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Differentielle

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    • Équations différentielles:

      De nombreux problèmes pratiques en physique et en ingénierie peuvent être convertis en équations différentielles. La résolution des équations différentielles est donc d'une importance primordiale. Ce chapitre traite de certains aspects élémentaires des équations différentielles. Ces aspects sont abordés à travers une application simple du calcul différentiel et intégral.

      Il y a deux aspects importants des équations différentielles, qui sont simplement effleurés dans ce chapitre. Le premier est de savoir comment formuler un problème sous forme d'équation différentielle, et le second est de savoir comment la résoudre.

      - Définition: 

      Une équation impliquant une variable indépendante \( x \), une variable dépendante \( y \) et les coefficients différentiels \(\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \ldots\) est appelée équation différentielle.

      - Exemples  :  

      (i) \(\frac{dy}{dx} = 1 + x + y\)  
      (ii) \(\frac{dy}{dx} + xy = \cot x\)  
      (iii) \(\left(\frac{d^4y}{dx^4}\right)^3 - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 5\cos 3x\)  
      (iv) \(x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = 0\)

       Ordre d'une équation différentielle : 

      L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée apparaissant dans l'équation différentielle. Par exemple, l'ordre des équations différentielles ci-dessus est respectivement 1, 1, 4 et 2.

      - Remarque:
      L'ordre d'une équation différentielle est un entier positif. Pour déterminer l'ordre d'une équation différentielle, il n'est pas nécessaire de libérer l'équation des radicaux.

      - Degré d'une équation différentielle :

      Le degré d'une équation différentielle est le degré de la dérivée d'ordre le plus élevé, lorsque les coefficients différentiels sont libérés des radicaux et des fractions. En d'autres termes, le degré d'une équation différentielle est la puissance de la dérivée d'ordre le plus élevé apparaissant dans l'équation différentielle lorsqu'elle est écrite sous forme de polynôme en coefficients différentiels.

      - Remarque :
      La définition du degré n'exige pas que les variables ( x, y, t ) etc. soient libérées des radicaux et des fractions. Le degré des équations différentielles ci-dessus est respectivement 1, 1, 3 et 2.

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    • Exemple : 

      L'ordre et le degré de l'équation différentielle \( y = x \frac{dy}{dx} + \sqrt{a^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + b^2} \) sont

      (a) 1, 2 (b) 2, 1 (c) 1, 1 (d) 2, 2

       Solution :
       Clairement, la dérivée d'ordre le plus élevé impliquée est \( \frac{dy}{dx} \), d'ordre 1.

      En exprimant l'équation différentielle ci-dessus sous forme de polynôme en dérivée, nous avons
      \[
      \left( y - x \frac{dy}{dx} \right)^2 = a^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + b^2
      \]
      c'est-à-dire, \( (x^2 - a^2) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 2xy \frac{dy}{dx} + y^2 - b^2 = 0 \)

      Dans cette équation, la puissance de la dérivée d'ordre le plus élevé est 2. Donc son degré est 2.

      - Exemple:

      L'ordre et le degré de l'équation différentielle \( \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 + x^4 = 0 \) sont respectivement

      (a) 2, 3 (b) 3, 3 (c) 2, 6 (d) 2, 4

       - Solution :
      La dérivée d'ordre le plus élevé impliquée est \( \frac{d^2 y}{dx^2} \), qui est la dérivée d'ordre 2. Par conséquent, l'ordre de l'équation différentielle est 2. En libérant l'équation ci-dessus des radicaux, en ce qui concerne les dérivées, nous avons
      \[
      \left( \frac{d^2 y}{dx^2} + x^4 \right)^3 = -\frac{dy}{dx}, \quad \text{c'est-à-dire} \quad \left( \frac{d^2 y}{dx^2} + x^4 \right)^3 + \frac{dy}{dx} = 0
      \]

      L'exposant de la dérivée d'ordre le plus élevé \( \frac{d^2 y}{dx^2} \) sera 3. Par conséquent, le degré de l'équation différentielle est 3.

      - Exemple :

      Le degré de l'équation différentielle \( \frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = x^2 \log \left( \frac{d^2 y}{dx^2} \right) \) est

      (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) Aucun de ces

      - Solution :
      L'équation ci-dessus ne peut pas être écrite sous forme de polynôme en dérivées en raison du terme \( x^2 \log \left( \frac{d^2 y}{dx^2} \right) \).

      Par conséquent, le degré de l'équation différentielle est « non défini ».

      - Exemple:

      L'ordre de l'équation différentielle dont la solution est \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) est

      (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

      - Solution :
      Pour éliminer les constantes arbitraires \( g, f \) et \( c \), nous avons besoin de 3 équations supplémentaires, obtenues en différenciant l'équation 3 fois. Par conséquent, la dérivée d'ordre le plus élevé sera \( \frac{d^3 y}{dx^3} \). Ainsi, l'ordre de l'équation différentielle sera 3.

      - Exemple : 

      L'ordre de l'équation différentielle de tous les cercles de rayon \( r \), ayant leur centre sur l'axe \( y \) et passant par l'origine est

      (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

      - Solution :
      L'équation du cercle sera \( x^2 + (y \pm r)^2 = r^2 \). Par conséquent, la constante à éliminer est \( r \).

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    • Exemple :
      L'ordre de l'équation différentielle, dont la solution générale est \( y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} + c_4 e^{x+5} \), où \( c_1, c_2, c_3, c_4, c_5 \) sont des constantes arbitraires, est

          *[(a)] 5
          *[(b)] 4
          *[(c)] 3
          *[(d)] Aucun de ces choix

      - Solution :
      En réécrivant la solution générale donnée, nous avons
      \[
      y = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} + c_4 e^{x} e^{5x}
      \]
      \[
      = (c_1 + c_4 e^{5x}) e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x} = c_1 e^x + c_2 e^{2x} + c_3 e^{3x}
      \]
      où \( c_1' = c_1 + c_4 e^{5x} \). Il y a donc 3 constantes arbitraires associées à différents termes. Par conséquent, l'ordre de l'équation différentielle formée sera 3.

      - Exemple:

      Le degré de l'équation différentielle satisfaisant \(\sqrt{1-x^2} + \sqrt{1-y^2} = a(x-y)\) est

          *[(a)] 1
          *[(b)] 2
          *[(c)] 3
          *[(d)] Aucun de ces choix

      - Solution :
      Pour éliminer \( a \), l'équation ci-dessus est différenciée une fois et l'exposant de \(\frac{dy}{dx}\) sera 1. Par conséquent, le degré est 1.

      - Exemple :

      L'ordre et le degré de \( y = 1 + \frac{dy}{dx} + \frac{1}{2!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{1}{3!} \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \ldots \) sont

          *[(a)] 1, 2
          *[(b)] 1, 1
          *[(c)] Ordre 1, degré non défini
          *[(d)] Aucun de ces choix

      - Solution :
      L'équation différentielle donnée peut être réécrite comme \( y = e^{\frac{dy}{dx}} \Rightarrow \ln y = \frac{dy}{dx} \). Il s'agit d'un polynôme en dérivée. Par conséquent, l'ordre est 1 et le degré est 1.

      - Exemple :

      L'ordre et le degré de \(\frac{d^2 y}{dx^2} = \sin \left(\frac{dy}{dx}\right) + x\) sont

          *[(a)] 2, 1
          *[(b)] Ordre 2, degré non défini
          *[(c)] 2, 0
          *[(d)] Aucun de ces choix

      - Solution :
      Comme la dérivée d'ordre le plus élevé impliquée est \(\frac{d^2 y}{dx^2}\), l'ordre est 2. L'équation différentielle donnée ne peut pas être écrite comme un polynôme en dérivées, donc le degré n'est pas défini.

      - Formation des équations différentielles:

      Formuler une équation différentielle à partir d'une équation donnée représentant une famille de courbes signifie trouver une équation différentielle dont la solution est l'équation donnée. Si une équation, représentant une famille de courbes, contient \( n \) constantes arbitraires, alors nous différencions l'équation donnée \( n \) fois pour obtenir \( n \) équations supplémentaires. En utilisant toutes ces équations, nous éliminons les constantes. L'équation ainsi obtenue est l'équation différentielle d'ordre \( n \) pour la famille de courbes donnée.

      Considérons une famille de courbes \( f(x, y, a_1, a_2, \ldots, a_n) = 0 \) \ldots (i)
      où \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) sont \( n \) paramètres indépendants.
      L'équation (i) est connue comme une famille de courbes à \( n \) paramètres, par exemple \( y = mx \) est une famille de droites à un paramètre. \( x^2 + y^2 + ax + by = 0 \) est une famille de cercles à deux paramètres.

      Si nous différencions l'équation (i) \( n \) fois par rapport à \( x \), nous obtiendrons \( n \) relations supplémentaires entre \( x, y, a_1, a_2, \ldots, a_n \) et les dérivées de \( y \) par rapport à \( x \). En éliminant \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) de ces \( n \) relations et de l'équation (i), nous obtenons une équation différentielle.

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    • Formation des équations différentielles :

      L'ordre de cette équation différentielle sera \( n \), c'est-à-dire égal au nombre de paramètres indépendants dans la famille de courbes.

      - Algorithme pour la formation des équations différentielles 


          -[Étape (i)] : Écrire l'équation donnée impliquant la variable indépendante \( x \) (par exemple), la variable dépendante \( y \) (par exemple) et les constantes arbitraires.
          
          -[Étape (ii)] : Obtenir le nombre de constantes arbitraires dans l'étape (i). Supposons qu'il y ait \( n \) constantes arbitraires.
          
          -[Étape (iii)] : Différencier la relation de l'étape (i) \( n \) fois par rapport à \( x \).
          
          -[Étape (iv)] : Éliminer les constantes arbitraires à l'aide des \( n \) équations impliquant les coefficients différentiels obtenus dans l'étape (iii) et de l'équation de l'étape (i). L'équation ainsi obtenue est l'équation différentielle recherchée.

      - Exemple : 

      L'équation différentielle dont la solution générale est \( y = c_1x + \frac{c_2}{x} \) pour toutes les valeurs de \( c_1 \) et \( c_2 \) est


          -[(a)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{x^2}{y} + \frac{dy}{dx} = 0 \]
          -[(b)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{dy}{dx} = 0 \]
          -[(c)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{1}{2x} \frac{dy}{dx} = 0 \]
          -[(d)] \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = 0 \]

      - Solution :
       \[ y = c_1x + \frac{c_2}{x} \] \ldots (i)

      Il y a deux constantes arbitraires. Pour éliminer ces constantes, nous devons différencier (i) deux fois. En différenciant (i) par rapport à \( x \),

      \[ \frac{dy}{dx} = c_1 - \frac{c_2}{x^2} \] \ldots (ii)

      En différenciant à nouveau par rapport à \( x \),

      \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2c_2}{x^3} \] \ldots (iii)

      De (iii), \( c_2 = \frac{x^3}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \) et de (ii), \( c_1 = \frac{dy}{dx} + \frac{c_2}{x^2} \);

      \[ c_1 = \frac{dy}{dx} + \frac{x}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \]

      De (i), \( y = \left( \frac{dy}{dx} + \frac{x}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \right) x + \frac{x^2}{2} \frac{d^2y}{dx^2} \Rightarrow y = x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} \)

      \[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x^2} = 0 \]

      - Exemple :

      \[ y = \frac{-x}{x+1} \] est une solution de l'équation différentielle


          -[(a)] \[ y^2 \frac{dy}{dx} = x^2 \]
          -[(b)] \[ x^2 \frac{dy}{dx} = y^2 \]
          -[(c)] \[ y \frac{dy}{dx} = x \]
          -[(d)] \[ x \frac{dy}{dx} = y \]

      - Solution :
      Nous avons \[ y = \frac{-x}{x+1} \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \]

      En différenciant par rapport à \( x \),

      \[ -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{x^2} \]

      \[ x^2 \frac{dy}{dx} = y^2 \]

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    • - Exemple : 

      L'équation différentielle de toutes les paraboles dont les axes sont parallèles à l'axe \( y \) est

      (a) \(\frac{d^3 y}{dx^3} = 0\) \ (b) \(\frac{d^2 x}{dy^2} = c\) \ (c) \(\frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{d^2 y}{dx^2} = 0\) \ (d) \(\frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} = c\)

      Solution: 
      L'équation d'une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe \(y\) peut être exprimée comme \((x - \alpha)^2 = 4a(y - \beta)\) \ ……..(i)

      Il y a trois constantes arbitraires \(\alpha, \beta\) et \(a\).

      Nous devons différencier (i) 3 fois.

      En différenciant (i) par rapport à \(x\), \(2(x - \alpha) = 4a \frac{dy}{dx}\)

      En différenciant à nouveau par rapport à \(x\),

      \[2 = 4a \frac{d^2 y}{dx^2} \Rightarrow \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{1}{2a}\]

      En différenciant par rapport à \(x\),

      \[\frac{d^3 y}{dx^3} = 0\]

      Exemple: 
      L'équation différentielle de la famille de courbes dont la tangente forme un angle de \(\pi/4\) avec l'hyperbole \(xy = c^2\) est

      (a) \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + c^2}{x^2 - c^2}\) \ (b) \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - c^2}{x^2 + c^2}\) \ (c) \(\frac{dy}{dx} = -\frac{c^2}{x^2}\) \ (d) Aucune de ces réponses

      Solution: 
      La pente de la tangente à la famille de courbes est \(m_1 = \frac{dy}{dx}\)

      L'équation de l'hyperbole est \(xy = c^2 \Rightarrow y = \frac{c^2}{x}\)

      \[\therefore \frac{dy}{dx} = -\frac{c^2}{x^2}\]

      \(\therefore\) La pente de la tangente à \(xy = c^2\) est \(m_2 = -\frac{c^2}{x^2}\)

      Maintenant \(\tan \frac{\pi}{4} = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \Rightarrow 1 = \frac{\frac{dy}{dx} + \frac{c^2}{x^2}}{1 - \frac{c^2}{x^2} \frac{dy}{dx}} \Rightarrow \frac{dy}{dx} \left( 1 + \frac{c^2}{x^2} \right) = \left( 1 - \frac{c^2}{x^2} \right)\)

      \[\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - c^2}{x^2 + c^2}\]

      - Équation différentielle à variables séparables: 

      (1) Solution des équations différentielles : Si nous avons une équation différentielle d'ordre 'n', alors en résolvant une équation différentielle, nous entendons obtenir une famille de courbes avec n paramètres dont l'équation différentielle est l'équation différentielle donnée. La solution ou l'intégrale d'une équation différentielle est une relation entre les variables, n'impliquant pas les coefficients différentiels, de telle sorte que cette relation et les dérivées obtenues à partir de celle-ci satisfont l'équation différentielle donnée. La solution d'une équation différentielle est également appelée sa primitive.

      Par exemple \(y = e^x\) est une solution de l'équation différentielle \(\frac{dy}{dx} = y\).

      (i) Solution générale : La solution qui contient autant de constantes arbitraires que l'ordre de l'équation différentielle est appelée la solution générale de l'équation différentielle. Par

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    • Par exemple, \( y = A \cos x + B \sin x \) est la solution générale de l'équation différentielle 
      \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0 \]. 
      Mais \( y = A \cos x \) n'est pas la solution générale car elle ne contient qu'une constante arbitraire.

      - Solution particulière 

      Une solution obtenue en donnant des valeurs particulières aux constantes arbitraires dans la solution générale d'une équation différentielle est appelée une solution particulière. Par exemple, \( y = 3 \cos x + 2 \sin x \) est une solution particulière de l'équation différentielle 
      \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + y = 0 \].

      - Équations différentielles du premier ordre et du premier degré 

      Une équation différentielle du premier ordre et du premier degré implique \( x, y \) et 
      \[ \frac{dy}{dx} \]. 
      Elle peut donc être mise sous l'une des formes suivantes :
      \[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \text{ ou } \int_{x, y, \frac{dy}{dx}}^{\infty} f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0 \]
      où \( f(x, y) \) et \( g(x, y) \) sont évidemment des fonctions de \( x \) et \( y \).

      - Interprétation géométrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré 

      La forme générale d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré est 
      \[ \int_{x, y, \frac{dy}{dx}}^{\infty} f(x, y) dx = 0 \] 
      ...(i)

      Nous savons que la direction de la tangente d'une courbe en coordonnées rectangulaires cartésiennes en tout point est donnée par 
      \[ \frac{dy}{dx} \], 
      donc l'équation en (i) peut être considérée comme une équation qui établit la relation entre les coordonnées d'un point et la pente de la tangente, c'est-à-dire 
      \[ \frac{dy}{dx} \] 
      à la courbe intégrale en ce point. Résoudre l'équation différentielle donnée par (i) signifie trouver les courbes pour lesquelles la direction de la tangente en chaque point coïncide avec la direction du champ. Toutes les courbes représentées par la solution générale, prises ensemble, donneront le lieu de l'équation différentielle. Puisqu'il y a une constante arbitraire dans la solution générale de l'équation du premier ordre, le lieu de l'équation peut être considéré comme étant composé d'une infinité simple de courbes.

      - Solution des équations différentielles du premier ordre et du premier degré :

      Une équation différentielle du premier ordre et du premier degré peut être écrite comme 
      \[ f(x, y) dx + g(x, y) dy = 0 \] 
      ou 
      \[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ ou } \frac{dy}{dx} = \phi(x, y) \]
      où \( f(x, y) \) et \( g(x, y) \) sont évidemment des fonctions de \( x \) et \( y \). Il n'est pas toujours possible de résoudre ce type d'équations. La solution de ce type d'équations différentielles n'est possible que lorsqu'elle tombe sous la catégorie de certaines formes standard.

      - Équations à variables séparables 

      Si l'équation différentielle est de la forme 
      \[ f_1(x) dx = f_2(y) dy \] 
      ...(i)

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    • où \( f_1 \) et \( f_2 \) sont des fonctions de \( x \) et \( y \) seulement. Alors nous disons que les variables sont séparables dans l'équation différentielle.

      Ainsi, en intégrant les deux côtés de (i), nous obtenons sa solution comme 
      \[ \int f_1(x)dx = \int f_2(y)dy + C, \]

      où \( C \) est une constante arbitraire.

      Il n'est pas nécessaire d'introduire des constantes arbitraires des deux côtés car elles peuvent être combinées pour donner une seule constante.

      (i) - Équations différentielles du type} \(\frac{dy}{dx} = f(x)\)

      Pour résoudre ce type d'équations différentielles, nous intégrons les deux côtés pour obtenir la solution générale comme suit :
      \[
      \frac{dy}{dx} = f(x) \Leftrightarrow dy = f(x)dx
      \]

      En intégrant les deux côtés, nous obtenons,
      \[
      \int dy = \int f(x)dx + C \text{ ou } y = \int f(x)dx + C.
      \]

      (ii) - Équations différentielles du type} \(\frac{dy}{dx} = f(y)\)

      Pour résoudre ce type d'équations différentielles, nous intégrons les deux côtés pour obtenir la solution générale comme suit :
      \[
      \frac{dy}{dx} = f(y) \Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f(y)} \Rightarrow dx = \frac{1}{f(y)}dy
      \]

      En intégrant les deux côtés, nous obtenons,
      \[
      \int dx = \int \frac{1}{f(y)}dy + C \text{ ou } x = \int \frac{1}{f(y)}dy + C.
      \]

      -  Équations réductibles à la forme à variables séparables 

      (i)-  Les équations différentielles de la forme \(\frac{dy}{dx} = f(ax + by + c)\) peuvent être réduites à la forme à variables séparables par la substitution 
      \[
      ax + by + c = Z
      \]
      \[
      \therefore a + b \frac{dy}{dx} = \frac{dZ}{dx}
      \]
      \[
      \therefore \left(\frac{dZ}{dx} - a\right) \frac{1}{b} = f(Z) \Rightarrow \frac{dZ}{dx} = a + bf(Z).
      \]

      Ceci est une forme à variables séparables.

      (ii) - Équation différentielle de la forme 
      \[
      \frac{dy}{dx} = \frac{ax + by + c}{Ax + By + C}, \text{ où } \frac{a}{A} = \frac{b}{B} = K \text{ (par exemple)}
      \]
      \[
      \therefore \frac{dy}{dx} = \frac{K(Ax + By) + C}{Ax + By + C}
      \]

      Posons \( Ax + By = Z \)

      \[
      \therefore A + B \frac{dy}{dx} = \frac{dZ}{dx}, \quad \therefore \left[\frac{dZ}{dx} - A\right] \frac{1}{B} = \frac{KZ + C}{Z + C} \Rightarrow \frac{dZ}{dx} = A + B \frac{KZ + C}{Z + C}
      \]

  • New section

    • Ceci est une forme séparable de variables et peut être résolue.

      - Exemple :
      La solution de l'équation différentielle \( (1+x^2) \frac{dy}{dx} = x(1+y^2) \) est :

      (a) \( 2\tan^{-1}y = \log(1+x^2)+c \) \ (b) \( \tan^{-1}y = \log(1+x^2)+c \) \ (c) \( 2\tan^{-1}y + \log(1+x^2)+c = 0 \) \ (d) Aucune de ces réponses

      - Solution :
      (a) En séparant les variables, nous pouvons réécrire l'équation différentielle donnée comme \[ \frac{x\,dx}{1+x^2} = \frac{dy}{1+y^2} \Rightarrow \int \frac{2x\,dx}{1+x^2} = 2 \int \frac{dy}{1+y^2} \Rightarrow 2\tan^{-1}y = \log(1+x^2)+c \]

      - Exemple :

      La solution de l'équation différentielle \[ \frac{dy}{dx} = x^2 + \sin 3x \] est :

      (a) \( y = \frac{x^3}{3} + \frac{\cos 3x}{3} + c \) \ (b) \( y = \frac{x^3}{3} - \frac{\cos 3x}{3} + c \) \ (c) \( y = \frac{x^3}{3} + \sin 3x + c \) \ (d) Aucune de ces réponses

      - Solution :
      Nous avons \( dy = (x^2 + \sin 3x)\,dx \Rightarrow \int dy = \int (x^2 + \sin 3x)\,dx \Rightarrow y = \frac{x^3}{3} - \frac{\cos 3x}{3} + c \)

      -Exemple :
      La solution de \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y^2 + \sin y} \] est \[ (a) x = \frac{y^3}{3} - \cos y + c \] \ (b) \( y + \cos y = x + c \) \ (c) \( x = \frac{y^3}{3} + \cos y + c \) \ (d) Aucune de ces réponses

      - Solution :

      L'équation donnée peut être réécrite comme \( dx = (y^2 + \sin y)\,dy \)

      En intégrant, \[ \int dx = \int (y^2 + \sin y)\,dy \]

      \[ x = \frac{y^3}{3} - \cos y + c \]

      - Exemple:
      La solution de l'équation différentielle \[ \frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2 \] est \[ (a) 4x - y + 1 = 2 \tan(2x - 2c) \] \ (b) \( 4x - y - 1 = 2 \tan(2x - 2c) \) \ (c) \( 4x + y + 1 = 2 \tan(2x + 2c) \) \ (d) Aucune de ces réponses

      - Solution:
      Soit \( 4x + y + 1 = z \Rightarrow 4 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 4 \)

      \[ \frac{dy}{dx} = (4x + y + 1)^2 \]

      \[ \Rightarrow \frac{dz}{dx} - 4 = z^2 \Rightarrow \frac{dz}{dx} = z^2 + 4 \Rightarrow \frac{dz}{z^2 + 4} = dx \Rightarrow \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{z}{2} = x + c \Rightarrow \tan^{-1} \left( \frac{4x + y + 1}{2} \right) = 2x + 2c \]

      \[ 4x + y + 1 = 2 \tan (2x + 2c) \]

      - Exemple :
      Solution de l'équation différentielle \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x + y + 7}{2x + 2y + 3} \] est \[ (a) 6(x + y) + 11 \log(3x + 3y + 10) = 9x + c \] \ (b) \( 6(x + y) - 11 \log(3x + 3y + 10) = 9x + c \) \ (c) \( 6(x + y) - 11 \log \left( x + y + \frac{10}{3} \right) = 9x + c \) \ (d) Aucune de ces réponses

      - Solution :
      (b, c) L'équation donnée peut être réécrite comme \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x + y + 7}{2(x + y) + 3} \]

      Soit \( x + y = z \)

      \[
      \Rightarrow 1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 1
      \]

      \[
      \therefore \frac{dz}{dx} - 1 = \frac{z+7}{2z+3}
      \]

      \[
      \Rightarrow \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{z+7}{2z+3} \Rightarrow \frac{3z+10}{2z+3}
      \]

      \[
      \Rightarrow \frac{2z+3}{3z+10} dz = dx
      \]

      \[
      \Rightarrow \frac{2}{3}(3z+10) - \frac{11}{3} dz = dx
      \]

      \[
      \Rightarrow \int \frac{2}{3} dz - \frac{11}{9} \int \frac{3dz}{3z+10} = \int dx
      \]

      \[
      \Rightarrow \frac{2}{3} z - \frac{11}{9} \log (3z+10) = x + c_1
      \]

      \[
      \Rightarrow 6z - 11 \log (3z+10) = 9x + 9c_1
      \]

      \[
      \therefore 6(x+y)-11 \log (3x+3y+10) = 9x+c \quad [9c_1 = c]
      \]

      \[
      \Rightarrow 6(x+y)-11 \log 3 \left( x+y+\frac{10}{3} \right) = 9x+c
      \]

      \[
      \Rightarrow 6(x+y)-11 \log \left( x+y+\frac{10}{3} \right) = 9x+(c+11 \log 3)
      \]

      \[
      \therefore 6(x+y)-11 \log \left( x+y+\frac{10}{3} \right) = 9x+k \quad (k = c+11 \log 3)
      \]

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    • -  Équation différentielle homogène :

      (1) Équation différentielle homogène : Une fonction \( f(x, y) \) est dite fonction homogène de degré \( n \) si \( f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x,y) \).

      Par exemple, \( f(x,y) = x^2 - y^2 + 3xy \) est une fonction homogène de degré 2, car \( f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^2 x^2 - \lambda^2 y^2 + 3\lambda x \). Une fonction homogène \( f(x, y) \) de degré \( n \) peut toujours s'écrire sous la forme \( f(x,y) = x^n f\left( \frac{y}{x} \right) \) ou \( f(x,y) = y^n f\left( \frac{x}{y} \right) \). Si une équation différentielle du premier ordre et du premier degré peut s'exprimer sous la forme \( \frac{dy}{dx} = \frac{f(x,y)}{g(x,y)} \) où \( f(x, y) \) et \( g(x, y) \) sont des fonctions homogènes de même degré, alors elle est appelée équation différentielle homogène. Ce type d'équations peut être réduit à une forme à variables séparables par la substitution \( y = vx \). L'équation différentielle donnée peut s'écrire comme \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^n f(y/x)}{x^n g(y/x)} = \frac{f(y/x)}{g(y/x)} = F\left( \frac{y}{x} \right) \). Si \( y = vx \), alors \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dy}{dx} \). En substituant la valeur de \( \frac{dy}{dx} = F\left( \frac{y}{x} \right) \), on obtient \( v + x \frac{dy}{dx} = F(v) \Rightarrow \frac{dy}{F(v) - v} = \frac{dx}{x} \). En intégrant, \( \int \frac{1}{F(v) - v} dv = \int \frac{dx}{x} + C \) où \( C \) est une constante d'intégration arbitraire. Après intégration, \( v \) sera remplacé par \( \frac{y}{x} \) dans la solution complète.

      (2) Algorithme pour résoudre une équation différentielle homogène

      Étape (i) : Mettre l'équation différentielle sous la forme \( \frac{dy}{dx} = \frac{\phi(x,y)}{\psi(x,y)} \)

      Étape (ii) : Poser \( y = vx \) et \( \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dy}{dx} \) dans l'équation de l'étape (i) et simplifier \( x \) du côté droit. L'équation se réduit à la forme \( v + x \frac{dy}{dx} = F(v) \).

      Étape (iii) : Déplacer \( v \) du côté droit et séparer les variables \( v \) et \( x \)

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    • - Étape (iv)} : Intégrer les deux côtés pour obtenir la solution en termes de \( v \) et \( x \).

      - Étape (v)} : Remplacer \( v \) par \( \frac{y}{x} \) dans la solution obtenue à l'étape (iv) pour obtenir la solution en termes de \( x \) et \( y \).

      -  Équation réductible à une forme homogène:
      Une équation différentielle du premier ordre et du premier degré de la forme

      \[
      \frac{dy}{dx} = \frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2}, \text{ où } \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \quad \text{......}(i)
      \]

      Cette équation est non homogène.
      Elle peut être réduite à une forme homogène par certaines substitutions. Poser \( x = X + h, y = Y + k \)
      Où \( h \) et \( k \) sont des constantes à déterminer.

      \[
      \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dY} \cdot \frac{dY}{dX} \cdot \frac{dX}{dx} = \frac{dY}{dX}
      \]

      En substituant ces valeurs dans (i), on obtient

      \[
      \frac{dY}{dX} = \frac{(a_1 X + b_1 Y) + a_1 h + b_1 k + c_1}{(a_2 X + b_2 Y) + a_2 h + b_2 k + c_2} \quad \text{......}(ii)
      \]

      Maintenant, \( h \) et \( k \) seront choisis de telle sorte que

      \[
      \begin{cases}
      a_1 h + b_1 k + c_1 = 0 \\
      a_2 h + b_2 k + c_2 = 0
      \end{cases}
      \]

      \[
      h \quad k \quad 1
      \]

      \[
      \frac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{c_1 a_2 - c_2 a_1} = \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1} \quad \text{......}(iv)
      \]

      Pour ces valeurs de \( h \) et \( k \), l'équation (ii) se réduit à

      \[
      \frac{dY}{dX} = \frac{a_1 X + b_1 Y}{a_2 X + b_2 Y} \quad \text{qui est une équation différentielle homogène et peut être résolue par la substitution } Y = vX. \text{ En remplaçant } X \text{ et } Y \text{ dans la solution ainsi obtenue par } x - h \text{ et } y - k \text{ respectivement, on peut obtenir la solution requise en termes de } x \text{ et } y.
      \]

      - Exemple : 
      La solution de l'équation différentielle

      \[
      x \frac{dy}{dx} = y (\log y - \log x + 1) \text{ est} \quad [\text{IIT 1986}]
      \]

      (a) \( y = xe^{cx} \) \quad (b) \( y + xe^{cx} = 0 \) \quad (c) \( y + e^x = 0 \) \quad (d) Aucune de ces réponses

      - Solution :
      L'équation donnée peut être exprimée comme

      \[
      \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \left[ \log \left( \frac{y}{x} \right) + 1 \right] \quad \text{......}(i)
      \]

      Soit \( \frac{y}{x} = v \Rightarrow y = vx \Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)

      De (i),

      \[
      v + x \frac{dv}{dx} = v (\log v + 1) \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = v \log v \Rightarrow \frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x} \Rightarrow \int \frac{1}{\log v} d(\log v) = \int \frac{dx}{x}
      \]

      \(\therefore \log (\log v) = \log x + \log c \Rightarrow \log (\log v) = \log (cx) \Rightarrow \log v = cx \Rightarrow v = e^{cx} \Rightarrow \frac{y}{x} = e^{cx}, \therefore y = xe^{cx}\)

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    • - Exemple :
      La solution de l'équation différentielle

      \[
      y' = x \left( \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi(y^2/x^2)}{\phi(y^2/x^2)} \right) \text{ est}
      \]

      (a) \( \phi(y^2/x^2) = cx^2 \) \quad (b) \( x^2 \phi(y^2/x^2) = c^2 y^2 \) \quad (c) \( x^2 \phi(y^2/x^2) = c \) \quad (d) \( \phi(y^2/x^2) = \frac{cy}{x} \)

      - Solution :
      L'équation donnée peut être réécrite comme \(\frac{y}{x}, \frac{dy}{dx} = \left( \frac{y}{x} \right)^2 + \frac{\phi(y/x)^2}{\phi'(y/x)^2}\) ......(i)

      Soit \( y = vx \Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \) et \(\frac{y}{x} = v\)

      ∴ De (i), \(\sqrt{v + x} \frac{dv}{dx} = v^2 + \frac{\phi(v^2)}{\phi'(v^2)} \Rightarrow vx \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v^2)}{\phi'(v^2)} \Rightarrow \frac{\phi'(v^2)(2v dv)}{\phi(v^2)} = 2 \frac{dx}{x}\)

      En intégrant, \(\ln(\phi(v^2)) = 2 \ln x + \ln c \Rightarrow \phi(v^2) = cx^2\)

      ∴ \(\phi(v^2 / x^2) = cx^2\)

      - Exemple :
      La solution de \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 + 2x^2 y}{x^3 + 2xy^2}\) est

      (a) \((x^2 - y^2)^3 = Bx^2 y^2\) (b) \((x^2 + y^2)^3 = Bx^2 y^2\) (c) \((x^2 - y^2)^3 = x^2 y^2\) (d) Aucune de ces réponses

      - Solution :
      L'équation donnée est homogène. Soit \( y = vx \Rightarrow \frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \)

      \[
      \Rightarrow \frac{y^3 + 2x^2 y}{x^3 + 2xy^2} = v + x \frac{dv}{dx} \Rightarrow \frac{(y/x)^3 + 2(y/x)}{1 + 2(y/x)^2} = v + x \frac{dv}{dx} \Rightarrow \frac{y^3 + 2y}{1 + 2y^2} = v + x \frac{dv}{dx} \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = \sqrt{\frac{v^2 + 2}{1 + 2y^2}} - 1 = \sqrt{\frac{1 - v^2}{1 + 2y^2}}
      \]

      \[
      \Rightarrow \frac{1 + 2v^2}{v(1 - v^2)} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow \frac{1 + 2v^2}{v(1 - v)(1 + v)} dv = \frac{dx}{x} \Rightarrow \left( \frac{A}{v} + \frac{B}{1 - v} + \frac{D}{1 + v} \right) dv = \frac{dx}{x}
      \]

      où \( A(1 - v)(1 + v) + Bv(1 + v) + Dv(1 - v) = 1 + 2v^2 \)

      En posant \( v = 0, A = 1 \)

      \[
      v = 1, B = \frac{3}{2}
      \]

      \[
      v = -1, D = -\frac{3}{2}
      \]

      \[
      \therefore \left( \frac{1}{v} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1 - v} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1 + v} \right) dv = \frac{dx}{x}
      \]

      En intégrant les deux côtés, on obtient \(\ln v + \frac{3}{2} \ln(1 - v) - \frac{3}{2} \ln(1 + v) = \ln x + \ln c \Rightarrow \ln v - \frac{3}{2} \ln(1 - v) - \frac{3}{2} \ln(1 + v) = \ln cx\)

      \[
      \Rightarrow v/((1 - v)1 + v)^{3/2} = cx \Rightarrow \left( \frac{y}{cx} \right)^2 = (1 - v^2)^3 \Rightarrow \left( \frac{y}{cx^2} \right)^2 = \left( 1 - \frac{y^2}{x^2} \right)^3 \Rightarrow (x^2 - y^2)^3 = \frac{x^2 y^2}{c^2}
      \]

      \[
      \therefore (x^2 - y^2)^3 = Bx^2 y^2, \left( \frac{1}{c^2} = B \right)
      \]

      - Exemple : 
      La solution de \(\frac{dy}{dx} = \frac{x - 3y + 2}{3x - y + 6}\) est

      (a) \(y^2 + 6(x + 2)y + (x + 2)^2 = c\) (b) \(y^2 - 6(x + 2)y + (x + 2)^2 = c\)

      (c) \(y^2 - 6(y + 2)x + x^2 = c\) (d) Aucune de ces réponses

      - Solution :
      L'équation donnée est non homogène

      Soit \( x = X + h, y = Y + k \)

      \[
      \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}
      \]

      \[
      \therefore \frac{dY}{dX} = \frac{(X + h) - 3(Y + k) + 2}{3(X + h) - (Y + k) + 6} = \frac{X - 3Y + (h - 3k + 2)}{3X - Y + (3h - k + 6)}
      \]

      Choisissons \( h \) et \( k \) de telle sorte que \( h - 3k + 2 = 0 \) et \( 3h - k + 6 = 0 \)

      En résolvant, \( k = 0, h = -2 \); \( X = x - h = x + 2, Y = y - k = y \)

      \[
      \therefore \frac{dY}{dX} = \frac{X - 3Y}{3X - Y}
      \]

      qui est homogène

      Maintenant, soit \( Y = vX \)

      \Rightarrow \[ \frac{dY}{dX} = v + X \frac{dv}{dX} \] \Rightarrow \[ \frac{X - 3Y}{3X - Y} = v + X \frac{dv}{dX} \] \Rightarrow \[ \frac{1 - 3(Y / X)}{3 - (Y / X)} = v + X \frac{dv}{dX} \] \Rightarrow \[ \frac{1 - 3v}{3 - v} = v + X \frac{dv}{dX} \]

      \Rightarrow \[ X \frac{dv}{dX} = \frac{1 - 3v}{3 - v} \Rightarrow \frac{v^2 - 6v + 1}{3 - v} \Rightarrow \frac{(3 - v) dv}{v^2 - 6v + 1} = \frac{dX}{X} \Rightarrow \frac{2v - 6}{v^2 - 6v + 1} dv = -2 \frac{dX}{X} \]

      En intégrant, \[ \ln(v^2 - 6v + 1) = -2 \ln X + \ln c \Rightarrow \ln(v^2 - 6v + 1) + \ln X^2 = \ln c \Rightarrow X^2(v^2 - 6v + 1) = c \Rightarrow Y^2 - 6XY + X^2 = c \]

      \[
      \therefore y^2 - 6(x + 2)y + (x + 2)^2 = c
      \]

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    • - Équation différentielle exacte :

      (1) Équation différentielle exacte : Si \( M \) et \( N \) sont des fonctions de \( x \) et \( y \), l'équation \( Mdx + Ndy = 0 \) est dite exacte lorsqu'il existe une fonction \( f(x, y) \) de \( x \) et \( y \) telle que

      \[
      df(x, y) = Mdx + Ndy \quad \text{c'est-à-dire} \quad \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = Mdx + Ndy
      \]

      où \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \text{Dérivée partielle de } f(x, y) \text{ par rapport à } x \text{ (en gardant } y \text{ constant)} \]

      \[
      \frac{\partial f}{\partial y} = \text{Dérivée partielle de } f(x, y) \text{ par rapport à } y \text{ (en traitant } x \text{ comme constant)}
      \]

      **Remarque** : □ Une équation différentielle exacte peut toujours être dérivée directement de sa solution générale par différenciation sans aucune multiplication, élimination, etc. ultérieure.

      (2) Théorème : La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation différentielle \( Mdx + Ndy = 0 \) soit exacte est \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \quad \text{c'est-à-dire} \text{ la dérivée partielle de } M(x, y) \text{ par rapport à } y = \text{ la dérivée partielle de } N(x, y) \text{ par rapport à } x \]

      (3) Facteur intégrant : Si une équation de la forme \( Mdx + Ndy = 0 \) n'est pas exacte, elle peut toujours être rendue exacte en multipliant par une fonction de \( x \) et \( y \). Un tel multiplicateur est appelé facteur intégrant.

      (4) Règle de travail pour résoudre une équation différentielle exacte :

      Étape (i) : Comparez l'équation donnée avec \( Mdx + Ndy = 0 \) et trouvez \( M \) et \( N \). Ensuite, trouvez \[ \frac{\partial M}{\partial y} \text{ et } \frac{\partial N}{\partial x} \text{ . Si } \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \text{ , l'équation donnée est exacte.} \]

      Étape (ii) : Intégrez \( M \) par rapport à \( x \) en traitant \( y \) comme une constante.

      Étape (iii) : Intégrez \( N \) par rapport à \( y \) en traitant \( x \) comme une constante et omettez les termes qui ont déjà été obtenus en intégrant \( M \).

      Étape (iv) : En additionnant les termes obtenus aux étapes (ii) et (iii) et en les égalant à une constante arbitraire, on obtient la solution requise.

      En d'autres termes, la solution d'une équation différentielle exacte est \[ \int Mdx + \int Ndy = c \]

      (5) Solution par inspection : Si nous pouvons écrire l'équation différentielle sous la forme \[ f(f_1(x,y))d(f_1(x,y)) + \phi(f_2(x,y))d(f_2(x,y)) + \ldots = 0 \], alors chaque terme peut être facilement intégré séparément. Pour cela, les résultats suivants doivent être mémorisés.

      (i) \( d(x + y) = dx + dy \)

      (ii) \( d(xy) = xdy + ydx \)

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    • (iii) \( d\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{ydx - xdy}{y^2} \) 
      (iv) \( d\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{xdy - ydx}{x^2} \) 
      (v) \( d\left(\frac{x^2}{y}\right) = \frac{2xydx - x^2dy}{y^2} \) 
      (vi) \( d\left(\frac{y^2}{x}\right) = \frac{2xydy - y^2dx}{x^2} \) 
      (vii) \( d\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = \frac{2xy^2dx - 2x^2ydy}{y^4} \) 
      (viii) \( d\left(\frac{y^2}{x^2}\right) = \frac{2x^2ydy - 2xy^2dx}{x^4} \) 
      (ix) \( d\left(\tan^{-1}\frac{x}{y}\right) = \frac{ydx - xdy}{x^2 + y^2} \) 
      (x) \( d\left(\tan^{-1}\frac{y}{x}\right) = \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} \) 
      (xi) \( d[\ln(xy)] = \frac{xdy + ydx}{xy} \) 
      (xii) \( d\left(\ln\left(\frac{x}{y}\right)\right) = \frac{ydx - xdy}{xy} \) 
      (xiii) \( d\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)\right] = \frac{xdx + ydy}{x^2 + y^2} \) 
      (xiv) \( d\left[\ln\left(\frac{y}{x}\right)\right] = \frac{xdy - ydx}{xy} \) 
      (xv) \( d\left(-\frac{1}{xy}\right) = \frac{xdy + ydx}{x^2y^2} \) 
      (xvi) \( d\left(\frac{e^x}{y}\right) = \frac{ye^x dx - e^x dy}{y^2} \) 
      (xvii) \( d\left(\frac{e^y}{x}\right) = \frac{xe^y dy - e^y dx}{x^2} \) 
      (xviii) \( d(x^m y^n) = x^{m-1} y^{n-1}(my dx + nx dy) \) 
      (xix) \( d\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) = \frac{xdx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) 
      (xx) \( d\left(\frac{1}{2}\log\frac{x+y}{x-y}\right) = \frac{xdy - ydx}{x^2 - y^2} \) 
      (xxi) \( \frac{d[f(x,y)]^{1-n}}{1-n} = \frac{f'(x,y)}{(f(x,y))^n} \) 

      - Exemple : 
      La solution générale de l'équation différentielle \((x + y)dx + xdy = 0\) est  
      (a) \( x^2 + y^2 = c \)  
      (b) \( 2x^2 - y^2 = c \)  
      (c) \( x^2 + 2xy = c \)  
      (d) \( y^2 + 2xy = c \)  

      - Solution :
      Nous avons \( xdx + (ydx + xdy) = 0 \Rightarrow xdx + d(xy) = 0 \)  
      En intégrant, \(\frac{x^2}{2} + xy = \frac{c}{2}\)  
      ∴ \( x^2 + 2xy = c \)  

      - Exemple :
      La solution de \( y(2xy + e^x)dx = e^xdy \) est  
      (a) \( yx^2 + e^x = cy \)  
      (b) \( xy^2 + e^x = cx \)  
      (c) \( xy^2 + e^x = c \)  
      (d) Aucune de ces réponses  

      - Solution :
      En réécrivant l'équation donnée,  
      \( 2xy^2dx + ye^xdx = e^xdy \Rightarrow 2xdx + \frac{ye^xdx - e^xdy}{y^2} = 0 \Rightarrow d(x^2) + d\left(\frac{e^x}{y}\right) = 0 \)  
      En intégrant, \( x^2 + \frac{e^x}{y} = c \)  
      ∴ \( yx^2 + e^x = cy \)  

      - Exemple : 
      La solution de \((x^2 - 4xy - 2y^2)dx + (y^2 - 4xy - 2x^2)dy = 0\) est  
      (a) \( x^3 + y^3 - 6xy(x + y) = c \)  
      (b) \( x^3 + y^3 + 6xy(x - y) = c \)  
      (c) \( x^3 + y^3 + 6xy(x + y) = c \)  
      (d) \( x^3 + y^3 - 6xy(x - y) = c \)  

      - Solution :
      En comparant l'équation donnée avec \( Mdx + Ndy = 0 \),

      Nous obtenons, \( M = x^2 - 4xy - 2y^2 \), \( N = y^2 - 4xy - 2x^2 \)

      \[
      \frac{\partial M}{\partial y} = -4x - 4y
      \]

      \[
      \frac{\partial N}{\partial x} = -4y - 4x
      \]

      \[
      \therefore \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
      \]

      Ainsi, l'équation différentielle donnée est exacte.

      En intégrant \( M \) par rapport à \( x \), en traitant \( y \) comme une constante,

      \[
      \int Mdx = \int (x^2 - 4xy - 2y^2)dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2y - 2y^2x
      \]

      En intégrant \( N \) par rapport à \( y \), en traitant \( x \) comme une constante,

      \[
      \int Ndy = \int (y^2 - 4xy - 2x^2)dy = \frac{y^3}{3} - 2xy^2 - 2x^2y = \frac{y^3}{3}; \text{(en omettant} - 2xy^2 - 2x^2y \text{ qui apparaissent déjà dans } \int Mdx)
      \]

      La solution de l'équation donnée est

      \[
      \frac{x^3}{3} - 2x^2y - 2xy^2 + \frac{y^3}{3} = \lambda \Rightarrow x^3 + y^3 - 6xy(x+y) = 3\lambda
      \]

      \[
      \therefore x^3 + y^3 - 6xy(x+y) = c \quad (\exists \lambda = c)
      \]

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