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Cours et exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF
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📌 a) Règle du parallélogramme
La somme des vecteurs AB→ et AC→ est le vecteur AD→ tel que :
AD→ = AB→ + AC→
où ABCD est un parallélogramme.
📖 Rappel : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu et les côtés opposés sont parallèles et égaux.
✅ Exercice 03
Énoncé : Soit un triangle ABC. Construire le point E tel que :
BE→ = BA→ + BC→
et le point F tel que :
AF→ = BA→ + BC→
✅ Corrigé :
On construit E tel que ABCE est un parallélogramme.
On construit à partir de A le vecteur BA→+BC→.
On a ainsi construit le vecteur AF→ et le point F.
On construit E tel que ABCE est un parallélogramme.
On construit à partir de A le vecteur BA→+BC→.
On a ainsi construit le vecteur AF→ et le point F.
📌 C) Produit d'un vecteur par un réel
📖 Définition :
Soit u→ un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.
On appelle produit du vecteur u→ par le réel k, le vecteur noté ku→ :
Soit u→ un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.
On appelle produit du vecteur u→ par le réel k, le vecteur noté ku→ :
- De même direction que u→
- Même sens que u→ si k>0, sens contraire si k<0
- De norme égale à |k| fois la norme de u→
‖ku→‖ = |k| × ‖u→‖
✅ Exercice 04
1) Soit deux vecteurs u→ et v→.
Représenter les vecteurs suivants :
2u→ , -v→ , 2u→ -v→
2) Soit trois points A, B et C.
a) Représenter le vecteur AC→+2BC→
b) Représenter le vecteur BC→-3AC→
✅ Corrigé :
1) On commence par représenter le vecteur 2u→ : Il a la même direction que u→, le même sens, et une norme double.
Le vecteur -v→ a la même direction que v→, un sens opposé, et la même norme.
2) Pour construire AC→+2BC→, on utilise la règle du parallélogramme ou la méthode de l'enchaînement des vecteurs.
1) On commence par représenter le vecteur 2u→ : Il a la même direction que u→, le même sens, et une norme double.
Le vecteur -v→ a la même direction que v→, un sens opposé, et la même norme.
2) Pour construire AC→+2BC→, on utilise la règle du parallélogramme ou la méthode de l'enchaînement des vecteurs.
📝 Propriétés fondamentales
Pour tous réels k et k', et tous vecteurs u→ et v→ :
• k(u→+v→)=ku→+kv→ (Distributivité)
• (k+k')u→=ku→+k'u→
• k(k'u→)=(kk')u→
• 1×u→=u→ et 0×u→=0→
• k(u→+v→)=ku→+kv→ (Distributivité)
• (k+k')u→=ku→+k'u→
• k(k'u→)=(kk')u→
• 1×u→=u→ et 0×u→=0→
🔢 Vecteurs du plan – Règle du parallélogramme et produit par un réel
1. V2
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📌 I. Vecteurs du plan – Définition
Définition : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois éléments :
- sa direction (celle de la droite \((AB)\)) ;
- son sens (de \(A\) vers \(B\)) ;
- sa norme (longueur) notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
🎯 Activité (hexagone régulier ABCDEF de centre O, I milieu de [AB], J milieu de [ED]) :
Citer :
- Deux vecteurs égaux.
- Deux vecteurs de même direction, sens contraire et normes différentes.
- Deux vecteurs de même direction, même sens et normes différentes.
- Deux vecteurs de direction différente et de même norme.
- Deux vecteurs opposés.
Corrigé :
① \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}\)
② \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}\)
③ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FC}\)
④ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
⑤ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\)
① \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}\)
② \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}\)
③ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FC}\)
④ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
⑤ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\)
📌 II. Égalité de deux vecteurs
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ même direction, même sens et même norme.
Remarques :
- On note \(\vec{u}\) le vecteur représenté par \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), etc.
- \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\) ⇔ \(A = B\).
📌 III. Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles : Pour tous points \(A, B, C\) :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]
Règle du parallélogramme :
Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), alors \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.
Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), alors \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.
📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un réel
Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(k\vec{u}\) a :
- la même direction que \(\vec{u}\) ;
- le même sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
- une norme \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).
📌 V. Colinéarité de deux vecteurs
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda \vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\)).
Cela signifie qu'ils ont la même direction.
Remarque : Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire à tout vecteur du plan.
Exemple : Si \(\vec{v} = -3\vec{u}\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
📌 VI. Milieu d'un segment
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
\[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
✅ Exercice 1
Énoncé : Simplifier : \(\vec{U} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)
\[ \begin{aligned} \vec{U} &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \end{aligned} \]
Résultat : \(\vec{U} = \overrightarrow{AB}\)
✅ Exercice 2
Énoncé : Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} \end{aligned} \]
Donc \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\) (CQFD).
✅ Exercice 3
Énoncé : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point. On pose :
\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]
Quelle est la nature de \(ABCD\) et \(ACBE\) ?
Corrigé :
• \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇒ \(ABCD\) est un parallélogramme.
• \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇒ \(ACBE\) est un parallélogramme.
• \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇒ \(ABCD\) est un parallélogramme.
• \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇒ \(ACBE\) est un parallélogramme.
✅ Exercice 4 (Application)
Énoncé : Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Démontrer que pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]
Corrigé :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [AC])}\\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [BD])}\\ \text{Donc } \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [AC])}\\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [BD])}\\ \text{Donc } \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO} \end{aligned} \]
✅ Exercice 5 (Colinéarité)
Énoncé : Dans un repère, on donne \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-4;6)\). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
Corrigé :
\[ \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \Rightarrow \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \text{Donc } \vec{v} = -2\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \text{Les vecteurs sont colinéaires.} \]
\[ \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \Rightarrow \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \text{Donc } \vec{v} = -2\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \text{Les vecteurs sont colinéaires.} \]
✅ Exercice 6 (Construction)
Énoncé : Soit deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et un point \(O\).
- Construire \(A\) tel que \(\overrightarrow{OA} = 3\vec{u} - \vec{v}\).
- Soit trois points \(A, B, C\) du plan. Construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).
Corrigé :
\(3\vec{u} - \vec{v} = 3\vec{u} + (-1)\vec{v}\)
On construit d'abord le vecteur \(3\vec{u}\) (même sens que \(\vec{u}\), norme triple),
puis on ajoute le vecteur \(-\vec{v}\) (même direction que \(\vec{v}\), sens opposé).
\(3\vec{u} - \vec{v} = 3\vec{u} + (-1)\vec{v}\)
On construit d'abord le vecteur \(3\vec{u}\) (même sens que \(\vec{u}\), norme triple),
puis on ajoute le vecteur \(-\vec{v}\) (même direction que \(\vec{v}\), sens opposé).
✅ Exercice 7 (Lecture graphique)
Énoncé : Par lecture graphique, écrire \(\vec{u}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).
Corrigé :
\(\vec{u} = 3\vec{i} - 3\vec{j}\)
\(\vec{u} = 3\vec{i} - 3\vec{j}\)
Propriété :
• \(a.(b\vec{U}) = b(a\vec{U}) = ab\vec{U}\)
• \((a + b)\vec{U} = a\vec{U} + b\vec{U}\)
• \(a(\vec{U} + \vec{V}) = a\vec{U} + a\vec{V}\)
• \(a.(b\vec{U}) = b(a\vec{U}) = ab\vec{U}\)
• \((a + b)\vec{U} = a\vec{U} + b\vec{U}\)
• \(a(\vec{U} + \vec{V}) = a\vec{U} + a\vec{V}\)
✅ Exercice 8 (Alignement et parallélisme)
Propriété : Soient \(A, B, C, D\) quatre points deux à deux distincts.
- Dire que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- Dire que les points distincts \(A, B, C\) sont alignés revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Application :
Pour montrer que trois points sont alignés, on vérifie que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) pour un certain réel \(k\).
Pour montrer que trois points sont alignés, on vérifie que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) pour un certain réel \(k\).
📝 Formulaire à retenir
• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
• \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ \(ABDC\) parallélogramme
• \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
• \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\)
• \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires
• \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires
• \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ \(ABDC\) parallélogramme
• \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
• \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\)
• \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires
• \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires
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