Completion requirements
📌 Exercice 1
Soit \( f(x)=\frac{x+2}{x-1} \) et \( g(x)=x^2 \).
1) Dresser le tableau de variation de \( f \) et \( g \).
2) Tracer les courbes \( (C_f) \) et \( (C_g) \).
3) Résoudre graphiquement \( \frac{x+2}{x-1} \geq x^2 \).
✅ Corrigé
1) Variations :
| \( x \) | \( -\infty \) | \( 1 \) | \( +\infty \) |
|---|---|---|---|
| \( f(x)=\frac{x+2}{x-1} \) | \( 1 \) | \( \searrow \) | \( 1 \) |
| \( g(x)=x^2 \) | \( +\infty \) | \( 0 \) | \( +\infty \) |
\( f \) est décroissante sur \( ]-\infty,1[ \) et sur \( ]1,+\infty[ \).
\( g \) est décroissante sur \( ]-\infty,0] \) et croissante sur \( [0,+\infty[ \).
3) Solution graphique : \( S = ]-2,1[ \cup [1,+\infty[ \).
📌 Exercice 2
Soit \( f(x)=\frac{2x-1}{x-1} \) et \( g(x)=x^2-2x+3 \).
1) Quelle est la nature de \( (C_f) \) et \( (C_g) \) ?
2) Calculer \( f(2) \) et \( g(2) \) puis tracer.
3) Résoudre graphiquement \( (x-1)^2 \leq \frac{1}{x-1} \).
4) Étudier le sens de variation de \( f \circ g \) sur \( [1,+\infty[ \).
✅ Corrigé
1) \( (C_f) \) est une hyperbole (fonction homographique) d'asymptotes \( x=1 \) et \( y=2 \).
\( (C_g) \) est une parabole (trinôme du second degré) de sommet \( (1,2) \).
2) \( f(2)=\frac{4-1}{2-1}=3 \), \( g(2)=4-4+3=3 \).
Les courbes se coupent en \( (2,3) \).
3) \( (x-1)^2 \leq \frac{1}{x-1} \iff x \in ]1,2] \).
4) \( (f \circ g)(x) = \frac{2g(x)-1}{g(x)-1} \). Sur \( [1,+\infty[ \), \( g \) est croissante et \( f \) est décroissante sur son image. Donc \( f \circ g \) est décroissante.
📌 Exercice 3
Soit \( g(x)=\frac{2x-1}{x-1} \).
1) a) Dresser le tableau de variation de \( g \).
b) Tracer la courbe de \( g \).
2) On pose \( f(x)=\frac{2|x|-1}{|x|-1} \).
a) Déterminer \( D_f \).
b) Donner le tableau de variation de \( f \).
c) Tracer la courbe de \( f \).
d) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de \( |x|(m-2)=m-1 \).
✅ Corrigé
1) a) \( g'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}<0 \). \( g \) est décroissante sur \( ]-\infty,1[ \) et sur \( ]1,+\infty[ \).
2) a) \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1,1\} \).
b) \( f \) est paire. Sur \( \mathbb{R}^+ \), \( f(x)=\frac{2x-1}{x-1}=g(x) \).
d) \( |x|(m-2)=m-1 \iff |x| = \frac{m-1}{m-2} \).
Le nombre de solutions dépend de la position de \( \frac{m-1}{m-2} \) par rapport à \( 1 \).
📌 Exercice 4
Soit \( f(x)=-\frac25(x^2-4x-5) \) et \( g(x)=\sqrt{x} \).
1) Dresser le tableau de variation de \( f \) et \( g \).
2) Quelle est la nature de \( (C_f) \) et \( (C_g) \).
3) Tracer les courbes.
4) Résoudre \( f(x)=0 \).
✅ Corrigé
1) \( f(x)=-\frac25(x-2)^2+\frac{18}{5} \).
\( f \) est croissante sur \( ]-\infty,2] \) et décroissante sur \( [2,+\infty[ \).
\( g \) est croissante sur \( [0,+\infty[ \).
2) \( (C_f) \) est une parabole de sommet \( (2,\frac{18}{5}) \). \( (C_g) \) est une demi-parabole.
4) \( f(x)=0 \iff x^2-4x-5=0 \iff (x-5)(x+1)=0 \iff x=5 \) ou \( x=-1 \).
📌 Exercice 5
Soit \( f(x)=\frac{-2x}{x+1} \).
1) Donner le tableau de variation de \( f \) et tracer \( (C_f) \).
2) On pose \( g(x)=(f \circ f)(x) \).
a) Déterminer \( D_g \) et exprimer \( g(x) \).
b) Étudier le sens de variation de \( g \) sur \( ]-\infty,-1[ \).
✅ Corrigé
1) \( f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}<0 \). \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty,-1[ \) et sur \( ]-1,+\infty[ \).
2) a) \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1, -\frac12\} \).
\( g(x)=f(f(x)) = \frac{-2\left(\frac{-2x}{x+1}\right)}{\frac{-2x}{x+1}+1} = \frac{\frac{4x}{x+1}}{\frac{-2x+x+1}{x+1}} = \frac{4x}{1-x} \).
b) \( g'(x)=\frac{4}{(1-x)^2}>0 \). \( g \) est croissante sur \( ]-\infty,-1[ \).
📌 Exercice 6
Soit \( f(x)=\frac{2(x^2+1)}{(x+1)^2} \) et \( g(x)=\frac{x-1}{x+1} \).
1) Montrer que \( f \) admet un minimum en \( a=1 \).
2) a) Vérifier que \( f(x)=1+(g(x))^2 \).
b) Étudier les variations de \( f \) sur \( ]-1,1[ \) et sur \( [1,+\infty[ \).
✅ Corrigé
1) \( f(x)-f(1) = \frac{2(x^2+1)}{(x+1)^2} - 1 = \frac{2x^2+2 - (x^2+2x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2-2x+1}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} \geq 0 \).
Donc \( f(x) \geq f(1)=1 \). Minimum en \( a=1 \).
2) a) \( 1+(g(x))^2 = 1+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 = \frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+2}{(x+1)^2} = f(x) \).
b) \( g \) est strictement croissante sur \( ]-1,+\infty[ \).
Sur \( ]-1,1[ \), \( g(x)<0 \), donc \( f \) est décroissante.
Sur \( [1,+\infty[ \), \( g(x)\geq 0 \), donc \( f \) est croissante.
📌 Exercice 7
Soit \( f(x)=x+4-2\sqrt{x+2} \).
1) Déterminer \( D_f \) et montrer que \( f \) est minorée par 1.
2) Résoudre \( f(x)=1 \).
3) On pose \( g(x)=\sqrt{x+2} \).
a) Déterminer \( h \) telle que \( f=h \circ g \).
b) Étudier la monotonie de \( f \) sur \( [-2,-1] \).
✅ Corrigé
1) \( D_f = [-2,+\infty[ \).
\( f(x)-1 = x+3-2\sqrt{x+2} = (\sqrt{x+2}-1)^2 \geq 0 \).
Donc \( f(x) \geq 1 \).
2) \( f(x)=1 \iff (\sqrt{x+2}-1)^2=0 \iff \sqrt{x+2}=1 \iff x=-1 \).
3) a) \( h(t)=t^2+2-2t \).
b) Sur \( [-2,-1] \), \( g \) est croissante de 0 à 1, et \( h \) est décroissante sur \( [0,1] \). Donc \( f \) est décroissante sur \( [-2,-1] \).
📌 Exercice 8
Soit \( m>0 \), \( f_m(x)=x+\frac{m}{x} \) sur \( \mathbb{R}^+ \).
1) La fonction \( f_m \) est-elle impaire ?
2) a) Montrer que \( T_{f_m}(x,y)=1-\frac{m}{xy} \).
b) Étudier les variations de \( f_m \) sur \( ]0,+\infty[ \).
c) Déduire que \( f \) admet un extrémum.
3) Soient \( a,b,c \in \mathbb{R}^+ \). Montrer que \( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq a+b+c \).
✅ Corrigé
1) \( f_m \) est définie sur \( \mathbb{R}^+ \), qui n'est pas symétrique par rapport à 0. Donc \( f_m \) n'est pas impaire (la notion de parité n'a pas de sens ici).
2) a) \( T_{f_m}(x,y)=\frac{(x+\frac{m}{x})-(y+\frac{m}{y})}{x-y} = \frac{x-y+\frac{m(y-x)}{xy}}{x-y} = 1-\frac{m}{xy} \).
b) Le signe de \( T \) est celui de \( xy-\sqrt{m} \).
Sur \( ]0,\sqrt{m}[ \), \( T<0 \) → décroissante.
Sur \( ]\sqrt{m},+\infty[ \), \( T>0 \) → croissante.
c) \( f_m \) admet un minimum en \( x=\sqrt{m} \), avec \( f_m(\sqrt{m})=2\sqrt{m} \).
3) Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou par \( x+\frac{m}{x} \geq 2\sqrt{m} \).
En prenant \( m=ab \), \( m=bc \), \( m=ca \) et en sommant : \( \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq a+b+c \).