Examens Nationaux 2005 – Série de Mathématiques}
Exercice 1 : (2,5 points)}
On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :
\[
u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{u_n^3}{3u_n^2 + 1}, \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}.
\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que \(u_n > 0\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
\item Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
\item En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que \(u_{n+1} \leq \frac{1}{3} u_n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
\item En déduire que \(u_n \leq \left( \frac{1}{3} \right)^n\), pour tout \(n \in \mathbb{N}\), puis calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 2 : (3,5 points)}
On considère dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})\), les points \(A(1,2,-2)\), \(B(0,3,-3)\), \(C(1,1,-2)\), et le plan \((P)\) d’équation :
\[
x + y - 3 = 0.
\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Calculer la distance du point \(\Omega(0,1,-1)\) au plan \((P)\).
\item En déduire qu’une équation cartésienne de la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(0,1,-1)\) et tangente au plan \((P)\) est :
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2y + 2z = 0.
\]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Déterminer \(\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AC}\), puis en déduire que les points \(A\), \(B\), et \(C\) ne sont pas alignés.
\item Montrer que : \(x - z - 3 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Vérifier que la sphère \((S)\) est tangente au plan \((ABC)\).
\item Calculer la distance \(\Omega C\) et en déduire le point de contact de \((S)\) et le plan \((ABC)\).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 3 : (3 points)}
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation suivante :
\[
(E) : 2z^2 - 2iz - 1 = 0.
\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\). (\(z_1\) et \(z_2\) sont les deux solutions avec \(\Re(z_1) > 0\)).
\item Écrire \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
\end{enumerate}
\item
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{e}_1, \vec{e}_2)\), on considère les points \(A\), \(B\), \(S\) d’affixes :
\[
a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i, \quad b = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i, \quad s = i.
\]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe \(\dfrac{a - s}{b - s}\).
\item En déduire que le triangle \(SAB\) est équilatéral et rectangle en \(S\).
\item Montrer que le quadrilatère \(OASB\) est un carré.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 4 : (3 points)}
Un sac \(U_1\) contient :
\begin{itemize}
\item Deux jetons portant le nombre 1
\item Quatre jetons portant le nombre 2
\end{itemize}
Un autre sac \(U_2\) contient :
\begin{itemize}
\item Trois boules rouges
\item Quatre boules vertes
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des événements :
\begin{itemize}
\item A : "Le jeton tiré porte le nombre 1"
\item B : "Le jeton tiré porte le nombre 2"
\end{itemize}
\item On effectue l'expérience suivante :
\begin{itemize}
\item On tire un jeton du sac \(U_1\) et note le nombre
\item Si ce nombre est 1, on tire une boule du sac \(U_2\)
\item Si ce nombre est 2, on tire simultanément deux boules du sac \(U_2\)
\end{itemize}
Soit \(n\) le nombre de boules rouges tirées, et \(E_n\) l’événement "tirer exactement \(n\) boules rouges".
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que :
\[
P(E_1) = \frac{11}{21}, \quad P(E_2) = \frac{2}{21}.
\]
\item Calculer \(P(A \mid E_1)\), la probabilité de \(A\) sachant que \(E_1\) est réalisé.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 5 : (8 points)}
Soit \(f : x \mapsto \ln(x^2 - 2x + 2)\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Vérifier que :
\[
x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1.
\]
\item En déduire que \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), puis calculer :
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x), \quad \lim_{x \to -\infty} f(x).
\]
\end{enumerate}
\item Montrer que \(f(2 - x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), puis en déduire que la droite \(x = 1\) est un axe de symétrie de \((\mathcal{C})\).
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Vérifier que :
\[
f(x) = 2 \ln(x) + \ln\left(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2}\right), \quad \text{pour tout } x \in [1, +\infty[.
\]
\item En déduire que :
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0
\]
et interpréter géométriquement ce résultat.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que :
\[
f'(x) = \frac{2(x-1)}{(x-1)^2 + 1}.
\]
\item Donner le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que :
\[
f''(x) = \frac{2x(2 - x)}{((x - 1)^2 + 1)^2}.
\]
\item Étudier la concavité de \((\mathcal{C})\).
\end{enumerate}
\item Construire la courbe \((\mathcal{C})\).
\item Soit \(h = f_{|[1,+\infty[}\).
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Montrer que \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l'on précisera.
\item Déterminer \(h^{-1}(x)\) pour tout \(x \in J\).
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item En posant \(t = x - 1\), montrer que :
\[
\int_0^1 f(x) \, dx = \int_{-1}^1 \ln(1 + t^2) \, dt.
\]
\item Par intégration par parties, montrer que :
\[
\int_{-1}^1 \ln(1 + t^2) \, dt = \ln 2 - 2 \int_{-1}^0 \frac{t^2}{1 + t^2} \, dt.
\]
\item Montrer que :
\[
\int_{-1}^0 \frac{t^2}{1 + t^2} \, dt = 1 - \frac{\pi}{4}.
\]
(Remarque : \(\frac{t^2}{1 + t^2} = 1 - \frac{1}{1 + t^2}\))
\item En déduire l’aire du domaine plan délimité par :
\begin{itemize}
\item la courbe \((\mathcal{C})\)
\item l’axe des abscisses
\item les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\)