1 & \textbf{Exercice 1 : (3,5 points)} L'espace $E$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Soit $S$ l'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que : $x^2 + y^2 + z^2 - 4y + 2z + 2 = 0$. \\
\hline
0.25 & 1. Montrer que $S$ est une sphère de centre $\Omega(0,2,-1)$ et de rayon $r = \sqrt{3}$. \\
\hline
1 & 2.a) Vérifier que le point $A(-1,1,0)$ appartient à la sphère $S$. \\
& b) Écrire une équation du plan $P$ tangent à la sphère $S$ au point $A$. \\
\hline
0.5 & 3.a) Vérifier que : $x + y + z - 2 = 0$ est une équation cartésienne du plan $Q$ passant par le point $B(1,3,-2)$ et $\vec{n}(1,1,1)$ est un vecteur qui lui est normal. \\
& b) Montrer que $Q$ coupe $S$ suivant un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. \\
\section*{Exercice 2 : (3,5 points)}
On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation :
\[(E) : z^2 - 4iz - 4(1+i) = 0.\]
On désigne par $z_1$ et $z_2$ les deux solutions de l'équation $(E)$ tel que :
\[\Re(z_1) > 0.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que le discriminant de l'équation $(E)$ est :
\[\Delta = \left[ 2\sqrt{2}(1+i) \right]^2 \text{ puis déterminer } z_1 \text{ et } z_2.\]
\item On pose : $a = 2i$ et $b = \sqrt{2}(1+i)$.
Vérifier que : $z_1 = a + b$ et $z_2 = a - b$ puis écrire $a$ et $b$ sous forme trigonométrique.
\item On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $z_1$.
\begin{enumerate}
\item[a)] Représenter les points $A$, $B$ et $C$ et vérifier que : $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ et que $OA = OB$.
\item[b)] En déduire que $OBCA$ est un losange et que :
\[\arg(z_1) = \frac{3\pi}{8} [2\pi].\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 3 : (3 points)}
Un sac contient neuf jetons indiscernables au toucher : deux jetons blancs portant le nombre 1, trois jetons rouges portant les nombres 1, 2 et 2 et quatre jetons noirs portant les nombres 1, 1, 2 et 2.
On tire simultanément et au hasard trois jetons du sac.
\section*{Exercice 3 : Suite (3 points)}
1. Calculer les probabilités des événements suivants :
\begin{itemize}
\item A : "les trois jetons tirés sont de couleurs différentes (un jeton de chaque couleur)".
\item B : "les trois jetons tirés portent le même nombre".
\item C : "au moins un jeton parmi les jetons tirés est rouge".
\end{itemize}
2. Calculer la probabilité de l'événement $A \cap B$.
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 4 : (10 points)}
\subsection*{Partie I}
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[ f(x) = 1 - \frac{1}{2}x - \frac{2}{e^x + 1} \]
$(\mathcal{C})$ est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
\item[a)] Vérifier que :
\[ \frac{1}{e^{-x} + 1} = 1 - \frac{1}{e^x + 1} \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}. \]
\item[b)] En déduire que $f$ est une fonction impaire.
\end{enumerate}
\item Calculer
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x). \]
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] Montrer que :
\[ f'(x) = -\frac{1}{2} \left( \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right)^2 \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}. \]
\item[b)] Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$.
\item[c)] En déduire que :
\[ 1 - \frac{2}{e^x + 1} \leq \frac{1}{2}x \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}^+. \]
\end{enumerate}
\item Montrer que :
\[ \lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - \left( 1 - \frac{1}{2}x \right) \right] = 0 \]
puis interpréter géométriquement ce résultat.
\item Tracer dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ :
\begin{itemize}
\item La droite d'équation $y = 1 - \frac{1}{2}x$
\item La courbe $(\mathcal{C})$
\end{itemize}
\item
\begin{enumerate}
\item[a)] En posant $u = e^{-x}$, montrer que :
\[ \int_{-1}^{0} \frac{1}{1 + e^x} dx = \ln \left( \frac{e + 1}{2} \right). \]
\item[b)] Calculer l'aire du domaine plan délimité par :
\begin{itemize}
\item La courbe $(\mathcal{C})$
\item L'axe des abscisses
\item Les droites d'équations $x = -1$ et $x = 0$
\subsection*{Partie II}
Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par :
\[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = 1 - \frac{2}{e^{u_n} + 1} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \]
\begin{tabular}{|p{0.8cm}|L{14cm}|}
\hline
0.5 & 1. Montrer par récurrence que : \( u_n > 0 \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \). \\
\hline
0.5 & 2.a) Vérifier, en utilisant le résultat de la question I.3.c, que : \\
& \( u_{n+1} \leq \frac{1}{2} u_n \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \). \\
\hline
0.5 & b) En déduire que la suite \( (u_n) \) est décroissante. \\
\hline
0.75 & 3. Montrer que : \( u_n \leq \left( \frac{1}{2} \right)^n \), pour tout \( n \in \mathbb{N} \) \\
& puis calculer \( \lim\limits_{n \to +\infty} u_n \). \\