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📋 Exercices 12 à 16

📌 Exercice 12 – Alignement de trois points

\( ABC \) un triangle, \( I \) tel que \( \overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \), \( K \) le symétrique de \( A \) par rapport à \( C \), et \( J \) le milieu de \([BC]\).

1) Exprimer \( I, J, K \) comme barycentres de points pondérés.

2) Quel est le barycentre de \( \{(A,1); (B,2); (B,-2); (C,-2)\} \) ?

3) Montrer que \( I, J, K \) sont alignés.

✅ Corrigé

1) \( J \) est le milieu de \([BC]\), donc \( J = \text{Bar}\{(B,1); (C,1)\} \).

\( \overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \iff 3\overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{AB} \iff 3\overrightarrow{AI} = 2(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}) \).

\( \iff \overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{IB} \iff \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \vec{0} \).

Donc \( I = \text{Bar}\{(A,1); (B,2)\} \).

\( K \) est le symétrique de \( A \) par rapport à \( C \), donc \( C \) est le milieu de \([AK]\).

Donc \( \overrightarrow{KA} - 2\overrightarrow{KC} = \vec{0} \). Donc \( K = \text{Bar}\{(A,1); (C,-2)\} \).

2) Le barycentre de \( \{(A,1); (B,2); (B,-2); (C,-2)\} \) est \( \text{Bar}\{(A,1); (C,-2)\} = K \).

3) D'après l'associativité, \( K = \text{Bar}\{(J, 1+1); (I, 1+2)\} = \text{Bar}\{(J, 2); (I, 3)\} \).

Donc \( K \in (IJ) \). Par suite, \( I, J, K \) sont alignés.

📌 Exercice 13 – Concours de droites

\( ABCD \) un carré. \( I, J \) les milieux de \([BC]\), \([CD]\). \( M, N \) tels que \( \overrightarrow{AM} = \frac14\overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AN} = \frac14\overrightarrow{AD} \).

1) Déterminer \( M \) et \( N \) comme barycentres.

2) Soit \( G = \text{Bar}\{(A,3); (B,1); (C,1); (D,1)\} \).

3) Montrer que \((MJ)\), \((NI)\) et \((AC)\) sont concourantes en \( G \).

✅ Corrigé

1) \( \overrightarrow{AM} = \frac14\overrightarrow{AB} \iff 4\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} \iff 4\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \).

\( \iff 3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0} \). Donc \( M = \text{Bar}\{(A,3); (B,1)\} \).

De même, \( \overrightarrow{AN} = \frac14\overrightarrow{AD} \iff 3\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{ND} = \vec{0} \). Donc \( N = \text{Bar}\{(A,3); (D,1)\} \).

2) \( G = \text{Bar}\{(A,3); (B,1); (C,1); (D,1)\} \).

Comme \( J \) est le milieu de \([CD]\), \( J = \text{Bar}\{(C,1); (D,1)\} \).

Donc \( G = \text{Bar}\{(M, 3+1); (J, 1+1)\} = \text{Bar}\{(M,4); (J,2)\} \). Donc \( G \in (MJ) \).

De même, \( G \in (NI) \).

Soit \( H \) le centre de gravité de \( BCD \). Alors \( G = \text{Bar}\{(A,3); (H,3)\} \), donc \( G \) est le milieu de \([AH]\).

Comme \( ABCD \) est un carré, \( H \in (AC) \). Donc \( G \in (AC) \).

Les trois droites sont concourantes en \( G \).

📌 Exercice 14 – Ensemble \( \frac{MA}{MB} = 3 \)

\( A, B \) avec \( AB=4cm \). Soit \( (F) = \{M \mid \frac{MA}{MB} = 3\} \).

1) Montrer que \( M \in (F) \iff MA^2 - 9MB^2 = 0 \).

2) Soit \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,3)\} \) et \( K = \text{Bar}\{(A,1); (B,-3)\} \).

a) Montrer que \( M \in (F) \iff \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0 \).

b) En déduire la nature de \( (F) \).

✅ Corrigé

1) \( \frac{MA}{MB} = 3 \iff MA = 3MB \iff MA^2 = 9MB^2 \iff MA^2 - 9MB^2 = 0 \).

2) a) D'après la propriété caractéristique :

\( \overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 4\overrightarrow{MG} \).

\( \overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MK} \).

\( MA^2 - 9MB^2 = (\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB}) \cdot (\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}) = (-2\overrightarrow{MK}) \cdot (4\overrightarrow{MG}) = -8\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{MG} \).

Donc \( M \in (F) \iff \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0 \).

b) \( \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{MK} = 0 \) signifie que \( \angle GMK = 90^\circ \).

Donc \( (F) \) est le cercle de diamètre \([GK]\).

📌 Exercice 15 – Produit scalaire et droite

\( A, B \) avec \( AB=4cm \), \( I \) milieu de \([AB]\).

Soit \( (E) = \{M \mid \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 4\} \). Soit \( H = \text{Bar}\{(A,1); (B,3)\} \).

1) a) Montrer que \( H \in (E) \).

b) Vérifier que \( M \in (E) \iff \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \).

c) Déterminer la nature de \( (E) \).

2) Soit \( (F) = \{M \mid MA^2 - MB^2 = 8\} \). Montrer que \( (F) = (E) \).

✅ Corrigé

1) a) \( H = \text{Bar}\{(A,1); (B,3)\} \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \).

\( \overrightarrow{IH} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AH} = -\frac12\overrightarrow{AB} + \frac34\overrightarrow{AB} = \frac14\overrightarrow{AB} \).

Donc \( \overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac14 AB^2 = \frac14 \times 16 = 4 \). Donc \( H \in (E) \).

b) \( M \in (E) \iff \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{AB} \iff (\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IH}) \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \).

\( \iff \overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \).

c) \( (E) \) est la droite perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( H \).

2) \( MA^2 - MB^2 = (\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}) \cdot (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) = \overrightarrow{BA} \cdot 2\overrightarrow{MI} = 2\overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB} \).

Donc \( M \in (F) \iff 2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 8 \iff \overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 4 \iff M \in (E) \).

Donc \( (F) = (E) \).

📌 Exercice 16 – Cercles

\( A, B \) avec \( AB=3cm \), \( I \) milieu de \([AB]\).

Soit \( (C) = \{M \mid MA^2 + MB^2 = 9\} \).

Soit \( (C') = \{M \mid \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -\frac54 \} \).

1) a) Montrer que \( M \in (C) \iff MI = \frac32 \).

b) Déterminer la nature de \( (C) \).

2) a) Montrer que \( M \in (C') \iff MI = 1 \).

b) Déterminer la nature de \( (C') \).

✅ Corrigé

1) a) \( MA^2 + MB^2 = (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2 + (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2 \).

\( = 2MI^2 + IA^2 + IB^2 + 2\overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}) \).

Comme \( I \) est le milieu de \([AB]\), \( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB} = \vec{0} \) et \( IA = IB = \frac{3}{2} \).

Donc \( MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 2 \times \frac{9}{4} = 2MI^2 + \frac{9}{2} \).

\( M \in (C) \iff 2MI^2 + \frac{9}{2} = 9 \iff 2MI^2 = \frac{9}{2} \iff MI^2 = \frac{9}{4} \iff MI = \frac32 \).

b) \( (C) \) est le cercle de centre \( I \) et de rayon \( \frac32 \).

2) a) \( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{9}{4} \).

\( M \in (C') \iff MI^2 - \frac{9}{4} = -\frac54 \iff MI^2 = 1 \iff MI = 1 \).

b) \( (C') \) est le cercle de centre \( I \) et de rayon \( 1 \).