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Mathématiques Tronc commun Sciences BIOF

Vecteurs du plan

Skill Level: Beginner

Cours et exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF

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📌 a) Règle du parallélogramme

La somme des vecteurs AB→ et AC→ est le vecteur AD→ tel que :

AD→ = AB→ + AC→

où ABCD est un parallélogramme.

📖 Rappel : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu et les côtés opposés sont parallèles et égaux.

✅ Exercice 03

Énoncé : Soit un triangle ABC. Construire le point E tel que :

BE→ = BA→ + BC→

et le point F tel que :

AF→ = BA→ + BC→

✅ Corrigé :
On construit E tel que ABCE est un parallélogramme.
On construit à partir de A le vecteur BA→+BC→.
On a ainsi construit le vecteur AF→ et le point F.

📌 C) Produit d'un vecteur par un réel

📖 Définition :
Soit u→ un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.
On appelle produit du vecteur u→ par le réel k, le vecteur noté ku→ :

De même direction que u→
Même sens que u→ si k>0, sens contraire si k<0
De norme égale à |k| fois la norme de u→

‖ku→‖ = |k| × ‖u→‖

✅ Exercice 04

1) Soit deux vecteurs u→ et v→.
Représenter les vecteurs suivants :

2u→ , -v→ , 2u→ -v→

2) Soit trois points A, B et C.

a) Représenter le vecteur AC→+2BC→

b) Représenter le vecteur BC→-3AC→

✅ Corrigé :
1) On commence par représenter le vecteur 2u→ : Il a la même direction que u→, le même sens, et une norme double.
Le vecteur -v→ a la même direction que v→, un sens opposé, et la même norme.

2) Pour construire AC→+2BC→, on utilise la règle du parallélogramme ou la méthode de l'enchaînement des vecteurs.

📝 Propriétés fondamentales

Pour tous réels k et k', et tous vecteurs u→ et v→ :

• k(u→+v→)=ku→+kv→ (Distributivité)
• (k+k')u→=ku→+k'u→
• k(k'u→)=(kk')u→
• 1×u→=u→ et 0×u→=0→

🔢 Vecteurs du plan – Règle du parallélogramme et produit par un réel

Mathématiques Tronc commun Sciences BIOF

📚 Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ

Skill Level: Beginner

– Tronc Commun Sciences BIOF

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🔢 Les nombres entiers naturels (ℕ)

📖 Définition :
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté \( \mathbb{N} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0 \in \mathbb{N} \) ✓ \( 3 \in \mathbb{N} \) ✓ \( 112 \in \mathbb{N} \)
✗ \( -2 \notin \mathbb{N} \) ✗ \( 3{,}9 \notin \mathbb{N} \) ✗ \( \pi \notin \mathbb{N} \) ✗ \( \frac{4}{3} \notin \mathbb{N} \)

\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \)

🔢 Les nombres entiers relatifs (ℤ)

📖 Définition :
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté \( \mathbb{Z} \).

📌 Exemples :
✓ \( 3 \in \mathbb{Z} \) ✓ \( -2 \in \mathbb{Z} \)
✗ \( 3{,}9 \notin \mathbb{Z} \) ✗ \( \pi \notin \mathbb{Z} \) ✗ \( \frac{4}{3} \notin \mathbb{Z} \)

\( \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \)

🔢 Les nombres décimaux (𝔻)

📖 Définition :
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il s'écrit également sous la forme \( \frac{a}{10^p} \), avec \( a \) entier et \( p \) entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté \( \mathbb{D} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 \in \mathbb{D} \) ✓ \( 3 \in \mathbb{D} \) ✓ \( -\frac{3}{2} = -1{,}5 \in \mathbb{D} \)
✗ \( \pi \notin \mathbb{D} \) ✗ \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \) ✗ \( \sqrt{3} \notin \mathbb{D} \)

🔢 Les nombres rationnels (ℚ)

📖 Définition :
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient \( \frac{a}{b} \), avec \( a \) et \( b \) entiers relatifs et \( b \neq 0 \). L'ensemble des nombres rationnels est noté \( \mathbb{Q} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 = \frac{27}{100} \in \mathbb{Q} \) ✓ \( -3 = \frac{-3}{1} \in \mathbb{Q} \) ✓ \( \frac{1}{3} \in \mathbb{Q} \)
✗ \( \pi \notin \mathbb{Q} \) ✗ \( \sqrt{5} \notin \mathbb{Q} \)

🔢 Les nombres réels (ℝ)

📖 Définition :
L'ensemble des nombres réels est l'ensemble de tous les nombres utilisés en classe de seconde. Il contient tous les nombres rationnels et les nombres irrationnels (comme \( \pi \), \( \sqrt{2} \), etc.). L'ensemble des nombres réels est noté \( \mathbb{R} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 \in \mathbb{R} \) ✓ \( -3 \in \mathbb{R} \) ✓ \( \frac{1}{3} \in \mathbb{R} \) ✓ \( \pi \in \mathbb{R} \) ✓ \( \sqrt{5} \in \mathbb{R} \) ✓ \( 7 \in \mathbb{R} \)

📖 Notations particulières :
• \( \mathbb{R}^+ \) : ensemble des nombres réels positifs
• \( \mathbb{R}^- \) : ensemble des nombres réels négatifs
• \( \mathbb{R}^* \) : ensemble des nombres réels sauf zéro

📊 Inclusion des ensembles

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

📖 Rappel : \( A \subset B \) signifie que tous les éléments de \( A \) sont aussi des éléments de \( B \).

📌 Exemples :
• \( 5 \in \mathbb{N} \) donc \( 5 \in \mathbb{Z} \), \( 5 \in \mathbb{D} \), \( 5 \in \mathbb{Q} \), \( 5 \in \mathbb{R} \)
• \( -3 \in \mathbb{Z} \) mais \( -3 \notin \mathbb{N} \)
• \( 0{,}5 \in \mathbb{D} \) mais \( 0{,}5 \notin \mathbb{Z} \)
• \( \frac{1}{3} \in \mathbb{Q} \) mais \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \)
• \( \pi \in \mathbb{R} \) mais \( \pi \notin \mathbb{Q} \)

Mathématiques Tronc commun Sciences BIOF

Arithmétique dans ℕ

Skill Level: Beginner

📚 Arithmétique dans ℕ

Cours détaillé – Tronc Commun Sciences BIOF

🔢 I. Diviseurs et multiples

📖 Définition :
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels avec \(b \neq 0\).
On dit que \(b\) divise \(a\) (ou que \(a\) est un multiple de \(b\)) s'il existe un entier naturel \(k\) tel que : \[ a = k \times b \] On note : \(b \mid a\).

📌 Exemples :
• \(3 \mid 12\) car \(12 = 4 \times 3\)
• \(5 \mid 20\) car \(20 = 4 \times 5\)
• \(7 \nmid 25\) car il n'existe pas d'entier \(k\) tel que \(25 = 7k\).

📐 Propriétés :
Pour tous entiers naturels \(a, b, c\) :

Si \(a \mid b\) et \(b \mid c\) alors \(a \mid c\) (transitivité)
Si \(a \mid b\) et \(a \mid c\) alors \(a \mid (b + c)\)
Si \(a \mid b\) alors \(a \mid (k \times b)\) pour tout entier \(k\)
\(1\) divise tout entier naturel
\(0\) est multiple de tout entier naturel

🔢 II. Nombres pairs et impairs

📖 Définitions :
• Un entier naturel \(n\) est pair s'il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k\).
• Un entier naturel \(n\) est impair s'il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k + 1\).

📌 Exemples :
• Nombres pairs : \(0, 2, 4, 6, 8, 10, \dots\)
• Nombres impairs : \(1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\)

**Parité d'une somme et d'un produit**
\(a\)	\(b\)	\(a + b\)	\(a \times b\)
pair	pair	pair	pair
pair	impair	impair	pair
impair	pair	impair	pair
impair	impair	pair	impair

🔢 III. Nombres premiers

📖 Définition :
Un entier naturel \(p \geq 2\) est dit premier si ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\).

📌 Exemples :
• Les premiers nombres premiers : \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots\)
• \(1\) n'est pas premier (il a un seul diviseur).
• \(2\) est le seul nombre premier pair.

📐 Théorème fondamental de l'arithmétique :
Tout entier naturel \(n \geq 2\) se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de facteurs premiers. \[ n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \] où \(p_1, p_2, \dots, p_k\) sont des nombres premiers distincts.

📌 Exemples de décomposition :
• \(12 = 2^2 \times 3\)
• \(18 = 2 \times 3^2\)
• \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
• \(100 = 2^2 \times 5^2\)

🔢 IV. PGCD et PPCM

📖 Définition :
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.
• Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de \(a\) et \(b\) est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
• Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de \(a\) et \(b\) est le plus petit entier (non nul) qui est multiple à la fois de \(a\) et \(b\).

📐 Méthode :
Si \(a = p_1^{\alpha_1} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}\) et \(b = p_1^{\beta_1} \times \dots \times p_k^{\beta_k}\), alors : \[ \text{PGCD}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \times \dots \times p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} \] \[ \text{PPCM}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \times \dots \times p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)} \]

📌 Exemple :
\(a = 60 = 2^2 \times 3 \times 5\) et \(b = 84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
• \(\text{PGCD}(60, 84) = 2^2 \times 3 = 12\)
• \(\text{PPCM}(60, 84) = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420\)

📐 Relation fondamentale : \[ \text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b) = a \times b \]

🔢 V. Nombres premiers entre eux

📖 Définition :
Deux entiers naturels \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

📌 Exemples :
• \(8\) et \(15\) sont premiers entre eux car \(\text{PGCD}(8, 15) = 1\).
• \(12\) et \(18\) ne sont pas premiers entre eux car \(\text{PGCD}(12, 18) = 6\).

🔢 VI. Critères de divisibilité

Divisible par	Condition
2	Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
3	La somme des chiffres est divisible par 3
4	Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4
5	Le chiffre des unités est 0 ou 5
9	La somme des chiffres est divisible par 9
10	Le chiffre des unités est 0

📌 Exemples :
• \(378\) est divisible par 2 (finit par 8) et par 3 (\(3+7+8=18\) divisible par 3)
• \(124\) est divisible par 4 (\(24\) divisible par 4)
• \(525\) est divisible par 5 (finit par 5) et par 3 (\(5+2+5=12\) divisible par 3)

🔢 VII. Exercices résolus

📌 Exercice 1 : Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
Solution : \(360 = 36 \times 10 = (6 \times 6) \times (2 \times 5) = (2 \times 3)^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)

📌 Exercice 2 : Calculer PGCD(360, 126) et PPCM(360, 126).
Solution :
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)
\(\text{PGCD} = 2 \times 3^2 = 18\)
\(\text{PPCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520\)

📌 Exercice 3 : Montrer que \(n^2 - n\) est toujours pair pour tout entier \(n\).
Solution : \(n^2 - n = n(n-1)\). Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.