Séries numériques, suites de fonctions et séries entières
Exercice 1 : Séries numériques
Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
a)] \(\sum_{n \geq 2} \left( \frac{1}{\sqrt{n-1}} - \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)\)
Correction :}
On réécrit le terme général comme une série télescopique :
\[
\frac{1}{\sqrt{n-1}} - \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \left( \frac{1}{\sqrt{n-1}} - \frac{1}{\sqrt{n}} \right) - \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)
\]
La somme partielle est :
\[
S_N = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{N}} - \frac{1}{\sqrt{N+1}}\right) \to 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
La série converge} vers \(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\).
b)] \(\sum_{n \geq 0} \frac{n!}{n^n}\)
Correction :
Par le critère de d'Alembert :
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} < 1
\]
La série converge .
c)] \(\sum_{n \geq 1} \left( \sqrt[n]{n + 1} - \sqrt[n]{n} \right)\)
Correction :
On a l'équivalent :
\[
\sqrt[n]{n+1} - \sqrt[n]{n} \sim \frac{1}{n^2}
\]
Par comparaison avec \(\sum \frac{1}{n^2}\) (Riemann, \(p=2 > 1\)), la sérieconverge}.
d)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{n+1}{n^3}\)
Correction :
Décomposition :
\[
\frac{n+1}{n^3} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^3}
\]
Les deux séries \(\sum \frac{1}{n^2}\) et \(\sum \frac{1}{n^3}\) convergent. \\
La sérieconverge}.
e)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{n^5}{n!}\)
Correction :
Par d'Alembert :
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^5}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^5} = \frac{(n+1)^4}{n^5} \to 0 < 1
\]
La sérieconverge}.
f)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{\ln(n)}{n^3}\)
Correction :
Comparaison :
\[
\frac{\ln(n)}{n^3} = o\left(\frac{1}{n^2}\right)
\]
La sérieconverge}.
g)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{1}{1+2^n}\)
Correction :
Comparaison avec la série géométrique :
\[
\frac{1}{1+2^n} \leq \frac{1}{2^n}
\]
La sérieconverge}.
h)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{n+5}{\ln(n+4)}\)
Correction :
Le terme général ne tend pas vers 0 :
\[
\frac{n+5}{\ln(n+4)} \to +\infty
\]
La sériediverge}.
Exercice 2 : Suites de fonctions
Étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes :
a)] \(f_n : [0,1] \to \mathbb{R}, x \mapsto x^n\)
Correction :
- Convergence simple vers \(f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0,1[ \\ 1 & \text{si } x=1 \end{cases}\).
- Pas de convergence uniforme car \(f\) discontinue.
b)] \(f_n : [0,+\infty[ \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{x}{x + x e^{-nx}}\)
Correction :
- Simplification : \(f_n(x) = \frac{1}{1 + e^{-nx}}\).
- Convergence simple vers \(f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x=0 \\ 1 & \text{si } x>0 \end{cases}\).
- Pas de convergence uniforme car \(f\) discontinue en 0.
c)] \(f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^{x+n}\) (pour \(x > 0\)
Correction :
- Convergence simple vers \(f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in ]0,1[ \\ 1 & \text{si } x=1 \\ +\infty & \text{si } x>1 \end{cases}\).
- Pas de convergence uniforme car \(f\) non bornée.
d)] \(f_n : [0,+\infty[ \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{x}{x + x e^{nx}}\)
Correction :
- Simplification : \(f_n(x) = \frac{1}{1 + e^{nx}}\).
- Convergence simple vers \(f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{si } x=0 \\ 0 & \text{si } x>0 \end{cases}\).
- Pas de convergence uniforme car \(f\) discontinue en 0.
Exercice 3 : Séries entières
Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes :
a)] \(\sum_{n \geq 0} \frac{n!}{n^n} x^n\)
Correction :
Par d'Alembert :
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e}
\]
Rayon \(R = e\).
b)] \(\sum_{n \geq 1} \left( \sqrt[n]{n + 1} - \sqrt[n]{n} \right) x^n\)
Correction :
Le terme général est \(\sim \frac{1}{n^2}\). \\
Rayon \(R = 1\).
c)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{n^2}{n + 3^n} x^n\)
Correction :
Par Cauchy :
\[
\sqrt[n]{|a_n|} \approx \frac{1}{3}
\]
Rayon \(R = 3\).
d)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{(2n)!}{n! n^n} x^n\)
Correction :
Par d'Alembert :
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{4}{e}
\]
Rayon \(R = \frac{e}{4}\).
e)] \(\sum_{n \geq 1} \frac{2^n}{1 + n^3} x^n\)
Correction :
Par Cauchy :
\[
\sqrt[n]{|a_n|} \approx 2
\]
Rayon \(R = \frac{1}{2}\).
f)] \(\sum_{n \geq 0} n^n x^n\)
Correction :
Par Cauchy :
\[
\sqrt[n]{|a_n|} = n \to +\infty
\]
Rayon \(R = 0\).
g)]
\[
\sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n(n+1)}
\]
Le rayon de convergence de la série suivante :
est déterminé à l'aide du critère de Cauchy-Hadamard. Le critère de Cauchy-Hadamard pour le rayon de convergence \(R\) d'une série de puissances de la forme :
\[
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
\]
nous dit que :
\[
\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
\]
Dans notre cas, le terme général de la série est \( a_n = \frac{1}{n(n+1)} \). Nous devons donc analyser la limite de :
\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{1}{n(n+1)}\right|}
\]
Cela revient à calculer la limite de :
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n(n+1)} \right)^{1/n}
\]
Nous réécrivons \( \frac{1}{n(n+1)} \) comme suit :
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n^2 + n}
\]
Pour \(n\) grand, \( n^2 + n \sim n^2 \), donc on peut approximer :
\[
\frac{1}{n(n+1)} \sim \frac{1}{n^2}
\]
Ainsi, on a :
\[
\left( \frac{1}{n(n+1)} \right)^{1/n} \sim \left( \frac{1}{n^2} \right)^{1/n} = \frac{1}{n^{2/n}}
\]
Quand \( n \to \infty \), \( n^{2/n} \to 1 \). Donc :
\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n(n+1)} \right)^{1/n} = 1
\]
D'après le critère de Cauchy-Hadamard, nous avons :
\[
\frac{1}{R} = 1 \quad \text{donc} \quad R = 1
\]
En conclusion, le rayon de convergence de la série est :
\[
R = 1
\]
Cela signifie que la série converge pour \( |x| < 1 \) et diverge pour \( |x| > 1 \).
h)] \(\sum_{n \geq 0} \ln(1+n) x^n\)
Correction :
Par d'Alembert :
\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} \to 1
\]
Rayon \(R = 1\).