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📖 Définition :
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté \( \mathbb{N} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0 \in \mathbb{N} \) ✓ \( 3 \in \mathbb{N} \) ✓ \( 112 \in \mathbb{N} \)
✗ \( -2 \notin \mathbb{N} \) ✗ \( 3{,}9 \notin \mathbb{N} \) ✗ \( \pi \notin \mathbb{N} \) ✗ \( \frac{4}{3} \notin \mathbb{N} \)

\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \)

🔢 Les nombres entiers relatifs (ℤ)

📖 Définition :
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté \( \mathbb{Z} \).

📌 Exemples :
✓ \( 3 \in \mathbb{Z} \) ✓ \( -2 \in \mathbb{Z} \)
✗ \( 3{,}9 \notin \mathbb{Z} \) ✗ \( \pi \notin \mathbb{Z} \) ✗ \( \frac{4}{3} \notin \mathbb{Z} \)

\( \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \)

🔢 Les nombres décimaux (𝔻)

📖 Définition :
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il s'écrit également sous la forme \( \frac{a}{10^p} \), avec \( a \) entier et \( p \) entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté \( \mathbb{D} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 \in \mathbb{D} \) ✓ \( 3 \in \mathbb{D} \) ✓ \( -\frac{3}{2} = -1{,}5 \in \mathbb{D} \)
✗ \( \pi \notin \mathbb{D} \) ✗ \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \) ✗ \( \sqrt{3} \notin \mathbb{D} \)

🔢 Les nombres rationnels (ℚ)

📖 Définition :
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient \( \frac{a}{b} \), avec \( a \) et \( b \) entiers relatifs et \( b \neq 0 \). L'ensemble des nombres rationnels est noté \( \mathbb{Q} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 = \frac{27}{100} \in \mathbb{Q} \) ✓ \( -3 = \frac{-3}{1} \in \mathbb{Q} \) ✓ \( \frac{1}{3} \in \mathbb{Q} \)
✗ \( \pi \notin \mathbb{Q} \) ✗ \( \sqrt{5} \notin \mathbb{Q} \)

🔢 Les nombres réels (ℝ)

📖 Définition :
L'ensemble des nombres réels est l'ensemble de tous les nombres utilisés en classe de seconde. Il contient tous les nombres rationnels et les nombres irrationnels (comme \( \pi \), \( \sqrt{2} \), etc.). L'ensemble des nombres réels est noté \( \mathbb{R} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 \in \mathbb{R} \) ✓ \( -3 \in \mathbb{R} \) ✓ \( \frac{1}{3} \in \mathbb{R} \) ✓ \( \pi \in \mathbb{R} \) ✓ \( \sqrt{5} \in \mathbb{R} \) ✓ \( 7 \in \mathbb{R} \)

📖 Notations particulières :
• \( \mathbb{R}^+ \) : ensemble des nombres réels positifs
• \( \mathbb{R}^- \) : ensemble des nombres réels négatifs
• \( \mathbb{R}^* \) : ensemble des nombres réels sauf zéro

📊 Inclusion des ensembles

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

📖 Rappel : \( A \subset B \) signifie que tous les éléments de \( A \) sont aussi des éléments de \( B \).

📌 Exemples :
• \( 5 \in \mathbb{N} \) donc \( 5 \in \mathbb{Z} \), \( 5 \in \mathbb{D} \), \( 5 \in \mathbb{Q} \), \( 5 \in \mathbb{R} \)
• \( -3 \in \mathbb{Z} \) mais \( -3 \notin \mathbb{N} \)
• \( 0{,}5 \in \mathbb{D} \) mais \( 0{,}5 \notin \mathbb{Z} \)
• \( \frac{1}{3} \in \mathbb{Q} \) mais \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \)
• \( \pi \in \mathbb{R} \) mais \( \pi \notin \mathbb{Q} \)

Sommaire de Cours MATHS

Vecteurs du plan

Skill Level: Beginner

Cours et exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF

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📌 a) Règle du parallélogramme

La somme des vecteurs AB→ et AC→ est le vecteur AD→ tel que :

AD→ = AB→ + AC→

où ABCD est un parallélogramme.

📖 Rappel : Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu et les côtés opposés sont parallèles et égaux.

✅ Exercice 03

Énoncé : Soit un triangle ABC. Construire le point E tel que :

BE→ = BA→ + BC→

et le point F tel que :

AF→ = BA→ + BC→

✅ Corrigé :
On construit E tel que ABCE est un parallélogramme.
On construit à partir de A le vecteur BA→+BC→.
On a ainsi construit le vecteur AF→ et le point F.

📌 C) Produit d'un vecteur par un réel

📖 Définition :
Soit u→ un vecteur non nul et k un nombre réel non nul.
On appelle produit du vecteur u→ par le réel k, le vecteur noté ku→ :

De même direction que u→
Même sens que u→ si k>0, sens contraire si k<0
De norme égale à |k| fois la norme de u→

‖ku→‖ = |k| × ‖u→‖

✅ Exercice 04

1) Soit deux vecteurs u→ et v→.
Représenter les vecteurs suivants :

2u→ , -v→ , 2u→ -v→

2) Soit trois points A, B et C.

a) Représenter le vecteur AC→+2BC→

b) Représenter le vecteur BC→-3AC→

✅ Corrigé :
1) On commence par représenter le vecteur 2u→ : Il a la même direction que u→, le même sens, et une norme double.
Le vecteur -v→ a la même direction que v→, un sens opposé, et la même norme.

2) Pour construire AC→+2BC→, on utilise la règle du parallélogramme ou la méthode de l'enchaînement des vecteurs.

📝 Propriétés fondamentales

Pour tous réels k et k', et tous vecteurs u→ et v→ :

• k(u→+v→)=ku→+kv→ (Distributivité)
• (k+k')u→=ku→+k'u→
• k(k'u→)=(kk')u→
• 1×u→=u→ et 0×u→=0→

🔢 Vecteurs du plan – Règle du parallélogramme et produit par un réel

Sommaire de Cours MATHS

Projection dans le plan

Skill Level: Beginner

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Polynôme

Skill Level: Beginner

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08. Equations-inéquations-systèmes

Skill Level: Beginner

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Droite dans le plan