- Aire entre deux courbes :
(3) Aire positive et négative : L'aire est toujours considérée comme positive. Si une partie de l'aire se situe au-dessus de l'axe des \( x \) et une autre partie en dessous, alors les aires des deux parties doivent être calculées séparément, puis leurs valeurs numériques doivent être additionnées pour obtenir l'aire souhaitée.
- Conseils importants :
☞ L'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et \( x^2 = 4by \) est \( \frac{16ab}{3} \) unités carrées.
☞ L'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et \( y = mx \) est \( \frac{8a^2}{3m^3} \) unités carrées.
☞ L'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et son latus rectum est \( \frac{8a^2}{3} \) unités carrées.
☞ L'aire de la région délimitée par une arche de \( \sin(ax) \) ou \( \cos(ax) \) et l'axe des \( x \) est \( \frac{2}{a} \) unités carrées.
☞ L'aire de l'ellipse \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) est \( \pi ab \) unités carrées.
☞ L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = \sin x \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = 0 \) et \( x = 2\pi \) est 4 unités.
- \[ \text{[Exemple :]} \]
L'aire de la région délimitée par les courbes \( y = x^2 \) et \( y = |x| \)
(a) \( \frac{1}{6} \) (b) \( \frac{1}{3} \) (c) \( \frac{5}{6} \) (d) \( \frac{5}{3} \)
\[
\boxed{ Solution : }
\] (b) L'aire requise est donnée par
\[
2 \left[ \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \right] = 2 \left[ \left( \frac{x^2}{2} \right) - \left( \frac{x^3}{3} \right) \right]_{0}^{1}
\]
\[
= 2 \left[ \left( \frac{1}{2} - 0 \right) - \left( \frac{1}{3} - 0 \right) \right] = 2 \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ \frac{1}{6} \right] = \frac{1}{3}.
\]
- \[ \text{[Exemple :]} \]
L'aire (en unités carrées) délimitée par la courbe \( y = x^3 \), \( y = x^2 \) et les ordonnées \( x = 1 \), \( x = 2 \)
(a) \( \frac{17}{12} \) (b) \( \frac{12}{17} \) (c) \( \frac{2}{7} \) (d) \( \frac{7}{2} \)
\[
\boxed{ Solution : }
\] (a) L'aire requise est donnée par
\[
\int_{1}^{2} (x^3 - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{16+1}{12} = \frac{17}{12}.
\]
- \[ \text{[Exemple :]} \]
L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = 2x - x^2 \) et la droite \( y = x \)
(a) \( \frac{1}{2} \) (b) \( \frac{1}{3} \) (c) \( \frac{1}{4} \) (d) \( \frac{1}{6} \)
\[
\boxed{ Solution : }
\] (d) La courbe donnée est \( y = 2x - x^2 \)
\[
\Rightarrow y = -(x^2 - 2x + 1) + 1
\]
\[
\Rightarrow y = 1 - (x - 1)^2,
\]
elle représente une parabole orientée vers le bas avec un sommet en (1,1). Ses points d'intersection avec la droite \( y = x \) sont (0,0) et (1,1). L'aire requise est la région ombrée.
