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Dérivabilité d'une fonction

Niveau : Tronc Commun

⭐ 4.8 (245 avis)

⏱️ Durée : 2h 15min

📖 Niveau : Tronc Commun

🌐 Français

📌 Ce que vous apprendrez dans ce chapitre

✓ Définir le nombre dérivé d'une fonction en un point

✓ Interpréter géométriquement la dérivée

✓ Connaître les dérivées des fonctions usuelles

✓ Calculer la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient

✓ Étudier les variations et les extremums d'une fonction

🎯 Introduction ▼

La dérivée est un outil fondamental en mathématiques. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction, de déterminer ses extremums (maximums et minimums) et de trouver l'équation de sa tangente en un point.

📌 Exemple : La dérivée de la fonction \( x^2 \) est \( 2x \).

📖 Définition du nombre dérivé ▼

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \) et \( a \in I \).

On dit que \( f \) est dérivable en \( a \)** si la limite suivante existe et est finie :

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Ce nombre est appelé nombre dérivé de \( f \) en \( a \).

⚠️ Remarque : On note aussi \( \frac{df}{dx}(a) \) la dérivée de \( f \) en \( a \).

📌 Exemple : Calculons la dérivée de \( f(x) = x^2 \) en \( a = 1 \).
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2 \]

📐 Interprétation géométrique ▼

Le nombre dérivé \( f'(a) \) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( a \).

L'équation de la tangente au point \( (a, f(a)) \) est :

\[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]

📌 Exemple : La tangente à la courbe de \( f(x) = x^2 \) au point d'abscisse \( 1 \) a pour équation :
\( y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1 \).

📝 Formules des dérivées usuelles ▼

Tableau des dérivées :

\( f(x) \)	\( f'(x) \)
\( k \) (constante)	\( 0 \)
\( x \)	\( 1 \)
\( x^n \) (\( n \in \mathbb{N} \))	\( n x^{n-1} \)
\( \frac{1}{x} \) (\( x \neq 0 \))	\( -\frac{1}{x^2} \)
\( \sqrt{x} \) (\( x > 0 \))	\( \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( \sin(x) \)	\( \cos(x) \)
\( \cos(x) \)	\( -\sin(x) \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( \ln(x) \) (\( x > 0 \))	\( \frac{1}{x} \)

⚙️ Opérations sur les dérivées ▼

Propriétés : Si \( u \) et \( v \) sont deux fonctions dérivables, alors :

\( (u+v)' = u' + v' \)
\( (ku)' = k u' \)
\( (uv)' = u'v + uv' \)
\( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) (avec \( v \neq 0 \))

📌 Exemple : Dérivée de \( f(x) = x^2 \sin(x) \)
\( f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \)

📈 Variations d'une fonction ▼

Théorème : Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \).

Si \( f'(x) > 0 \) sur \( I \), alors \( f \) est strictement croissante.
Si \( f'(x) < 0 \) sur \( I \), alors \( f \) est strictement décroissante.
Si \( f'(x) = 0 \) sur \( I \), alors \( f \) est constante.

🎯 Extremums locaux ▼

Théorème : Si \( f \) admet un extremum local en \( c \), alors \( f'(c) = 0 \).

⚠️ Remarque : La réciproque est fausse (exemple : \( f(x) = x^3 \) en 0).

✏️ Exercices résolus ▼

📌 Exercice 1 : Calculer la dérivée de \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \).

Solution : \( f'(x) = 6x - 5 \)

📌 Exercice 2 : Calculer la dérivée de \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \).

Solution : \( f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2} \)

📌 Exercice 3 : Étudier les variations de \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \).

Solution : \( f'(x) = 2x - 4 \).
\( f \) est décroissante sur \( ]-\infty, 2] \) et croissante sur \( [2, +\infty[ \).
Minimum : \( f(2) = -1 \)

« C'est en forgeant que l'on devient forgeron. »

C'est en s'entraînant régulièrement aux calculs et exercices que l'on devient un mathématicien.

📌 Exemple : La dérivée de \( f(x) = x^2 \) en \( a = 1 \) est :
\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = 2 \]

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