📌 Exercice 1 – Égalité de fonctions

Étudier si \( f \) et \( g \) sont égales dans les cas suivants :

  • 1) \( f(x)=\sqrt{\frac{x}{x-1}} \quad ; \quad g(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} \)
  • 2) \( f(x)=(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})^2 \quad ; \quad g(x)=(\sqrt{x})^2+(\sqrt{x-1})^2 \)
  • 3) \( f(x)=\frac{x}{1+\sqrt{x^2+1}} \quad ; \quad g(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} \)
✅ Corrigé

1) \( D_f = [0,1[ \cup ]1,+\infty[ \), \( D_g = [0,1[ \cup ]1,+\infty[ \).

Sur \( D \), \( f(x)=g(x) \). Donc \( f=g \).

2) \( D_f = [1,+\infty[ \), \( D_g = [1,+\infty[ \).

\( f(x)=x+x-1+2\sqrt{x(x-1)}=2x-1+2\sqrt{x(x-1)} \).

\( g(x)=x+x-1=2x-1 \). Donc \( f \neq g \).

3) \( D_f = \mathbb{R} \), \( D_g = \mathbb{R}^* \).

Les domaines sont différents, donc \( f \neq g \).

📌 Exercice 2 – Domaine et encadrement

Soit \( f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} \).

Déterminer \( D_f \) et montrer que \( 0 < f(x) < \frac{\sqrt{2}}{2} \).
✅ Corrigé

\( D_f = [-1,1[ \cup ]1,+\infty[ \).

\( f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \frac{x+1-2}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} \).

Pour \( x \in D_f \), \( \sqrt{x+1} > 0 \), donc \( f(x)>0 \).

De plus, \( \sqrt{x+1}+\sqrt{2} > \sqrt{2} \), donc \( f(x) < \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

📌 Exercice 3 – Parité et variations

Soit \( f(x)=\frac{x|x|}{x^2+1} \).

1) Étudier la parité de \( f \) et montrer que \( 0 \leq f(x) < 1 \) sur \( \mathbb{R}^+ \).
2) En déduire que \( f \) est bornée.
3) a) Montrer que pour \( x,y \in \mathbb{R}^+ \), \( x \neq y \) :
\( \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = \frac{2(x+y)}{(x^2+1)(y^2+1)} \).
b) Étudier les variations de \( f \) sur \( \mathbb{R}^+ \) puis déduire sur \( \mathbb{R}^- \).
✅ Corrigé

1) \( f(-x)=\frac{-x|-x|}{x^2+1}=\frac{-x|x|}{x^2+1}=-f(x) \). Donc \( f \) est impaire.

Sur \( \mathbb{R}^+ \), \( f(x)=\frac{x^2}{x^2+1} \). Donc \( 0 \leq f(x) < 1 \).

2) Sur \( \mathbb{R}^- \), \( f(x)=-\frac{x^2}{x^2+1} \), donc \( -1 < f(x) \leq 0 \).

Donc \( -1 < f(x) < 1 \). \( f \) est bornée.

3) a) \( \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = \frac{\frac{x^2}{x^2+1}-\frac{y^2}{y^2+1}}{x-y} = \frac{x^2(y^2+1)-y^2(x^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)(x-y)} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+1)(y^2+1)(x-y)} = \frac{x+y}{(x^2+1)(y^2+1)} \).

Mais l'énoncé indique \( \frac{2(x+y)}{...} \). Vérification : \( x^2-y^2 = (x-y)(x+y) \). Donc \( \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = \frac{x+y}{(x^2+1)(y^2+1)} \).

b) Sur \( \mathbb{R}^+ \), \( \frac{f(x)-f(y)}{x-y} > 0 \). Donc \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}^+ \).

Comme \( f \) est impaire, elle est strictement croissante sur \( \mathbb{R}^- \).

📌 Exercice 4 – Valeur absolue et bornes

Soit \( f(x)=\frac{|x|}{x^2+x+1} \).

1) Déterminer \( D_f \), montrer que \( f(x) \leq 1 \) et déduire que \( f \) est bornée.
2) \( f \) admet-elle une valeur minimale ? maximale ?
3) a) Montrer que pour \( x,y \in \mathbb{R}^+ \) :
\( f(x)-f(y) = \frac{(x-y)(1-xy)}{(x^2+x+1)(y^2+y+1)} \).
b) Étudier les variations de \( f \) sur \( [0,1] \) et \( [1,+\infty[ \).
c) En déduire les variations sur \( [-1,0] \) et \( ]-\infty,-1[ \).
✅ Corrigé

1) \( D_f = \mathbb{R} \). \( x^2+x+1 = (x+\frac12)^2 + \frac34 > 0 \).

\( f(x) = \frac{|x|}{x^2+x+1} \). On a \( x^2+x+1 \geq |x| \) pour tout \( x \). Donc \( f(x) \leq 1 \).

De plus \( f(x) \geq 0 \). Donc \( f \) est bornée entre 0 et 1.

2) \( f(0)=0 \) → minimum en \( x=0 \).

\( f(1)=\frac13 \), \( f(-1)=\frac13 \). Le maximum est \( \frac13 \).

3) a) \( f(x)-f(y) = \frac{x}{x^2+x+1} - \frac{y}{y^2+y+1} = \frac{(x-y)(1-xy)}{(x^2+x+1)(y^2+y+1)} \).

b) Sur \( [0,1] \), \( 1-xy \geq 0 \), donc \( f \) est croissante.

Sur \( [1,+\infty[ \), \( 1-xy \leq 0 \), donc \( f \) est décroissante.

c) \( f \) est paire, donc sur \( [-1,0] \), \( f \) est décroissante, et sur \( ]-\infty,-1[ \), \( f \) est croissante.

📌 Exercice 5:

1) Soit \( f(x)=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \). Déterminer \( g,h \) telles que \( f=g \circ h \) puis étudier les variations de \( f \).
2) Soit \( f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1} \). Déterminer \( g,h \) telles que \( f=g \circ h \) puis étudier les variations de \( f \).
✅ Corrigé

1) \( h(x)=\sqrt{x} \) sur \( \mathbb{R}^+ \), \( g(t)=\frac{2t-1}{t+1} \).

\( g'(t)=\frac{3}{(t+1)^2}>0 \), \( h \) est croissante sur \( \mathbb{R}^+ \).

Donc \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R}^+ \).

2) \( h(x)=x^2 \) sur \( \mathbb{R} \), \( g(t)=\frac{2t+1}{t+1} \).

\( g'(t)=\frac{1}{(t+1)^2}>0 \), \( g \) est croissante.

Sur \( \mathbb{R}^- \), \( h \) est décroissante → \( f \) décroissante.

Sur \( \mathbb{R}^+ \), \( h \) est croissante → \( f \) croissante.

📌 Exercice 6:

Soit \( f(x)=x+\frac{4}{x} \).

1) Étudier la parité de \( f \).
2) Montrer que 4 est la valeur minimale de \( f \) sur \( [0,+\infty[ \).
3) a) Montrer que \( f(x)-f(y)=(x-y)\left(1-\frac{4}{xy}\right) \).
b) Étudier les variations de \( f \) sur \( [0,2] \) et \( [2,+\infty[ \).
c) En déduire les variations sur \( \mathbb{R}^* \).
✅ Corrigé

1) \( f(-x)=-x-\frac{4}{x}=-f(x) \). Donc \( f \) est impaire.

2) \( f(x)-4 = x+\frac{4}{x}-4 = \frac{x^2-4x+4}{x} = \frac{(x-2)^2}{x} \geq 0 \).

Donc \( f(x) \geq 4 \). Minimum en \( x=2 \).

3) a) \( f(x)-f(y)=x-y+\frac{4}{x}-\frac{4}{y}=(x-y)\left(1-\frac{4}{xy}\right) \).

b) Sur \( [0,2] \), \( xy \leq 4 \), donc \( 1-\frac{4}{xy} \leq 0 \) → décroissante.

Sur \( [2,+\infty[ \), \( xy \geq 4 \), donc \( 1-\frac{4}{xy} \geq 0 \) → croissante.

c) Sur \( \mathbb{R}^- \), \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty,-2] \) et croissante sur \( [-2,0[ \).

📌 Exercice 7 –Extremums

Soit \( f(x)=4x^2+\frac{1}{x} \).

1) Montrer que \( f \) admet sur \( [0,+\infty[ \) un extremum en \( \frac12 \).
2) a) Montrer que \( f(x)-f(y)=(x-y)\left(4(x+y)-\frac{1}{xy}\right) \).
b) Étudier les variations de \( f \) sur \( [0,\frac12] \), \( [\frac12,+\infty[ \) et \( ]-\infty,0[ \).
c) En déduire que pour \( x \in [\frac13,1] \), \( f(x) \in [3,5] \).
3) On pose \( g(x)=4x|x|+\frac{1}{x} \). Étudier la parité de \( g \) puis ses variations.
✅ Corrigé

1) \( f(x)-f(\frac12)=4x^2+\frac{1}{x}-(1+2)=4x^2+\frac{1}{x}-3 = \frac{4x^3-3x+1}{x} = \frac{(x-\frac12)^2(4x+4)}{x} \geq 0 \).

Donc \( f(x) \geq f(\frac12)=3 \). Minimum en \( x=\frac12 \).

2) a) \( f(x)-f(y)=4(x^2-y^2)+\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=(x-y)\left(4(x+y)-\frac{1}{xy}\right) \).

b) Sur \( [0,\frac12] \), \( 4(x+y)-\frac{1}{xy} \leq 0 \) → décroissante.

Sur \( [\frac12,+\infty[ \), \( 4(x+y)-\frac{1}{xy} \geq 0 \) → croissante.

Sur \( ]-\infty,0[ \), \( f \) est croissante.

c) Sur \( [\frac13,1] \), \( f \) est décroissante sur \( [\frac13,\frac12] \) et croissante sur \( [\frac12,1] \).

Donc \( f(x) \in [f(\frac12), \max(f(\frac13),f(1))] = [3,5] \).

3) \( g \) n'est ni paire ni impaire. Sur \( \mathbb{R}^+ \), \( g=f \). Sur \( \mathbb{R}^- \), \( g=-4x^2+\frac{1}{x} \).

📌 Exercice 8 –Fonction cube

Soit \( f(x)=x^3-3x \).

1) Montrer que pour \( x \neq y \) : \( \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=x^2+y^2+xy-3 \).
2) Étudier les variations de \( f \) sur \( [1,+\infty[ \), \( ]-\infty,-1] \) et \( [-1,1] \).
3) Soient \( a_1,\dots,a_n > 0 \) avec \( a_1a_2\dots a_n=1 \). Montrer que \( \prod (2+a_i^3) \geq 3^n \).
4) Soit \( h(x)=(x-1)\sqrt{x+2} \). Vérifier que \( f(\sqrt{x+2})=h(x) \) et en déduire les variations de \( h \).
✅ Corrigé

1) \( f(x)-f(y)=x^3-y^3-3(x-y)=(x-y)(x^2+y^2+xy-3) \).

2) \( \frac{f(x)-f(y)}{x-y}=x^2+y^2+xy-3 \).

Sur \( [1,+\infty[ \), \( x^2+y^2+xy \geq 3 \) → croissante.

Sur \( ]-\infty,-1] \), \( x^2+y^2+xy \geq 3 \) → croissante.

Sur \( [-1,1] \), \( x^2+y^2+xy \leq 3 \) → décroissante.

3) Par l'inégalité \( x+\frac{1}{x} \geq 2 \). \( 2+a^3 \geq 3\sqrt[3]{a^3} = 3a \).

Donc \( \prod (2+a_i^3) \geq 3^n \prod a_i = 3^n \).

4) \( f(\sqrt{x+2})=(\sqrt{x+2})^3-3\sqrt{x+2}=(x+2)\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}=(x-1)\sqrt{x+2}=h(x) \).

Sur \( [-2,-1] \), \( \sqrt{x+2} \in [0,1] \), \( f \) décroissante sur \( [0,1] \) → \( h \) décroissante.

Sur \( [-1,+\infty[ \), \( \sqrt{x+2} \in [1,+\infty[ \), \( f \) croissante sur \( [1,+\infty[ \) → \( h \) croissante.

📚 Généralités sur les fonctions –