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Aire entre deux courbes

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Aire entre deux courbes

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  • Aire des Régions Délimitées

    • - Aire des Régions Délimitées :

      (1) L'aire délimitée par une courbe cartésienne \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les ordonnées \( x = a \) et \( x = b \) est donnée par

      \[
      \text{Aire} = \int_{a}^{b} y \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
      \]

      (2) Si la courbe \( y = f(x) \) se trouve en dessous de l'axe des \( x \), alors l'aire délimitée par la courbe \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les ordonnées \( x = a \) et \( x = b \) est négative. Ainsi, l'aire est donnée par

      \[
      \left| \int_{a}^{b} y \, dx \right|
      \]

      (3) L'aire délimitée par une courbe cartésienne \( x = f(y) \), l'axe des \( y \) et les abscisses \( y = c \) et \( y = d \) est donnée par

      \[
      \text{Aire} = \int_{c}^{d} x \, dy = \int_{c}^{d} f(y) \, dy
      \]

  • Aire des Régions Délimitées

    • - Aire des Régions Délimitées :

      (4) Si l'équation d'une courbe est donnée sous forme paramétrique, c'est-à-dire \( x = f(t) \), \( y = g(t) \), alors l'aire est donnée par
      \[
      \text{Aire} = \int_{a}^{b} y \, dx = \int_{t_1}^{t_2} g(t) f'(t) \, dt
      \]
      où \( t_1 \) et \( t_2 \) sont les valeurs de \( t \) correspondant respectivement aux valeurs \( a \) et \( b \) de \( x \).

      - Convention de signe pour le calcul des aires par intégration :

      En appliquant la convention de signe discutée, nous allons examiner trois cas.

      * *Cas I  : Dans l'expression \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), si \( b > a \) et \( f(x) > 0 \) pour tout \( a \leq x \leq b \), alors cette intégration donnera l'aire comprise entre la courbe \( f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \), qui est positive. Aucune modification n'est nécessaire.

      * *Cas II  : Si dans l'expression \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), \( b > a \) et \( f(x) < 0 \) pour tout \( a \leq x \leq b \), alors cette intégration sera négative. Cependant, la valeur numérique ou absolue doit être prise pour représenter l'aire comprise entre la courbe \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \).

      * *Cas III  : Si dans l'expression \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\), \( b > a \) mais \( f(x) \) change de signe plusieurs fois dans l'intervalle \( a \leq x \leq b \), alors nous devons diviser la région \([a, b]\) de manière à identifier clairement les points où \( f(x) \) change de signe. Pour la région où \( f(x) > 0 \), nous intégrons simplement pour obtenir l'aire dans cette région, puis nous ajoutons la valeur absolue de l'intégration calculée dans la région où \( f(x) < 0 \) pour obtenir l'aire souhaitée entre la courbe \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \).

      Ainsi, si \( f(x) \) est comme dans la figure ci-dessus, l'aire délimitée par \( y = f(x) \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = a \) et \( x = b \) est donnée par
      \[
      A = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \left| \int_{c}^{d} f(x) \, dx \right| + \int_{d}^{e} f(x) \, dx + \left| \int_{e}^{f} f(x) \, dx \right| + \int_{f}^{b} f(x) \, dx
      \]

      - Exemple : 

      L'aire (en unités carrées) délimitée par la courbe \( x^2 y = 36 \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = 6 \) et \( x = 9 \) est

      (a) 2 (b) 1 (c) 4 (d) 3

      * *Solution :} (a) L'aire requise est donnée par
      \[
      \text{Aire} = \int_{6}^{9} y \, dx = \int_{6}^{9} \frac{36}{x^2} \, dx \quad \left[\text{Car } x^2 y = 36 \Rightarrow y = \frac{36}{x^2}\right]
      \]
      \[
      = \left[ -\frac{36}{x} \right]_{6}^{9} = \left[ \frac{36}{9} - \frac{36}{6} \right] = [4 - 6] = 2.
      \]

  • Aire entre deux courbes :

    • - Exemple : 

      L'aire délimitée par l'axe des \( x \), la courbe \( y = f(x) \) et les droites \( x = 1 \), \( x = b \) est égale à \(\sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2}\) pour tout \( b > 1 \). Alors \( f(x) \) .

      (a) \(\sqrt{x-1}\) (b) \(\sqrt{x+1}\) (c) \(\sqrt{x^2-1}\) (d) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       
      \[
      \int_{1}^{b} f(x) \, dx = \sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{2} = \left[ \sqrt{x^2 + 1} \right]_{1}^{b}
      \]
      \[
      \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}
      \]
      Ainsi, \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \).

      - Exemple : 

      L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = x - x^2 \) entre \( x = 0 \) et \( x = 1 \)  

      (a) \(\frac{1}{6}\) (b) \(\frac{1}{3}\) (c) \(\frac{1}{2}\) (d) \(\frac{5}{6}\)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       
      (a) L'aire requise est donnée par
      \[
      \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
      \]

      - Exemple :

      Trouvez l'aire délimitée entre la courbe \( y^2 = 2y - x \) et l'axe des \( y \).

      (a) \(\frac{4}{3}\) (b) \(\frac{2}{3}\) (c) \(\frac{1}{3}\) (d) 5

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       
      (a) L'aire entre la courbe donnée \( x = 2y - y^2 \) et l'axe des \( y \) sera comme indiqué.

      \[
      \text{Aire requise} = \int_{0}^{2} (2y - y^2) \, dy
      \]
      \[
      = \left[ y^2 - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{3}
      \]

      - Exemple: 

      Trouvez l'aire délimitée par les courbes \( x = a \cos t \), \( y = b \sin t \) dans le premier quadrant.

      (a) \(\frac{\pi ab}{4}\) (b) \(\frac{\pi a^2 b}{4}\) (c) \(\frac{\pi ab^2}{4}\) (d) Aucune de ces réponses

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       
      (a) Les équations données sont clairement les équations paramétriques de l'ellipse \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\). La courbe rencontre l'axe des \( x \) dans le premier quadrant au point \((a,0)\).

      \[
      \text{Aire requise} = \int_{0}^{a} y \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} b \sin t \, dx = ab \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 t \, dt = \frac{\pi ab}{4}
      \]
      \[
      (\text{Car à } x = 0, t = \pi / 2 \text{ et à } x = a, t = 0)
      \]

  • Aire entre deux courbes :

    • - Exemple: 

      Trouvez l'aire totale du cercle \( x^2 + y^2 = a^2 \).

      (a) \(\pi\) (b) \(\pi a^2\) (c) \(\pi a^3\) (d) \(a^2\)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]        (b) L'aire requise est symétrique par rapport aux deux axes, comme indiqué dans la figure.

      \[
      \text{Aire requise} = 4 \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = 4 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \frac{x}{a} \right]_0^a
      \]
      \[
      = 4 \left[ \frac{\pi}{2} \times \frac{a^2}{2} \right]_0^a = \pi a^2
      \]

      - Exemple :

      Trouvez l'aire délimitée par la parabole \( y^2 = 4x \) et son latus rectum.

      (a) \(\frac{8}{3}\) (b) \(\frac{4}{3}\) (c) \(\frac{16}{3}\) (d) Aucune de ces réponses

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]        (a) Comme la courbe est symétrique par rapport à l'axe des \( x \), l'aire requise est

      \[
      = 2 \int_0^1 y \, dx = 2 \int_0^1 \sqrt{4x} \, dx
      \]
      \[
      = 4 \left[ \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} \right]_0^1 = \frac{8}{3}
      \]

      - Aire entre deux courbes :

      (1) Lorsque les deux courbes se croisent en deux points et que leur aire commune se situe entre ces points :

      Si les courbes \( y_1 = f_1(x) \) et \( y_2 = f_2(x) \), où \( f_1(x) > f_2(x) \), se croisent en deux points \( A(x = a) \) et \( B(x = b) \), alors l'aire commune entre les courbes est

      \[
      = \int_a^b (y_1 - y_2) \, dx
      \]
      \[
      = \int_a^b [f_1(x) - f_2(x)] \, dx
      \]

      (2) Lorsque deux courbes se croisent en un point et que l'aire entre elles est délimitée par l'axe des \( x \) :

      L'aire délimitée par les courbes \( y = f_1(x) \), \( y_2 = f_2(x) \) et l'axe des \( x \) est

      \[
      = \int_a^a f_1(x) \, dx + \int_a^b f_2(x) \, dx
      \]

      où \( P(\alpha, \beta) \) est le point d'intersection des deux courbes.

  • Aire entre deux courbes :

    • - Aire entre deux courbes :

      (3) Aire positive et négative : L'aire est toujours considérée comme positive. Si une partie de l'aire se situe au-dessus de l'axe des \( x \) et une autre partie en dessous, alors les aires des deux parties doivent être calculées séparément, puis leurs valeurs numériques doivent être additionnées pour obtenir l'aire souhaitée.

      - Conseils importants :

      ☞ L'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et \( x^2 = 4by \) est \( \frac{16ab}{3} \) unités carrées.

      ☞ L'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et \( y = mx \) est \( \frac{8a^2}{3m^3} \) unités carrées.

      ☞ L'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et son latus rectum est \( \frac{8a^2}{3} \) unités carrées.

      ☞ L'aire de la région délimitée par une arche de \( \sin(ax) \) ou \( \cos(ax) \) et l'axe des \( x \) est \( \frac{2}{a} \) unités carrées.

      ☞ L'aire de l'ellipse \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) est \( \pi ab \) unités carrées.

      ☞ L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = \sin x \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = 0 \) et \( x = 2\pi \) est 4 unités.

      - \[ \text{[Exemple :]} \]

      L'aire de la région délimitée par les courbes \( y = x^2 \) et \( y = |x| \) 

      (a) \( \frac{1}{6} \) (b) \( \frac{1}{3} \) (c) \( \frac{5}{6} \) (d) \( \frac{5}{3} \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       (b) L'aire requise est donnée par
      \[
      2 \left[ \int_{0}^{1} x \, dx - \int_{0}^{1} x^2 \, dx \right] = 2 \left[ \left( \frac{x^2}{2} \right) - \left( \frac{x^3}{3} \right) \right]_{0}^{1}
      \]
      \[
      = 2 \left[ \left( \frac{1}{2} - 0 \right) - \left( \frac{1}{3} - 0 \right) \right] = 2 \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right] = 2 \left[ \frac{1}{6} \right] = \frac{1}{3}.
      \]

      - \[ \text{[Exemple :]} \]

      L'aire (en unités carrées) délimitée par la courbe \( y = x^3 \), \( y = x^2 \) et les ordonnées \( x = 1 \), \( x = 2 \) 

      (a) \( \frac{17}{12} \) (b) \( \frac{12}{17} \) (c) \( \frac{2}{7} \) (d) \( \frac{7}{2} \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]        (a) L'aire requise est donnée par
      \[
      \int_{1}^{2} (x^3 - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{16+1}{12} = \frac{17}{12}.
      \]

       - \[ \text{[Exemple :]} \]

      L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = 2x - x^2 \) et la droite \( y = x \) 

      (a) \( \frac{1}{2} \) (b) \( \frac{1}{3} \) (c) \( \frac{1}{4} \) (d) \( \frac{1}{6} \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       (d) La courbe donnée est \( y = 2x - x^2 \)
      \[
      \Rightarrow y = -(x^2 - 2x + 1) + 1
      \]
      \[
      \Rightarrow y = 1 - (x - 1)^2,
      \]
      elle représente une parabole orientée vers le bas avec un sommet en (1,1). Ses points d'intersection avec la droite \( y = x \) sont (0,0) et (1,1). L'aire requise est la région ombrée.

  • Aire entre deux courbes :

    • \[ \text{[Exemple :]} \]

      L'aire délimitée par les droites \( y = 2 + x \), \( y = 2 - x \) et \( x = 2 \) est

      (a) 3 (b) 4 (c) 8 (d) 16

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]

      (b) Les droites données sont \( y = x + 2 \), \( y = -x + 2 \), \( x = 2 \). L'aire requise est l'aire du triangle \( \triangle CAB = \frac{1}{2}(2)(4) = 4 \) unités carrées.

      \[ \text{[Exemple :]} \]

      L'aire délimitée par la courbe \( y^2 = 4x \) et \( x^2 = 4y \)

      (a) \( \frac{16}{3} \) unités carrées (b) \( \frac{3}{16} \) unités carrées (c) \( \frac{14}{3} \) unités carrées (d) \( \frac{3}{14} \) unités carrées

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       (a) L'aire requise est donnée par
      \[
      \int_{0}^{4} \left( \sqrt{4x} - \frac{x^2}{4} \right) dx = \frac{16}{3} \text{ unités carrées.}
      \]

      - Astuce :  
      D'après les conseils importants, l'aire de la région délimitée par \( y^2 = 4ax \) et \( x^2 = 4by \) est \( \frac{16ab}{3} \) unités carrées.

      Ici, \( y^2 = 4x \) et \( x^2 = 4y \), donc \( a = 1 \) et \( b = 1 \). L'aire requise est \( \frac{16}{3} \) unités carrées.

      \[ \text{[Exemple :]} \]

      L'aire de la région délimitée par la courbe \( y = \sin x \), l'axe des \( x \) et les droites \( x = 0 \) et \( x = \pi \) est

      (a) 4 (b) 2 (c) 0 (d) Aucune de ces réponses

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       (b) L'aire requise est donnée par
      \[
      \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = 2 [(-\cos \pi / 2) - (-\cos 0)] = 2(1) = 2 \text{ unités carrées.}
      \]

      - Astuce : Pour la courbe \( y = \sin x \) ou \( \cos x \), l'aire de \( \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx = 1 \), \( \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = 2 \), \( \int_{0}^{3\pi/2} \sin x \, dx = 3 \), \( \int_{0}^{2\pi} \sin x \, dx = 4 \), et ainsi de suite.

      \[ \text{[Exemple :]} \]

      L'aire délimitée par la parabole \( y^2 = 8x \) et la droite \( y = 2x \) est

      (a) \( \frac{4}{3} \) (b) \( \frac{3}{4} \) (c) \( \frac{1}{4} \) (d) \( \frac{1}{2} \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]

      1. **Étape 1** : Trouver les points d'intersection entre la parabole et la droite.

         - Substituer \( y = 2x \) dans l'équation de la parabole :
         \[
         (2x)^2 = 8x
         \]
         \[
         4x^2 = 8x
         \]
         \[
         4x^2 - 8x = 0
         \]
         \[
         4x(x - 2) = 0
         \]
         Les solutions sont :
         \[
         x = 0 \quad \text{et} \quad x = 2
         \]

         - Les points d'intersection sont donc \( (0, 0) \) et \( (2, 4) \).

      2. **Étape 2** : Exprimer les fonctions en termes de \( y \).

         - La parabole \( y^2 = 8x \) peut être exprimée comme :
         \[
         x = \frac{y^2}{8}
         \]

         - La droite \( y = 2x \) peut être exprimée comme :
         \[
         x = \frac{y}{2}
         \]

      3. **Étape 3** : Calculer l'aire en intégrant la différence entre les deux fonctions sur l'intervalle \( y = 0 \) à \( y = 4 \).

         - L'aire \( A \) est donnée par :
         \[
         A = \int_{0}^{4} \left( \frac{y}{2} - \frac{y^2}{8} \right) dy
         \]

      4. **Étape 4** : Calculer l'intégrale.

         \[
         A = \int_{0}^{4} \left( \frac{y}{2} - \frac{y^2}{8} \right) dy
         \]
         \[
         A = \left[ \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{24} \right]_{0}^{4}
         \]
         \[
         A = \left( \frac{16}{4} - \frac{64}{24} \right) - \left( 0 - 0 \right)
         \]
         \[
         A = 4 - \frac{8}{3}
         \]
         \[
         A = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
         \]


      L'aire délimitée par la parabole \( y^2 = 8x \) et la droite \( y = 2x \) est :
      \[
      \boxed{A = \frac{4}{3}}
      \]

  • Aire entre deux courbes :

    • \[ \text{[Exemple :]} \]

      Si l'aire délimitée par \( y = ax^2 \) et \( x = ay^2 \), \( a > 0 \), est 1, alors \( a \) est

      (a) 1

      (b) \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)

      (c) \( \frac{1}{3} \)

      (d) \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]       (b) La coordonnée \( x \) de \( A \) est \( \frac{1}{a} \).

      Selon la condition donnée,
      \[
      1 = \int_{0}^{a} \left( \frac{x}{a} - ax^2 \right) dx = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{a}} \right]_0^1 - \frac{a}{3} \left[ x^{3/4} \right]_0^a
      \]
      \[
      \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{3}}
      \]

      -  Volumes et Surfaces des Solides de Révolution :

      Si une courbe plane est tournée autour d'un axe dans le plan de la courbe, alors le corps ainsi généré est connu sous le nom de solide de révolution. La surface générée par le périmètre de la courbe est connue sous le nom de surface de révolution, et le volume généré par l'aire est appelé volume de révolution.

      Par exemple, un triangle rectangle tourné autour d'un de ses côtés (formant l'angle droit) génère un cône circulaire droit.

      - (i) Volumes des solides de révolution : 

      (i) Le volume du solide généré par la révolution, autour de l'axe des \( x \), de l'aire délimitée par la courbe \( y = f(x) \), les ordonnées en \( x = a \), \( x = b \) et l'axe des \( x \) est égal à
      \[
      \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx.
      \]

      (ii) La révolution de l'aire située entre la courbe \( x = f(y) \), l'axe des \( y \) et les droites \( y = a \) et \( y = b \) est donnée par (en échangeant \( x \) et \( y \) dans la formule ci-dessus)
      \[
      \int_{a}^{b} x \, dx.
      \]

      (iii) Si l'équation de la courbe génératrice est donnée par \( x = f_1(t) \) et \( y = f_2(t) \) et elle est tournée autour de l'axe des \( x \), alors la formule correspondant à \( \int_{a}^{b} x \, dx \) devient
      \[
      \int_{f_1}^{f_2} \pi \left\{ f_2(t) \right\}^2 d \left\{ f_1(t) \right\},
      \]
      où \( f_1 \) et \( f_2 \) sont les valeurs de \( t \) correspondant à \( x = a \) et \( x = b \).

      (iv) Si la courbe est donnée par une équation en coordonnées polaires, disons \( r = f(\theta) \), et la courbe tourne autour de la ligne initiale, le volume généré est
      \[
      \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx = \pi \int_{\alpha}^{\beta} y^2 \left( \frac{dx}{d\theta} \right) d\theta,
      \]
      où \( \alpha \) et \( \beta \) sont les valeurs de \( \theta \) correspondant à \( x = a \) et \( x = b \).

  • Aire entre deux courbes :

    • - Aire sous les courbes : 

      Maintenant, \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \). Par conséquent, le volume est donné par
      \[
      \pi \int_{\alpha}^{\beta} r^3 \sin^2 \theta \frac{d}{d\theta} (r \cos \theta) d\theta
      \]

      (v) Si la courbe génératrice tourne autour d'une ligne AB (différente des axes), alors le volume de révolution est: 

      \[
      \text{Vol.} : \quad \square \quad \text{Le volume du solide généré en faisant tourner l'aire délimitée par la courbe} \quad r = f(\theta) \quad \text{et les rayons vecteurs} \quad \theta = \alpha \quad \text{et} \quad \theta = \beta \quad \text{autour de la ligne initiale est} \quad \frac{2}{3} \pi \int_{\alpha}^{\beta} r^3 \sin \theta d\theta.
      \]

      \[
      \square \quad \text{Le volume dans le cas où l'aire ci-dessus est tournée autour de la ligne} \quad \theta = \frac{\pi}{2} \quad \text{est} \quad \frac{2}{3} \pi \int_{\alpha}^{\beta} r^3 \cos \theta d\theta.
      \]

      - (2) Aire des surfaces de révolution : 

      (i) La surface courbe du solide généré par la révolution, autour de l'axe des \( x \), de l'aire délimitée par la courbe \( y = f(x) \), les ordonnées en \( x = a \), \( x = b \) et l'axe des \( x \) est égale à
      \[
      2\pi \int_{x=a}^{x=b} y \, ds.
      \]

      (ii) Si l'arc de la courbe \( y = f(x) \) tourne autour de l'axe des \( y \), alors l'aire de la surface de révolution (entre les limites appropriées) est
      \[
      2\pi \int x \, ds, \quad \text{où} \quad ds = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx.
      \]

      (iii) Si l'équation de la courbe est donnée sous forme paramétrique \( x = f_1(t) \) et \( y = f_2(t) \), et que la courbe tourne autour de l'axe des \( x \), alors l'aire de la surface de révolution est
      \[
      2\pi \int_{t=l_1}^{t=l_2} y \, ds = 2\pi \int_{t=l_1}^{t=l_2} f_2(t) \, ds
      \]
      \[
      = 2\pi \int_{l_1}^{l_2} f_2(t) \left[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \right] dt, \quad \text{où} \quad l_1 \quad \text{et} \quad l_2 \quad \text{sont les valeurs du paramètre} \quad t \quad \text{correspondant à} \quad x = a \quad \text{et} \quad x = b.
      \]

      (iv) Si l'équation de la courbe est donnée sous forme polaire, alors l'aire de la surface de révolution autour de l'axe des \( x \) est
      \[
      2\pi \int y \, ds = 2\pi \int (r \sin \theta) \frac{dS}{d\theta} d\theta = 2\pi \int r \sin \theta \left[ \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \right] d\theta
      \]
      entre les limites appropriées.

  • Aire entre deux courbes :

    • - Exemple:
      La partie du cercle \( x^2 + y^2 = 9 \) entre \( y = 0 \) et \( y = 2 \) est tournée autour de l'axe des \( y \). Le volume du solide généré sera

      (a) \( \frac{46}{3} \pi \) (b) \( 12\pi \) (c) \( 16\pi \) (d) \( 28\pi \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]        (a) La partie du cercle \( x^2 + y^2 = 9 \) entre \( y = 0 \) et \( y = 2 \) est tournée autour de l'axe des \( y \). Un tronc de sphère sera alors formé.

      Le volume de ce tronc est donné par
      \[
      \int_0^2 x^2 \, dy = \pi \int_0^2 (9 - y^2) \, dy
      \]
      \[
      = \pi \left[ 9y - \frac{1}{3} y^3 \right]_0^2 = \pi \left[ 9 \times 2 - \frac{1}{3} (2)^3 - (9 \times 0 - \frac{1}{3} \times 0) \right] = \frac{46}{3} \pi \quad \text{unités cubiques.}
      \]

      - Exemple : 

      La partie de la droite \( y = x + 1 \) entre \( x = 2 \) et \( x = 3 \) est tournée autour de l'axe des \( x \). La surface courbe du solide ainsi généré est:

      (a) \( \frac{37\pi}{3} \) (b) \( \frac{7\pi}{\sqrt{2}} \) (c) \( 37\pi \) (d) \( 7\pi\sqrt{2} \)

      \[
      \boxed{ Solution  : }
      \]        (d) La surface courbe est donnée par
      \[
      \int_a^b 2\pi y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx.
      \]
      On donne \( a = 2 \), \( b = 3 \) et \( y = x + 1 \). En dérivant par rapport à \( x \), on obtient
      \[
      \frac{dy}{dx} = 1.
      \]
      Par conséquent, la surface courbe est
      \[
      \int_2^3 2\pi (x + 1) \sqrt{1 + 1} \, dx = \int_2^3 2\pi (x + 1) \sqrt{2} \, dx = 2\sqrt{2}\pi \left[ \frac{(x + 1)^2}{2} \right]_2^3
      \]
      \[
      = \sqrt{2}\pi \left[ (3 + 1)^2 - (2 + 1)^2 \right] = \sqrt{2}\pi (16 - 9) = 7\sqrt{2}\pi = 7\pi\sqrt{2}.
      \]

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