Par exemple, \( y = A \cos x + B \sin x \) est la solution générale de l'équation différentielle 
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0 \]. 
Mais \( y = A \cos x \) n'est pas la solution générale car elle ne contient qu'une constante arbitraire.

- Solution particulière 

Une solution obtenue en donnant des valeurs particulières aux constantes arbitraires dans la solution générale d'une équation différentielle est appelée une solution particulière. Par exemple, \( y = 3 \cos x + 2 \sin x \) est une solution particulière de l'équation différentielle 
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0 \].

- Équations différentielles du premier ordre et du premier degré 

Une équation différentielle du premier ordre et du premier degré implique \( x, y \) et 
\[ \frac{dy}{dx} \]. 
Elle peut donc être mise sous l'une des formes suivantes :
\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \text{ ou } \int_{x, y, \frac{dy}{dx}}^{\infty} f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0 \]
où \( f(x, y) \) et \( g(x, y) \) sont évidemment des fonctions de \( x \) et \( y \).

- Interprétation géométrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré 

La forme générale d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré est 
\[ \int_{x, y, \frac{dy}{dx}}^{\infty} f(x, y) dx = 0 \] 
...(i)

Nous savons que la direction de la tangente d'une courbe en coordonnées rectangulaires cartésiennes en tout point est donnée par 
\[ \frac{dy}{dx} \], 
donc l'équation en (i) peut être considérée comme une équation qui établit la relation entre les coordonnées d'un point et la pente de la tangente, c'est-à-dire 
\[ \frac{dy}{dx} \] 
à la courbe intégrale en ce point. Résoudre l'équation différentielle donnée par (i) signifie trouver les courbes pour lesquelles la direction de la tangente en chaque point coïncide avec la direction du champ. Toutes les courbes représentées par la solution générale, prises ensemble, donneront le lieu de l'équation différentielle. Puisqu'il y a une constante arbitraire dans la solution générale de l'équation du premier ordre, le lieu de l'équation peut être considéré comme étant composé d'une infinité simple de courbes.

- Solution des équations différentielles du premier ordre et du premier degré :

Une équation différentielle du premier ordre et du premier degré peut être écrite comme 
\[ f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0 \] 
ou 
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ ou } \frac{dy}{dx} = \phi(x, y) \]
où \( f(x, y) \) et \( g(x, y) \) sont évidemment des fonctions de \( x \) et \( y \). Il n'est pas toujours possible de résoudre ce type d'équations. La solution de ce type d'équations différentielles n'est possible que lorsqu'elle tombe sous la catégorie de certaines formes standard.

- Équations à variables séparables 

Si l'équation différentielle est de la forme 
\[ f_1(x) dx = f_2(y) dy \] 
...(i)