1. 1. Montrer que \(u_n > 0\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
   2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
   3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
2. 1. Montrer que \(u_{n+1} \leq \frac{1}{3} u_n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
   2. En déduire que \(u_n \leq \left( \frac{1}{3} \right)^n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\), puis calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\).

On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})\), les points :

et le plan \((P)\) d'équation : \(x + y - 3 = 0\).

1. 1. Calculer la distance du point \(\Omega(0,1,-1)\) au plan \((P)\).
   2. En déduire qu'une équation cartésienne de la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(0,1,-1)\) et tangente au plan \((P)\) est : \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 2z = 0. \]
2. 1. Déterminer \(\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}\), puis en déduire que les points \(A\), \(B\), et \(C\) ne sont pas alignés.
   2. Montrer que : \(x - z - 3 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
3. 1. Vérifier que la sphère \((S)\) est tangente au plan \((ABC)\).
   2. Calculer la distance \(\Omega C\) et en déduire le point de contact de \((S)\) et le plan \((ABC)\).

1. 1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\). (\(z_1\) et \(z_2\) sont les deux solutions avec \(\Re(z_1) > 0\)).
   2. Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{e}_1, \vec{e}_2)\), on considère les points \(A\), \(B\), \(S\) d'affixes :

   \[ a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i,\quad b = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i,\quad s = i. \]
   1. Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(\dfrac{a - s}{b - s}\).
   2. En déduire que le triangle \(SAB\) est équilatéral et rectangle en \(S\).
   3. Montrer que le quadrilatère \(OASB\) est un carré.

Un sac \(U_1\) contient :

• deux jetons portant le nombre 1,
• quatre jetons portant le nombre 2.

Un autre sac \(U_2\) contient :

• trois boules rouges,
• quatre boules vertes.

1. Calculer la probabilité des événements :
   • A : "Le jeton tiré porte le nombre 1"
   • B : "Le jeton tiré porte le nombre 2"

2. On effectue l'expérience suivante :

   • On tire un jeton du sac \(U_1\) et note le nombre.
   • Si ce nombre est 1, on tire une boule du sac \(U_2\).
   • Si ce nombre est 2, on tire simultanément deux boules du sac \(U_2\).

   Soit \(n\) le nombre de boules rouges tirées, et \(E_n\) l'événement "tirer exactement \(n\) boules rouges".

   1. Montrer que : \[ P(E_1) = \frac{11}{21}, \quad P(E_2) = \frac{2}{21}. \]
   2. Calculer \(P(A \mid E_1)\).

Soit \(f : x \mapsto \ln(x^2 - 2x + 2)\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative.

1. 1. Vérifier que : \[ x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1. \]
   2. En déduire que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), puis calculer : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x), \quad \lim_{x \to -\infty} f(x). \]
2. Montrer que \(f(2 - x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), puis en déduire que la droite \(x = 1\) est un axe de symétrie de \((\mathcal{C})\).
3. 1. Vérifier que : \[ f(x) = 2 \ln(x) + \ln\left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}\right), \quad \forall x \in [1, +\infty[. \]
   2. En déduire que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \] et interpréter géométriquement ce résultat.
4. 1. Montrer que : \[ f'(x) = \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 + 1}. \]
   2. Donner le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
5. 1. Montrer que : \[ f''(x) = \frac{2x(2 - x)}{((x - 1)^2 + 1)^2}. \]
   2. Étudier la concavité de \((\mathcal{C})\).
6. Construire la courbe \((\mathcal{C})\).

7. Soit \(h = f_{|[1,+\infty[}\).

   1. Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l'on précisera.
   2. Déterminer \(h^{-1}(x)\) pour tout \(x \in J\).
8. 1. En posant \(t = x - 1\), montrer que : \[ \int_0^1 f(x) \, dx = \int_{-1}^1 \ln(1 + t^2) \, dt. \]
   2. Par intégration par parties, montrer que : \[ \int_{-1}^1 \ln(1 + t^2) \, dt = \ln 2 - 2 \int_{-1}^0 \frac{t^2}{1 + t^2} \, dt. \]
   3. Montrer que : \[ \int_{-1}^0 \frac{t^2}{1 + t^2} \, dt = 1 - \frac{\pi}{4}. \] (Remarque : \(\frac{t^2}{1 + t^2} = 1 - \frac{1}{1 + t^2}\))
   4. En déduire l'aire du domaine plan délimité par :
      • la courbe \((\mathcal{C})\),
      • l'axe des abscisses,
      • les droites d'équations \(x = 0\) et \(x = 1\).