CONTROLE N°1 \\ 1er sem - math
EXERCICE 1 :
* Soit \( n \) un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants :
\[
a = 4n^2 + 2n + 3 \quad ; \quad b = 2^{2021} + 3^{2022} \quad \text{et} \quad c = 5^n + 1
\]
* Soit \( n \) un entier naturel. Montrer que le nombre :
\[
3^{n+2} + 3^n \quad \text{est multiple de 5}
\]
* Donner tous les diviseurs positifs non premiers du nombre 102.
* Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 7752.
* Déterminer tous les entiers naturels \( x \) et \( y \) tels que
\[
(x - 2)(y - 5) = 22
\]
* Le nombre 323 est-il premier ? Justifier.
EXERCICE 2 :
On pose :
\[
a = 2^2 \times 3 \times 7 + 2^5 \times 3 \quad \text{et} \quad b = 168
\]
* Sans calcul, déterminer la parité de \( a \).
* Montrer que :
\[
a = 2^2 \times 3^2 \times 5 \quad \text{et} \quad b = 2^3 \times 3 \times 7
\]
* Calculer :
\[
\text{PGCD}(a, b) \quad \text{et} \quad \text{PPCM}(a, b)
\]
* Simplifier :
\[
\frac{a}{b} \quad \text{et} \quad \sqrt{ab}
\]
* Montrer que \( 5a \) est un carré parfait.
EXERCICE 3 :
\( ABC \) un triangle. I, J et K trois points du plan tels que :
\[
\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \quad ; \quad \overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AK} = 2 \overrightarrow{AC}
\]
* Construire la figure.
* Montrer que :
\[
\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{JK} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{BC}
\]
* Montrer que :
\[
3 \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{0}
\]
* En déduire que les points I, J et K sont alignés.
* On considère le point H tel que :
\[
\overrightarrow{AH} = 2 \overrightarrow{AJ}
\]
* Placer le point H sur la figure.
* Déterminer la nature du quadrilatère \( ABHC \).
* En déduire que les deux droites \( (BH) \) et \( (AK) \) sont parallèles.
EXERCICE 4 :
Soit \( n \) un entier naturel. On pose :
\[
A = 4n^2 + 12n + 9
\]
* Montrer que :
\[
n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)
\]
* Montrer que \( A - 1 \) est multiple de 8.
