Conditions d’achèvement
📌 Exercice 1 – Construction de barycentres
Construire, s'il existe, le barycentre :
1) \( G \) de \( (A;1) \) et \( (B;3) \)
2) \( H \) de \( (A;2) \) et \( (B;2) \)
3) \( J \) de \( (A;-1) \) et \( (B;2) \)
4) \( K \) de \( (A;-2) \) et \( (B;-6) \)
5) \( L \) de \( (A;-2) \) et \( (B;2) \)
✅ Correction détaillée
1) \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,3)\} \)
La somme des poids est \( 1+3=4 \neq 0 \). Le barycentre existe.
\( \overrightarrow{AG} = \frac{3}{1+3}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \).
Donc \( G \) est situé sur \([AB]\) à \( \frac{3}{4} \) de \( A \) vers \( B \).
2) \( H = \text{Bar}\{(A,2); (B,2)\} \)
La somme est \( 2+2=4 \neq 0 \).
\( \overrightarrow{AH} = \frac{2}{4}\overrightarrow{AB} = \frac12\overrightarrow{AB} \).
Résultat : \( H \) est le milieu du segment \([AB]\).
3) \( J = \text{Bar}\{(A,-1); (B,2)\} \)
La somme est \( -1+2=1 \neq 0 \).
\( \overrightarrow{AJ} = \frac{2}{-1+2}\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} \).
Donc \( J \) est situé sur la droite \( (AB) \), au-delà de \( B \), tel que \( AJ = 2AB \).
4) \( K = \text{Bar}\{(A,-2); (B,-6)\} \)
La somme est \( -2-6=-8 \neq 0 \).
\( \overrightarrow{AK} = \frac{-6}{-8}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \).
Remarque : On peut simplifier par \( -2 \) : \( K = \text{Bar}\{(A,1); (B,3)\} \).
Donc \( K = G \) (même point qu'au 1)).
5) \( L = \text{Bar}\{(A,-2); (B,2)\} \)
La somme est \( -2+2=0 \).
Résultat : Le barycentre n'existe pas.
📌 Exercice 2 – Coordonnées
Dans un repère, \( A(1;1) \) et \( B(5;3) \).
1) Calculer les coordonnées de \( G = \text{Bar}\{(A,2); (B,1)\} \).
2) Déterminer \( a, b \) tels que \( H(-1;0) = \text{Bar}\{(A,a); (B,b)\} \).
3) Peut-on trouver \( a, b \) tels que \( O = \text{Bar}\{(A,a); (B,b)\} \) ?
✅ Correction détaillée
1) Coordonnées de \( G \).
\( x_G = \frac{2 \times 1 + 1 \times 5}{2+1} = \frac{2+5}{3} = \frac{7}{3} \).
\( y_G = \frac{2 \times 1 + 1 \times 3}{3} = \frac{2+3}{3} = \frac{5}{3} \).
Résultat : \( G\left(\frac{7}{3}; \frac{5}{3}\right) \).
2) Détermination de \( a \) et \( b \).
On a \( H = \text{Bar}\{(A,a); (B,b)\} \), donc :
\( -1 = \frac{a \times 1 + b \times 5}{a+b} \) et \( 0 = \frac{a \times 1 + b \times 3}{a+b} \).
De la deuxième : \( a+3b=0 \iff a = -3b \).
En remplaçant dans la première :
\( -1 = \frac{-3b + 5b}{-3b+b} = \frac{2b}{-2b} = -1 \).
C'est vrai pour tout \( b \neq 0 \).
On choisit \( b=1 \), alors \( a=-3 \).
Résultat : \( H = \text{Bar}\{(A,-3); (B,1)\} \).
3) \( O = \text{Bar}\{(A,a); (B,b)\} \) ?
On cherche \( a, b \) tels que \( 0 = \frac{a \times 1 + b \times 5}{a+b} \) et \( 0 = \frac{a \times 1 + b \times 3}{a+b} \).
Ce qui donne \( a+5b=0 \) et \( a+3b=0 \).
Par soustraction : \( 2b=0 \iff b=0 \), puis \( a=0 \).
Mais \( a \) et \( b \) ne peuvent pas être nuls.
Résultat : Impossible. \( O \) n'est pas barycentre de \( A \) et \( B \).
📌 Exercice 3 – Barycentres et milieux
\( AB=4 \). \( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,3)\} \), \( K = \text{Bar}\{(A,3); (B,1)\} \).
1) Exprimer \( \overrightarrow{AG} \) et \( \overrightarrow{AK} \) en fonction de \( \overrightarrow{AB} \). Placer \( A, B, G, K \).
2) Montrer que \([AB]\) et \([GK]\) ont le même milieu.
✅ Correction détaillée
1) Expressions vectorielles.
\( \overrightarrow{AG} = \frac{3}{1+3}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \).
\( \overrightarrow{AK} = \frac{1}{3+1}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \).
Donc \( G \) et \( K \) sont sur \([AB]\), avec \( AK = \frac14 AB \) et \( AG = \frac34 AB \).
A K G B 1/4 1/2 1/4
2) Milieu de \([AB]\) et de \([GK]\).
Soit \( I \) le milieu de \([AB]\). On a \( \overrightarrow{AI} = \frac12\overrightarrow{AB} \).
Soit \( J \) le milieu de \([GK]\). On a \( \overrightarrow{AJ} = \frac12(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AK}) \).
\( \overrightarrow{AJ} = \frac12\left(\frac34\overrightarrow{AB} + \frac14\overrightarrow{AB}\right) = \frac12 \times \overrightarrow{AB} = \frac12\overrightarrow{AB} \).
Donc \( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AJ} \), donc \( I = J \).
Résultat : \([AB]\) et \([GK]\) ont le même milieu.
📌 Exercice 4 – Quadrilatère
Construire \( G = \text{Bar}\{(Q,1); (U,1); (A,-2); (D,-1)\} \).
✅ Correction détaillée
La somme des poids est \( 1+1-2-1 = -1 \neq 0 \). Le barycentre existe.
On utilise l'associativité :
- \( I = \text{Bar}\{(Q,1); (U,1)\} \) est le milieu de \([QU]\).
- \( J = \text{Bar}\{(A,-2); (D,-1)\} \) est tel que \( \overrightarrow{AJ} = \frac{-1}{-3}\overrightarrow{AD} = \frac13\overrightarrow{AD} \).
- Alors \( G = \text{Bar}\{(I, 1+1); (J, -2-1)\} = \text{Bar}\{(I,2); (J,-3)\} \).
Donc \( G \) est sur la droite \((IJ)\) avec \( \overrightarrow{IG} = \frac{-3}{-1}\overrightarrow{IJ} = 3\overrightarrow{IJ} \).
📌 Exercice 5 – Triangle et centre de gravité
\( ABC \) un triangle, \( A', B', C' \) les milieux de \([BC]\), \([AC]\), \([AB]\).
\( G = \text{Bar}\{(A,1); (B,1); (C,1)\} \).
1) Montrer que \( G \) est le barycentre de \( (C;1) \) et \( (C';2) \).
2) En déduire la position de \( G \) sur \([CC']\).
3) Démontrer que \( G \in [BB'] \) et \( G \in [AA'] \). Que peut-on en déduire ?
✅ Correction détaillée
1) \( G \) est barycentre de \( (C;1) \) et \( (C';2) \).
\( C' \) est le milieu de \([AB]\), donc \( C' = \text{Bar}\{(A,1); (B,1)\} \).
Par associativité :
\( \text{Bar}\{(C,1); (C',2)\} = \text{Bar}\{(C,1); (A,1); (B,1)\} = G \).
2) Position de \( G \) sur \([CC']\).
D'après la propriété caractéristique :
\( \overrightarrow{CG} = \frac{2}{1+2}\overrightarrow{CC'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CC'} \).
Résultat : \( G \) est situé sur la médiane \([CC']\) aux \( \frac{2}{3} \) de \( C \) vers \( C' \).
3) \( G \in [BB'] \) et \( G \in [AA'] \).
De la même manière :
- \( G = \text{Bar}\{(B,1); (B',2)\} \), donc \( G \in [BB'] \).
- \( G = \text{Bar}\{(A,1); (A',2)\} \), donc \( G \in [AA'] \).
Conclusion : Les trois médianes \( (AA'), (BB'), (CC') \) sont concourantes en \( G \), le centre de gravité du triangle.
📌 Exercice 6 – Quadrilatère et isobarycentre
\( TRUC \) un quadrilatère. \( K, L, M, N \) milieux de \([TR]\), \([RU]\), \([UC]\), \([CT]\).
\( G \) l'isobarycentre de \( T, R, U, C \).
Prouver que \( G \) est le milieu de \([KM]\) et de \([LN]\).
Que peut-on dire du quadrilatère \( KLMN \) ?
✅ Correction détaillée
\( G \) est le milieu de \([KM]\).
\( G = \text{Bar}\{(T,1); (R,1); (U,1); (C,1)\} \).
\( K \) est le milieu de \([TR]\), donc \( K = \text{Bar}\{(T,1); (R,1)\} \).
\( M \) est le milieu de \([UC]\), donc \( M = \text{Bar}\{(U,1); (C,1)\} \).
Par associativité :
\( G = \text{Bar}\{(K, 1+1); (M, 1+1)\} = \text{Bar}\{(K,2); (M,2)\} \).
Donc \( G \) est le barycentre de \( K \) et \( M \) avec des poids égaux.
Résultat : \( G \) est le milieu de \([KM]\).
\( G \) est le milieu de \([LN]\).
De même, \( L \) est le milieu de \([RU]\), \( N \) le milieu de \([CT]\).
Par associativité, \( G = \text{Bar}\{(L,2); (N,2)\} \).
Résultat : \( G \) est aussi le milieu de \([LN]\).
Nature du quadrilatère \( KLMN \).
Les diagonales \([KM]\) et \([LN]\) se coupent en leur milieu \( G \).
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
Résultat : \( KLMN \) est un parallélogramme (le parallélogramme de Varignon).