متطلبات الإكمال
📌 Exercice 1 – Domaines de définition
Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes :
- 1) \( f(x) = \frac{x + 3}{|x + 4| - 3x} \)
- 2) \( f(x) = \frac{x^2}{x - \sqrt{x} + 2} \)
- 3) \( f(x) = \sqrt{x - \sqrt{x}} \)
- 4) \( f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{3}} \)
✅ Corrigé
1) Il faut \( |x+4| - 3x \neq 0 \).
Cas \( x \geq -4 \) : \( x+4 - 3x \neq 0 \iff -2x+4 \neq 0 \iff x \neq 2 \).
Cas \( x < -4 \) : \( -x-4 - 3x \neq 0 \iff -4x-4 \neq 0 \iff x \neq -1 \) (mais \( -1 \notin ]-\infty,-4[ \)).
Donc \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} \).
2) Il faut \( x \geq 0 \) et \( x - \sqrt{x} + 2 \neq 0 \).
\( x - \sqrt{x} + 2 = 0 \). Posons \( t = \sqrt{x} \geq 0 \). \( t^2 - t + 2 = 0 \), discriminant \( \Delta = 1-8 = -7 < 0 \).
Donc le dénominateur ne s'annule jamais. \( D_f = [0,+\infty[ \).
3) Il faut \( x \geq 0 \) et \( x - \sqrt{x} \geq 0 \iff \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) \geq 0 \iff x \geq 1 \) ou \( x=0 \).
Donc \( D_f = \{0\} \cup [1,+\infty[ \).
4) Il faut \( \frac{x-3}{3} \geq 0 \iff x-3 \geq 0 \iff x \geq 3 \).
Donc \( D_f = [3,+\infty[ \).
📌 Exercice 2 – Parité
Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes :
- 1) \( f(x) = \frac{x}{|3x| + x^2 + 1} \)
- 2) \( f(x) = 3 \sin^2(2x) \)
- 3) \( f(x) = x + |2x-3| - |2x+3| \)
- 4) \( f(x) = \frac{x^3 + 2x}{|x+2| + |x-2|} \)
✅ Corrigé
1) \( f(-x) = \frac{-x}{|-3x| + (-x)^2 + 1} = \frac{-x}{|3x| + x^2 + 1} = -f(x) \). Impaire.
2) \( f(-x) = 3\sin^2(-2x) = 3(-\sin 2x)^2 = 3\sin^2(2x) = f(x) \). Paire.
3) \( f(-x) = -x + |-2x-3| - |-2x+3| = -x + |2x+3| - |2x-3| = -(x + |2x-3| - |2x+3|) = -f(x) \). Impaire.
4) \( f(-x) = \frac{-x^3 - 2x}{|-x+2| + |-x-2|} = \frac{-(x^3+2x)}{|x-2| + |x+2|} = -f(x) \). Impaire.
📌 Exercice 3 – Fonction définie par morceaux
Soit \( f \) définie par :
\( f(x)=x^2-2x-4 \) pour \( x \geq 3 \)
\( f(x)=\frac{-2x}{x+3} \) pour \( 0 \leq x < 3 \)
1) Calculer \( f(1) \), \( f(4) \), \( f(-5) \), \( f(-2) \).
2) Donner l'expression de \( f(x) \) pour \( x \in ]-\infty,-3] \).
✅ Corrigé
1) \( f(1)=\frac{-2(1)}{1+3}=-\frac12 \) (car \( 0 \leq 1 < 3 \)).
\( f(4)=4^2-2(4)-4=16-8-4=4 \) (car \( 4 \geq 3 \)).
\( f(-5) \) n'est pas définie (car \( -5 \notin D_f \)).
\( f(-2) \) n'est pas définie (car \( -2 \notin D_f \)).
2) Pour \( x \in ]-\infty,-3] \), la fonction n'est pas définie par les deux expressions données. Il manque une partie de la définition.
📌 Exercice 4 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\frac{x^2-2}{x^2+3} \).
1) Montrer que \( f \) est majorée par 1.
2) Montrer que \( f \) est minorée par \( -\frac23 \).
✅ Corrigé
1) \( f(x)-1 = \frac{x^2-2 - (x^2+3)}{x^2+3} = \frac{-5}{x^2+3} \leq 0 \). Donc \( f(x) \leq 1 \).
2) \( f(x)+\frac23 = \frac{x^2-2}{x^2+3} + \frac23 = \frac{3x^2-6+2x^2+6}{3(x^2+3)} = \frac{5x^2}{3(x^2+3)} \geq 0 \). Donc \( f(x) \geq -\frac23 \).
📌 Exercice 5 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\frac{x^2}{x^2+3} \).
1) Montrer que \( f \) est majorée par 1.
2) Montrer que \( f \) est minorée.
✅ Corrigé
1) \( f(x)-1 = \frac{x^2 - (x^2+3)}{x^2+3} = \frac{-3}{x^2+3} \leq 0 \). Donc \( f(x) \leq 1 \).
2) \( f(x) \geq 0 \) car \( x^2 \geq 0 \) et \( x^2+3 > 0 \). Donc \( f \) est minorée par 0.
📌 Exercice 6 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x}} \).
Déterminer \( D_f \) puis montrer que \( f \) est bornée.
✅ Corrigé
\( D_f = [0,+\infty[ \).
Pour \( x \geq 0 \), \( \sqrt{x} \geq 0 \), donc \( 1+\sqrt{x} \geq 1 \).
Donc \( 0 < f(x) \leq 1 \). \( f \) est bornée entre 0 et 1.
📌 Exercice 7 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+x} \).
1) Montrer que \( \forall x,y \in \mathbb{R}^+, x+y \geq 2\sqrt{xy} \).
2) Déterminer \( D_f \) puis montrer que \( f \) est bornée.
✅ Corrigé
1) \( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 \geq 0 \Rightarrow x+y-2\sqrt{xy} \geq 0 \Rightarrow x+y \geq 2\sqrt{xy} \).
2) \( D_f = [0,+\infty[ \).
Pour \( x>0 \), \( 1+x \geq 2\sqrt{x} \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{1+x} \leq \frac12 \).
Pour \( x=0 \), \( f(0)=0 \).
Donc \( 0 \leq f(x) \leq \frac12 \). \( f \) est bornée.
📌 Exercice 8 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\frac{x-2\sin x}{|x|+3} \).
1) Montrer que \( |x-2\sin x| \leq |x|+2 \).
2) Déduire que \( f \) est bornée.
✅ Corrigé
1) \( |x-2\sin x| \leq |x| + 2|\sin x| \leq |x|+2 \).
2) \( |f(x)| = \frac{|x-2\sin x|}{|x|+3} \leq \frac{|x|+2}{|x|+3} \leq 1 \).
Donc \( -1 \leq f(x) \leq 1 \). \( f \) est bornée.
📌 Exercice 9 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\frac{x\cos x}{x^2+1} \).
1) Montrer que \( x^2+1 \geq 2|x| \).
2) Déduire que \( f \) est bornée.
✅ Corrigé
1) \( (|x|-1)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 - 2|x| + 1 \geq 0 \Rightarrow x^2+1 \geq 2|x| \).
2) \( |f(x)| = \frac{|x||\cos x|}{x^2+1} \leq \frac{|x|}{x^2+1} \leq \frac12 \).
Donc \( -\frac12 \leq f(x) \leq \frac12 \). \( f \) est bornée.
📌 Exercice 10 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\frac{4x+3}{\sqrt{x^2+1}} \).
1) Développer et simplifier \( (4x+3)^2 + (3x-4)^2 \).
2) Déduire que \( f \) est bornée.
✅ Corrigé
1) \( (4x+3)^2 + (3x-4)^2 = 16x^2+24x+9 + 9x^2-24x+16 = 25x^2+25 = 25(x^2+1) \).
2) \( (4x+3)^2 = 25(x^2+1) - (3x-4)^2 \leq 25(x^2+1) \).
Donc \( |4x+3| \leq 5\sqrt{x^2+1} \Rightarrow |f(x)| \leq 5 \).
Donc \( -5 \leq f(x) \leq 5 \). \( f \) est bornée.
📌 Exercice 11 – Fonction bornée
Soit \( f(x)=\sqrt{x+4}-\sqrt{x+1} \).
1) Déterminer \( D_f \) et montrer que \( f \) est minorée.
2) Calculer \( (\sqrt{x+4}+\sqrt{x+1})f(x) \) et déduire que \( \max f(x)=\sqrt{3} \).
✅ Corrigé
1) \( D_f = [-1,+\infty[ \).
\( f(x)=\frac{3}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x+1}} > 0 \). Donc \( f \) est minorée par 0.
2) \( (\sqrt{x+4}+\sqrt{x+1})f(x)=3 \).
\( \sqrt{x+4}+\sqrt{x+1} \geq \sqrt{3} \) (pour \( x=-1 \)).
Donc \( f(x) \leq \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \). Le maximum est \( \sqrt{3} \), atteint en \( x=-1 \).
📌 Exercice 12 – Fonction majorée
Soit \( f(x)=x-\sqrt{x^2-x+1} \).
1) Déterminer \( D_f \).
2) Développer \( (x-\frac12)^2 \) et déduire que \( f \) est majorée.
✅ Corrigé
1) \( D_f = \mathbb{R} \) car \( x^2-x+1 > 0 \) (discriminant \( \Delta = -3 < 0 \)).
2) \( (x-\frac12)^2 = x^2 - x + \frac14 \Rightarrow x^2-x+1 = (x-\frac12)^2 + \frac34 \).
Donc \( \sqrt{x^2-x+1} \geq \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( f(x)=x-\sqrt{x^2-x+1} \). On a \( \sqrt{x^2-x+1} \geq x-\frac12 \) (car \( (x-\frac12)^2 + \frac34 \geq (x-\frac12)^2 \)).
Donc \( f(x) \leq x - (x-\frac12) = \frac12 \). \( f \) est majorée par \( \frac12 \).
📌 Exercice 13 – Extremums
Soit \( f(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1} \).
1) Montrer que \( f \) admet un minimum en \( a=0 \).
2) Montrer que \( f \) admet un maximum en \( b=2 \).
✅ Corrigé
\( f(x)-f(0) = \frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1} - (-1) = \frac{2x^2+x-1 + x^2-x+1}{x^2-x+1} = \frac{3x^2}{x^2-x+1} \geq 0 \).
Donc \( f(x) \geq f(0) = -1 \). Minimum en \( a=0 \).
\( f(2)-f(x) = \frac{9}{3} - \frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1} = 3 - \frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1} = \frac{3x^2-3x+3 - 2x^2 - x + 1}{x^2-x+1} = \frac{x^2-4x+4}{x^2-x+1} = \frac{(x-2)^2}{x^2-x+1} \geq 0 \).
Donc \( f(x) \leq f(2) = 3 \). Maximum en \( b=2 \).
📌 Exercice 14 – Extremums
Soit \( f(x)=\frac{x}{x^2+x+1} \).
1) Montrer que \( f \) admet un minimum en \( a=-1 \).
2) Montrer que \( f \) admet un maximum en \( b=1 \).
✅ Corrigé
\( f(x)-f(-1) = \frac{x}{x^2+x+1} - (-1) = \frac{x + x^2+x+1}{x^2+x+1} = \frac{x^2+2x+1}{x^2+x+1} = \frac{(x+1)^2}{x^2+x+1} \geq 0 \).
Donc \( f(x) \geq f(-1) = -1 \). Minimum en \( a=-1 \).
\( f(1)-f(x) = \frac13 - \frac{x}{x^2+x+1} = \frac{x^2+x+1 - 3x}{3(x^2+x+1)} = \frac{x^2-2x+1}{3(x^2+x+1)} = \frac{(x-1)^2}{3(x^2+x+1)} \geq 0 \).
Donc \( f(x) \leq f(1) = \frac13 \). Maximum en \( b=1 \).
📌 Exercice 15 – Fonction trigonométrique bornée
Soit \( f(x)=2\sin x - \cos x \).
1) Montrer que \( f \) est bornée.
2) Calculer \( (2\sin x - \cos x)^2 + (\sin x + 2\cos x)^2 \).
3) Déduire que \( -\sqrt{5} \leq f(x) \leq \sqrt{5} \).
✅ Corrigé
1) \( f \) est bornée car \( \sin \) et \( \cos \) sont bornées.
2) \( (2\sin x - \cos x)^2 + (\sin x + 2\cos x)^2 = 4\sin^2 x -4\sin x\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x + 4\sin x\cos x + 4\cos^2 x = 5(\sin^2 x + \cos^2 x) = 5 \).
3) \( f(x)^2 \leq (2\sin x - \cos x)^2 + (\sin x + 2\cos x)^2 = 5 \).
Donc \( |f(x)| \leq \sqrt{5} \). Ainsi \( -\sqrt{5} \leq f(x) \leq \sqrt{5} \).