Solution :
La probabilité d'être sélectionné parmi 2000 participants est donnée par :
\[
P = \frac{1}{2000} = 0.0005
\]
Cependant, aucune des options proposées ne correspond à cette valeur. Il est possible qu'il y ait une erreur dans l'énoncé ou les options.
\[
\boxed{\text{Aucune des options ne correspond à la probabilité calculée.}}
\]
Solution :
Considérons la suite \( U_n = \ln(1 + ne^{-n}) \).
Pour \( n \to +\infty \), \( ne^{-n} \to 0 \), donc :
\[
\lim_{n \to +\infty} U_n = \ln(1 + 0) = 0
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{E}
\]
Solution :
La relation de récurrence est donnée par :
\[
w_{n+1} = \frac{w_n + 3}{2w_n + 4}
\]
En posant \( y_n = \frac{4}{2 + w_n} \), on peut exprimer \( y_{n+1} \) en fonction de \( y_n \). Après calcul, on trouve :
\[
y_{n+1} = \frac{32}{6 + y_n}
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{B}
\]
Solution :
Considérons l'équation \( x^x = (\sqrt{x})^{x+1} \).
En testant les options :
- Pour \( x = 1 \): \( 1^1 = (\sqrt{1})^{1+1} \Rightarrow 1 = 1 \), donc \( x = 1 \) est une solution.
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{A}
\]
Solution :
L'intégrale à calculer est :
\[
\int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx
\]
En effectuant le changement de variable \( u = 2 + \sin x \), on obtient :
\[
\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|2 + \sin x| + C
\]
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{B}
\]
Solution :
La fonction \( f(x) = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \) est définie pour \( x \in \mathbb{R}^* \) (c'est-à-dire \( x \neq 0 \)).
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{B}
\]
Solution :
Considérons la fonction \( f(x) = x \sin(\pi x) - \ln(x) - 1 \) définie sur \( ]0,1[ \).
- En \( x \to 0^+ \), \( \ln(x) \to -\infty \), donc \( f(x) \to +\infty \).
- En \( x \to 1^- \), \( f(x) \to -1 \).
De plus, \( f \) est continue sur \( ]0,1[ \) et change de signe, donc il existe \( c \in ]0,1[ \) tel que \( f(c) = 0 \).
La bonne réponse est donc :
\[
\boxed{B}
\]