \) est bornée.

5) \( (g \circ f)(x)=g(3x-5) \). Comme \( 1 \leq g(t) \leq 2 \), on a \( 1 \leq (g \circ f)(x) \leq 2 \).

L'énoncé indique \( -2 \leq (g \circ f)(x) \leq 1 \), ce qui est faux pour \( g \) positive. Vérification : \( g(0)=1 \), \( g(3)=1.9 \).

1) a) \( f'(x)=2x+2>0 \) sur \( \mathbb{R}^+ \). Donc \( f \) est strictement croissante.

b) \( f(x)=x(x+2) \). Sur \( \mathbb{R}^+ \), \( x \geq 0 \) et \( x+2 \geq 2 \), donc \( f(x) \geq 0 \).

2) a) \( g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}>0 \). Donc \( g \) est strictement croissante.

b) \( g(0)=-1+1=0 \). Comme \( g \) est croissante et \( x \geq 0 \), \( g(x) \geq 0 \).

3) \( (f \circ g)(x)=f(g(x))=( -1+\sqrt{1+x})^2+2(-1+\sqrt{1+x}) = (1+x) -2\sqrt{1+x}+1 -2+2\sqrt{1+x} = x \).

\( (g \circ f)(x)=g(f(x))=-1+\sqrt{1+x^2+2x} = -1+\sqrt{(x+1)^2} = -1+x+1 = x \).

Donc \( f \) et \( g \) sont des fonctions réciproques sur \( \mathbb{R}^+ \).

1) a) \( -1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow -2 \leq 2\cos x \leq 2 \).

Sur \( [0,\pi] \), \( -x \leq 0 \). Donc \( f(x) \leq 2 \).

De plus, \( f(x) \geq -2 \) car \( 2\cos x \geq -2 \) et \( -x \geq -\pi > -2 \). Donc \( f(x) \geq -2 \).

b) \( f'(x)=-2\sin x-1 < 0 \) sur \( [0,\pi] \). Donc \( f \) est strictement décroissante.

2) \( g(x)=f(4x) \). \( g'(x)=4f'(4x) < 0 \) sur \( [0,\frac{\pi}{4}] \). Donc \( g \) est strictement décroissante.

3) a) \( h(x)=f(x)^2 \). Donc \( u(t)=t^2 \) et \( h = u \circ f \).

b) \( u(t)=t^2 \) est décroissante sur \( ]-\infty,0] \) et croissante sur \( [0,+\infty[ \).