متطلبات الإكمال
📌 Exercice 1
Soit \( g(x)=x^2-\frac{2}{x}+1 \).
1) Montrer que \( g \) est croissante sur \( [1,+\infty[ \).
2) Soit \( f(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^3+x-2}} \).
a) Montrer que \( D_f=]1,+\infty[ \).
b) Vérifier que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{g(x)}} \).
c) En déduire le sens de variation de \( f \).
✅ Corrigé
1) \( g'(x)=2x+\frac{2}{x^2}>0 \) sur \( [1,+\infty[ \). Donc \( g \) est strictement croissante.
2) a) \( x^3+x-2 = x(x^2+1)-2 \). On a \( x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2) \).
\( x^2+x+2>0 \) pour tout \( x \). Donc \( x^3+x-2>0 \iff x>1 \).
Donc \( D_f=]1,+\infty[ \).
b) \( g(x)=x^2-\frac{2}{x}+1 = \frac{x^3+x-2}{x} \).
Donc \( \frac{1}{\sqrt{g(x)}} = \sqrt{\frac{x}{x^3+x-2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^3+x-2}} = f(x) \).
c) \( g \) est croissante sur \( [1,+\infty[ \) et \( g(x)>0 \), donc \( \frac{1}{\sqrt{g}} \) est décroissante. \( f \) est strictement décroissante sur \( [1,+\infty[ \).
📌 Exercice 2
Soit \( f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x} \).
1) Montrer que \( f \) est minorée.
2) a) Montrer que \( f \) est majorée par \( \frac12 \).
b) \( \frac12 \) est-elle une valeur maximale de \( f \) ?
3) On pose \( h(x)=\sqrt{x-1} \) et \( g(x)=\frac{x}{x^2+1} \).
a) Montrer que \( T_g=\frac{1-xy}{(1+x^2)(1+y^2)} \).
b) Étudier les variations de \( g \) sur \( [0,1] \) et sur \( [1,+\infty[ \).
c) Soient \( a,b \in \mathbb{R}^+ \) avec \( a+b \geq 2 \). Montrer que \( a+b+\frac{1}{a+b} \geq \frac52 \).
d) Vérifier que \( f=g \circ h \) puis étudier les variations de \( f \).
✅ Corrigé
1) \( f(x) \geq 0 \) pour \( x \geq 1 \). Donc \( f \) est minorée par 0.
2) a) \( f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x} = \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x-1}}} \).
On a \( x \geq 2\sqrt{x-1} \iff x^2 \geq 4(x-1) \iff (x-2)^2 \geq 0 \).
Donc \( \frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac12 \).
b) \( f(2)=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac12 \). Donc \( \frac12 \) est atteint en \( x=2 \). C'est la valeur maximale.
3) a) \( T_g=\frac{\frac{x}{x^2+1}-\frac{y}{y^2+1}}{x-y} = \frac{x(y^2+1)-y(x^2+1)}{(x^2+1)(y^2+1)(x-y)} = \frac{xy(y-x)+(x-y)}{(x^2+1)(y^2+1)(x-y)} = \frac{1-xy}{(x^2+1)(y^2+1)} \).
b) Sur \( [0,1] \), \( 1-xy \geq 0 \) → \( g \) croissante.
Sur \( [1,+\infty[ \), \( 1-xy \leq 0 \) → \( g \) décroissante.
c) Soit \( t=a+b \geq 2 \). \( t+\frac{1}{t} \) est croissante sur \( [1,+\infty[ \). Donc \( t+\frac{1}{t} \geq 2+\frac12 = \frac52 \).
d) \( (g \circ h)(x)=g(\sqrt{x-1}) = \frac{\sqrt{x-1}}{(\sqrt{x-1})^2+1} = \frac{\sqrt{x-1}}{x-1+1} = \frac{\sqrt{x-1}}{x}=f(x) \).
Sur \( [1,2] \), \( h \) est croissante de 0 à 1, et \( g \) est croissante sur \( [0,1] \) → \( f \) croissante.
Sur \( [2,+\infty[ \), \( h \) est croissante de 1 à \( +\infty \), et \( g \) est décroissante sur \( [1,+\infty[ \) → \( f \) décroissante.
📌 Exercice 3
Soient \( a,b,c \in \mathbb{R}^+ \). On considère \( f(x)=x^2-(b+c)x+b^2+c^2-bc \).
1) Dresser le tableau de variations de \( f \).
2) En déduire que \( a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac \).
✅ Corrigé
1) \( f'(x)=2x-(b+c) \).
\( f \) est décroissante sur \( ]-\infty,\frac{b+c}{2}] \) et croissante sur \( [\frac{b+c}{2},+\infty[ \).
Le minimum est \( f\left(\frac{b+c}{2}\right) = \frac{(b+c)^2}{4} - \frac{(b+c)^2}{2} + b^2+c^2-bc = -\frac{(b+c)^2}{4} + b^2+c^2-bc \).
2) Pour tout \( a \in \mathbb{R} \), \( f(a) \geq f\left(\frac{b+c}{2}\right) \).
En particulier \( f(a) \geq 0 \) si \( \frac{(b+c)^2}{4} \leq b^2+c^2-bc \).
\( b^2+c^2-bc - \frac{(b+c)^2}{4} = \frac{3(b^2+c^2)-6bc}{4} = \frac{3(b-c)^2}{4} \geq 0 \).
Donc \( f(a) \geq 0 \), ce qui donne \( a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc \geq 0 \).
En prenant \( a \) comme variable, on obtient \( a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc \).
📌 Exercice 4
Soit \( g(x)=(x-1)^3 \) et \( f(x)=-1+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3} \).
1) Montrer que \( T_g = \left(x+\frac{y-3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}(y-1)^2 \).
2) Vérifier que \( (\forall x \in \mathbb{R}^*) \quad f(x)=g\left(\frac{1}{x}\right) \).
3) Étudier les variations de \( f \) sur \( \mathbb{R}^* \).
✅ Corrigé
1) \( T_g = \frac{(x-1)^3-(y-1)^3}{x-y} = (x-1)^2+(x-1)(y-1)+(y-1)^2 \).
\( = \left(x+\frac{y-3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}(y-1)^2 \).
2) \( g\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}-1\right)^3 = \frac{(1-x)^3}{x^3} = \frac{1-3x+3x^2-x^3}{x^3} = -1+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}=f(x) \).
3) \( g \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
La fonction \( h(x)=\frac{1}{x} \) est décroissante sur \( ]-\infty,0[ \) et sur \( ]0,+\infty[ \).
Donc \( f=g \circ h \) est décroissante sur \( ]-\infty,0[ \) et sur \( ]0,+\infty[ \).
📌 Exercice 5
Soit \( f(x)=x^3+x^2+x \).
1) Montrer que \( x^2+y^2+xy+x+y+1 > 0 \).
2) Étudier le sens de variation de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).
3) On pose \( h(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}} \).
a) Vérifier \( h(x)=f\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \).
b) En déduire la monotonie de \( h \).
✅ Corrigé
1) \( x^2+y^2+xy+x+y+1 = \frac12\left((x+y)^2+(x+1)^2+(y+1)^2\right) > 0 \).
2) \( \frac{f(x)-f(y)}{x-y} = x^2+y^2+xy+x+y+1 > 0 \).
Donc \( f \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \).
3) a) \( f\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \frac{1}{x\sqrt{x}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x+\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}} = h(x) \).
b) \( h(x)=f(g(x)) \) avec \( g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \).
\( g \) est décroissante sur \( ]0,+\infty[ \) et \( f \) est croissante sur \( \mathbb{R} \).
Donc \( h \) est décroissante sur \( ]0,+\infty[ \).
📌 Exercice 6
Soit \( f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x} \).
1) Déterminer \( D \) et montrer que \( x=\frac12 \) est axe de symétrie.
2) a) Montrer que \( f \) est minorée par 1.
b) 1 est-elle valeur minimale ?
3) Calculer \( (f(x))^2 \) et déduire que \( f \) est majorée par \( \sqrt{2} \). \( \sqrt{2} \) est-elle valeur maximale ?
4) a) Montrer que \( T_f = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}} \).
b) Étudier les variations de \( f \) sur \( [0,\frac12] \) et \( [\frac12,1] \).
5) On pose \( h(x)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}} \) et \( g(x)=\frac{2}{x} \). Montrer que \( h=f \circ g \) puis étudier les variations de \( h \).
✅ Corrigé
1) \( D=[0,1] \). \( f(1-x)=f(x) \). Donc \( x=\frac12 \) est axe de symétrie.
2) a) \( f(x)^2 = x+1-x+2\sqrt{x(1-x)} = 1+2\sqrt{x(1-x)} \geq 1 \).
Donc \( f(x) \geq 1 \).
b) \( f(0)=1 \) et \( f(1)=1 \). Donc 1 est atteint en \( x=0 \) et \( x=1 \). C'est la valeur minimale.
3) \( f(x)^2 = 1+2\sqrt{x(1-x)} \leq 1+2 \times \frac12 = 2 \).
Donc \( f(x) \leq \sqrt{2} \). \( \sqrt{2} \) est atteint en \( x=\frac12 \). C'est la valeur maximale.
4) a) \( T_f = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}}{x-y} \).
\( = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}} \).
b) Sur \( [0,\frac12] \), \( \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \geq \frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}} \), donc \( T_f \geq 0 \). \( f \) est croissante.
Sur \( [\frac12,1] \), \( T_f \leq 0 \), donc \( f \) est décroissante.
5) \( (f \circ g)(x) = f\left(\frac{2}{x}\right) = \sqrt{\frac{2}{x}} + \sqrt{1-\frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}} = h(x) \).
Sur \( [2,+\infty[ \), \( g \) est décroissante de 1 à 0, et \( f \) est croissante sur \( [0,1] \) → \( h \) décroissante.