Résumé de section

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    Cours complet + Exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF
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    📌 I. Vecteurs du plan – Définition

    Définition : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois éléments :

    • sa direction (celle de la droite \((AB)\)) ;
    • son sens (de \(A\) vers \(B\)) ;
    • sa norme (longueur) notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
    🎯 Activité (hexagone régulier ABCDEF de centre O, I milieu de [AB], J milieu de [ED]) :

    Citer :

    1. Deux vecteurs égaux.
    2. Deux vecteurs de même direction, sens contraire et normes différentes.
    3. Deux vecteurs de même direction, même sens et normes différentes.
    4. Deux vecteurs de direction différente et de même norme.
    5. Deux vecteurs opposés.
    Corrigé :
    ① \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}\)
    ② \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}\)
    ③ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FC}\)
    ④ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
    ⑤ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\)
    📌 II. Égalité de deux vecteurs
    \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ même direction, même sens et même norme.

    Remarques :

    • On note \(\vec{u}\) le vecteur représenté par \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), etc.
    • \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\) ⇔ \(A = B\).
    📌 III. Somme de deux vecteurs
    Relation de Chasles : Pour tous points \(A, B, C\) :
    \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]
    Règle du parallélogramme :
    Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), alors \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.
    📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un réel

    Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(k\vec{u}\) a :

    • la même direction que \(\vec{u}\) ;
    • le même sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
    • une norme \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).
    📌 V. Colinéarité de deux vecteurs
    Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda \vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\)).

    Cela signifie qu'ils ont la même direction.

    Remarque : Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire à tout vecteur du plan.
    Exemple : Si \(\vec{v} = -3\vec{u}\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
    📌 VI. Milieu d'un segment
    Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
    \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] et pour tout point \(M\) :
    \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
    ✅ Exercice 1

    Énoncé : Simplifier : \(\vec{U} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)

    \[ \begin{aligned} \vec{U} &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

    Résultat : \(\vec{U} = \overrightarrow{AB}\)

    ✅ Exercice 2

    Énoncé : Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).

    \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} \end{aligned} \]

    Donc \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\) (CQFD).

    ✅ Exercice 3

    Énoncé : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point. On pose :

    \[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]

    Quelle est la nature de \(ABCD\) et \(ACBE\) ?

    Corrigé :
    • \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇒ \(ABCD\) est un parallélogramme.
    • \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇒ \(ACBE\) est un parallélogramme.
    ✅ Exercice 4 (Application)

    Énoncé : Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Démontrer que pour tout point \(M\) :

    \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]
    Corrigé :
    \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [AC])}\\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [BD])}\\ \text{Donc } \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO} \end{aligned} \]
    ✅ Exercice 5 (Colinéarité)

    Énoncé : Dans un repère, on donne \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-4;6)\). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

    Corrigé :
    \[ \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \Rightarrow \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \text{Donc } \vec{v} = -2\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \text{Les vecteurs sont colinéaires.} \]
    ✅ Exercice 6 (Construction)

    Énoncé : Soit deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) et un point \(O\).

    1. Construire \(A\) tel que \(\overrightarrow{OA} = 3\vec{u} - \vec{v}\).
    2. Soit trois points \(A, B, C\) du plan. Construire \(M\) tel que \(\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).
    Corrigé :
    \(3\vec{u} - \vec{v} = 3\vec{u} + (-1)\vec{v}\)
    On construit d'abord le vecteur \(3\vec{u}\) (même sens que \(\vec{u}\), norme triple),
    puis on ajoute le vecteur \(-\vec{v}\) (même direction que \(\vec{v}\), sens opposé).
    ✅ Exercice 7 (Lecture graphique)

    Énoncé : Par lecture graphique, écrire \(\vec{u}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).

    Corrigé :
    \(\vec{u} = 3\vec{i} - 3\vec{j}\)
    Propriété :
    • \(a.(b\vec{U}) = b(a\vec{U}) = ab\vec{U}\)
    • \((a + b)\vec{U} = a\vec{U} + b\vec{U}\)
    • \(a(\vec{U} + \vec{V}) = a\vec{U} + a\vec{V}\)
    ✅ Exercice 8 (Alignement et parallélisme)

    Propriété : Soient \(A, B, C, D\) quatre points deux à deux distincts.

    1. Dire que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
    2. Dire que les points distincts \(A, B, C\) sont alignés revient à dire que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
    Application :
    Pour montrer que trois points sont alignés, on vérifie que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\) pour un certain réel \(k\).
    📝 Formulaire à retenir
    • \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
    • \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ \(ABDC\) parallélogramme
    • \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
    • \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\)
    • \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires
    • \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires
    📌 PROF : ATMANI NAJIB
    Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF
    🔢 Vecteurs du plan – Résumé complet et exercices corrigés