Completion requirements
📌 Exercice 4
Soit \( ABC \) un triangle et \( G \) un point tel que : \( 2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB} \).
1) Montrer que \( G \) est le barycentre de \( \{(A,1); (B,1); (C,2)\} \) et construire \( G \).
✅ Corrigé
\( 2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{GB} \iff 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \vec{0} \).
\( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC} \), donc :
\( 2(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}) - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} = \vec{0} \).
\( -\overrightarrow{AG} + 2\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GB} = \vec{0} \).
\( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = \vec{0} \).
Donc \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,1); (C,2)\} \).
\( \overrightarrow{AG} = \frac{1}{1+1+2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{4}\overrightarrow{AC} = \frac14\overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{AC} \).
📌 Exercice 5 – Construction par associativité
En utilisant la propriété d'associativité, construire le barycentre \( G \) du système pondéré \( \{(A,2); (B,-3); (C,5)\} \).
✅ Corrigé
Soit \( E = \text{Bar}\{(A,2); (B,-3)\} \).
D'après la propriété caractéristique : \( -\overrightarrow{ME} = 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} \).
En prenant \( M = A \) : \( -\overrightarrow{AE} = -3\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AB} \).
Donc \( E \) est tel que \( AE = 3AB \).
D'après l'associativité : \( G = \text{Bar}\{(E, -1); (C, 5)\} \).
Propriété caractéristique : \( 4\overrightarrow{MG} = -\overrightarrow{ME} + 5\overrightarrow{MC} \).
En prenant \( M = E \) : \( 4\overrightarrow{EG} = 5\overrightarrow{EC} \iff \overrightarrow{EG} = \frac54\overrightarrow{EC} \).
📌 Exercice 6 – Centre de gravité
Soit \( ABC \) un triangle, \( G \) le centre de gravité et \( I \) le milieu de \([BC]\).
Montrer que \( G \) est le barycentre de \( \{(A,1); (I,2)\} \).
✅ Corrigé
\( G \) est le centre de gravité du triangle \( ABC \), donc \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,1); (C,1)\} \).
\( I \) est le milieu de \([BC]\), donc \( I = \text{Bar}\{(B,1); (C,1)\} \).
D'après la propriété d'associativité :
\( G = \text{Bar}\{(A,1); (I, 1+1)\} = \text{Bar}\{(A,1); (I,2)\} \).
📌 Exercice 7
Soit \( ABC \) un triangle. Pour tout point \( M \), on pose \( \vec{V} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} \).
1) Réduire \( \vec{V} \) et montrer qu'il ne dépend pas de \( M \).
2) Soit \( K = \text{Bar}\{(C,-3); (B,1)\} \). Montrer que \( \vec{V} = 2\overrightarrow{KA} \).
3) Soit \( G = \text{Bar}\{(A,2); (B,-1); (C,-3)\} \). Montrer que \( 2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{GM} \).
4) Déterminer l'ensemble des points \( M \) tels que \( \|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\| = \|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\| \).
✅ Corrigé
1) \( \vec{V} = 2\overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}) - 3(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}) \).
\( = (2+1-3)\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} \).
Donc \( \vec{V} \) ne dépend pas de \( M \).
2) Pour \( M = K \) : \( 2\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} - 3\overrightarrow{KC} = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} \).
Comme \( K = \text{Bar}\{(C,-3); (B,1)\} \), on a \( \overrightarrow{KB} - 3\overrightarrow{KC} = \vec{0} \).
Donc \( 2\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = \vec{V} \).
3) D'après la propriété caractéristique du barycentre \( G \) :
\( 2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC} = (2-1-3)\overrightarrow{MG} = -2\overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{GM} \).
4) \( \|2\overrightarrow{GM}\| = \|2\overrightarrow{KA}\| \iff GM = KA \).
Donc l'ensemble est le cercle de centre \( G \) et de rayon \( KA \).
📌 Exercice 8
Soit \( ABC \) un triangle avec \( AC=6cm \), \( AB=5cm \), \( BC=4cm \).
a) Construire \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,2); (C,1)\} \).
b) Déterminer et construire l'ensemble \( (E) = \{M \mid \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = AC\} \).
c) Déterminer et construire l'ensemble \( (F) = \{M \mid \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = \|3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MC}\|\} \).
✅ Corrigé
a) \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,2); (C,1)\} \).
Par associativité, \( G \) est le barycentre de \( \{(A,1); (I,2)\} \) où \( I \) est le milieu de \([BC]\).
Donc \( G \) est le milieu du segment \([AI]\) avec \( AG = \frac{2}{3}AI \).
b) \( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG} \).
Donc \( \|4\overrightarrow{MG}\| = AC = 6 \iff MG = \frac{6}{4} = 1.5cm \).
\( (E) \) est le cercle de centre \( G \) et de rayon \( 1.5cm \).
c) Soit \( G' = \text{Bar}\{(A,3); (C,2)\} \).
\( 3\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MC} = 5\overrightarrow{MG'} \).
\( M \in (F) \iff \|4\overrightarrow{MG}\| = \|5\overrightarrow{MG'}\| \iff 4MG = 5MG' \).
L'ensemble \( (F) \) est une droite (si \( 4 \neq 5 \)), plus précisément la médiatrice du segment \([GG']\) (cas particulier où les coefficients sont égaux).
📌 Exercice 9 – Coordonnées
Dans un repère \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), soient \( A(-1;1) \), \( B(0;2) \), \( C(1;-1) \), \( D(1;0) \).
1) Déterminer les coordonnées de \( K = \text{Bar}\{(A,2); (B,3)\} \).
2) Déterminer les coordonnées de \( L \) le centre de gravité du triangle \( ABC \).
3) Déterminer les coordonnées du barycentre de \( \{(A,2); (B,3); (C,1); (D,-1)\} \).
✅ Corrigé
1) \( x_K = \frac{2(-1)+3(0)}{2+3} = -\frac25 \), \( y_K = \frac{2(1)+3(2)}{5} = \frac{8}{5} \).
Donc \( K\left(-\frac25; \frac85\right) \).
2) Centre de gravité \( L \) :
\( x_L = \frac{-1+0+1}{3} = 0 \), \( y_L = \frac{1+2-1}{3} = \frac23 \).
Donc \( L\left(0; \frac23\right) \).
3) \( x_G = \frac{2(-1)+3(0)+1(1)+(-1)(1)}{2+3+1-1} = \frac{-2+0+1-1}{5} = -\frac25 \).
\( y_G = \frac{2(1)+3(2)+1(-1)+(-1)(0)}{5} = \frac{2+6-1+0}{5} = \frac75 \).
Donc \( G\left(-\frac25; \frac75\right) \).
📌 Exercice 10
Soit \( ABCD \) un quadrilatère convexe. Soit \( H \) le barycentre de \( \{(A,2); (B,5); (C,-1)\} \).
Soit \( K \) le barycentre de \( \{(A,2); (B,5); (C,-1); (D,3)\} \).
Exprimer \( K \) en fonction de \( H \) et \( D \).
✅ Corrigé
\( H = \text{Bar}\{(A,2); (B,5); (C,-1)\} \). La somme des poids est \( 2+5-1=6 \).
\( K = \text{Bar}\{(A,2); (B,5); (C,-1); (D,3)\} \). La somme des poids est \( 2+5-1+3=9 \).
D'après l'associativité, \( K = \text{Bar}\{(H, 2+5-1); (D, 3)\} = \text{Bar}\{(H, 6); (D, 3)\} \).
Donc \( K = \text{Bar}\{(H, 2); (D, 1)\} \) (en divisant par 3).