Produit scalaire, colinéarité et orthogonalité de vecteurs}
Définition :
Angle avec deux vecteurs :
Soit \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs.
On note \( (\vec{u}, \vec{v}) \) l’angle géométrique \( \vec{BAC} \) où \( \vec{u} = \vec{AB} \) et
\( \vec{v} = \vec{AC} \).
Définition :
Avec le cosinus :
On appelle produit scalaire de ces deux vecteurs non nuls, le réel défini par :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]
Si \( \vec{u} = \vec{AB} \) et \( \vec{v} = \vec{AC} \), le produit scalaire s'écrit :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} \times \cos(\vec{BAC}) \]
De plus si
\( \vec{u} = \vec{0} \) ou si \( \vec{v} = \vec{0} \) alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).
Exemple :
Soit deux vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) tels que \( ||\vec{AB}|| = AB = 2 \) et
\( ||\vec{AC}|| = AC = 3 \) et \( \vec{BAC} = 30^\circ \).
Leur produit scalaire vaut :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} \times \cos(\vec{BAC}) = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}. \]
A \(\rightarrow\) \( 30^\circ \) B
Propriété:
Symétrie :
Pour tous vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), on a :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \]
En notant \( \vec{u} = \vec{AB} \) et \( \vec{v} = \vec{AC} \):
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} \times \cos(\vec{BAC})
= \vec{AC} \times \vec{AB} \times \cos(\vec{CAB}) = \vec{AC} \cdot \vec{AB} \]
Propriété :
Cas de la colinéarité :
Lorsque les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires alors :
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \) s'ils sont de même sens.
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \) s'ils sont de sens contraires.
Démonstration :
- Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont de même sens alors \( \vec{BAC} = (\vec{u},
\vec{v}) = 0 \) et donc \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \) et donc
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \).
- Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont de sens contraires alors \( \vec{BAC} = (\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ \) et donc \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1 \) et donc \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \).
Exemple :
Soit trois points \( A, B \) et \( C \) alignés dans cet ordre sur une droite graduée alors on a :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 15, \vec{BAC} = -BA \times BC = -6, \]
\[ \vec{CB} \cdot \vec{CA} = \vec{CB} \times \vec{CA} = 10 \) et \( \vec{AB} \cdot \vec{CB} =
-\vec{AB} \times \vec{CB} = -6 \).
Propriété :
Avec la projection orthogonale :
Soit \( A, B \) et \( C \) trois points et \( H \) le projeté orthogonal de \( C \) sur la droite
(\( AB \)) alors :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times AH \) si les vecteurs \( \vec{AB} \) et
\( \vec{AH} \) sont de même sens.
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -\vec{AB} \times AH \) si les vecteurs \( \vec{AB} \) et
\( \vec{AH} \) sont de sens contraires.
Par définition \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB \times AC \times \cos(\overline{BAC}) \).
- Dans le cas où \( \overline{AB} \) et \( \overline{AH} \) sont de même sens, l’angle
\( \overline{BAC} \) est inférieur à 90° et donc \( \cos(\overline{BAC}) = \cos(\overline{HAC}) \).
\[
\begin{array}{c}
\text{C} \\
\hline
\text{A} \quad \text{H} \quad \text{B} \\
\end{array}
\]
Or dans le triangle \( ACH \), on a \( \cos(\overline{HAC}) = \frac{\overline{AH}}{\overline{AC}} \)
donc \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB \times AC \times \frac{\overline{AH}}{\overline{AC}} = AB \times AH \).
- Dans le cas où \( \overline{AB} \) et \( \overline{AH} \) sont de sens contraires,
l’angle \( \overline{BAC} \) est supérieur à 90° d’où \( \overline{BAC} = (180^\circ - \overline{HAC}) \) et donc
\( \cos(\overline{BAC}) = \cos(180^\circ - \overline{HAC}) = -\cos(\overline{HAC}) \).
\[
\begin{array}{c}
\text{C} \\
\hline
\text{A} \quad \text{B} \\
\end{array}
\]
Dans le triangle \( ACH \), on a toujours \( \cos(\overline{HAC}) = \frac{\overline{AH}}{\overline{AC}} \) donc \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = -AB \times AH \).
Remarques :
1. Sur le cercle trigonométrique les angles bleu et rouge sont tels que leur somme
vaut 180° et ils ont des cosinus qui sont opposés.
2. Dans le cas général, pour calculer \( \overline{AB} \cdot \overline{C} \) on peut projeter les points C et D sur la droite (AB) et alors
\( \overline{AB} \cdot \overline{CD} = \overline{AB} \cdot \overline{HK} \).
On peut aussi projeter A et B sur la droite (CD).
3. On dit que le projeté du vecteur \( \overline{CD} \) sur la droite (AB) est le vecteur
\( HK \).
Exemple :
Dans le carré ABCD de centre O et de côté 4, on a :
- \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB \times AB = 16 \) car le projeté orthogonal du point C
sur la droite (AB) est le point B et les vecteurs \( \overline{AB} \) et \( \overline{AB} \) sont de même sens.
- \( \overline{AO} \cdot \overline{CD} = \overline{CD} \cdot \overline{AO} = -\frac{1}{2} \cdot \overline{CD} \times \overline{CD} = -8 \) car les projetés orthogonaux des points O et A sur la droite (CD) sont le milieu H du segment [CD] et le point D, par suite, les vecteurs \( \overline{DH} \) et
\( \overline{CD} \) sont de sens contraires.
Définition Orthogonalité :
Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire
est nul : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)
Propriété Droites perpendiculaires :
Deux droites \( \vec{d} \) et \( \vec{d'} \) sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux.
Si deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) non nuls sont orthogonaux alors l’angle
\( (\vec{u}, \vec{v}) \) qu’ils forment vaut 90° et donc \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \).
Réciproquement, si le produit scalaire est nul \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) alors \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \) et donc l’angle vaut 90°.
Exemple :
Dans un carré ABCD, on a : \( \overline{AC} \cdot \overline{BD} = 0 \) car les diagonales d’un carré sont perpendiculaires.
2 Autres définitions et propriétés}
Propriété Produit scalaire avec les normes}
Soit \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs, on a :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 - \| \vec{u} - \vec{v} \|^2). \]
L’activité 1 montre que :
\[ AB^2 + AC^2 - BC^2 = 2 \times AC \times AB \times \cos(\theta_{AC}). \]
Pour les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) tels que \( \vec{u} = AB \) et \( \vec{v} = AC \) alors
\( \vec{u} - \vec{v} = AB - AC = CA + AB = CB \).
Donc cette égalité devient :
\[ \| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 - \| \vec{u} - \vec{v} \|^2 = 2 \times \vec{u} \cdot \vec{v} \]
qui donne bien la propriété.
Propriété Produit scalaire avec les coordonnées}
Dans un repère orthonormé, si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) alors
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'. \]
Si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) alors
\[ \vec{u} - \vec{v} \begin{pmatrix} x - x' \\ y - y' \end{pmatrix} \]
et la relation :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 - \| \vec{u} - \vec{v} \|^2) \]
devient
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + x'^2 + y'^2 - (x - x')^2 - (y - y')^2) = xx' + yy'. \]
Propriété Condition d’orthogonalité}
Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) sont orthogonaux si et seulement si
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
ce qui se traduit par
\[ xx' + yy' = 0. \]
Exemple}
On considère les vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \end{pmatrix} \). Leur produit scalaire vaut :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-3) + 3 \times (-5) = -21 \neq 0 \]
donc les deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) ne sont pas orthogonaux.
Propriétés Bilinéarité, carré scalaire, norme d’une somme}
Soit \( \vec{u}, \vec{v} \) et \( \vec{w} \), trois vecteurs, et \( k \) un réel.
* *\( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)
* *\( \vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) \)
* *\( \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \)
* *\( \| \vec{u} + \vec{v} \|^2 = \| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} \)
Remarque :
Ces propriétés sont vraies que l’on se place dans un repère avec des coordonnées ou pas.
La propriété 2 se démontre ainsi :
\[ \vec{u} \cdot (k\vec{v}) = x(kx') + y(ky') = kxx' + kyy' = k(xx' + yy') = k(\vec{u} \cdot \vec{v}). \]
Dans un triangle ABC quelconque :
Dans un triangle \( ABC \) quelconque, on a, par exemple :
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC) \]
Développement :
\[ BC^2 = (BA + AC)^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \times BA \cdot AC = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \cdot AC = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC) \]
Remarque:
Si le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \), on retrouve le théorème de Pythagore.
Exemple:
Soit un triangle \( ABC \) tel que \( AB = 8 \), \( AC = 4 \) et \( \angle BAC = 50^\circ \). On calcule la longueur \( BC \) :
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC) = 64 + 16 - 2 \times 8 \times 4 \times \cos 50^\circ \]
Ce qui donne :
\[ BC^2 = 80 - 64 \times \cos 50^\circ \approx 38,86 \]
et donc :
\[ BC \approx 6,23 \]
3 Étude d’un ensemble de points}
Propriété : Transformation d’une expression}
Étant donné deux points \( A \) et \( B \) et leur milieu \( I \), on a :
\[ MA^2 - MB^2 = 2 \times \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB} \]
Démonstration}
\[ MA^2 - MB^2 = (MI + IA)^2 - (MI + IB)^2 = (MI + IA)^2 - (MI - IA)^2 = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{1}{4}AB^2 \]
car \( IA = \frac{AB}{2} \).
Exemple:
Déterminer l’ensemble des points \( M \) tels que \( MA^2 - MB^2 = 2 \) où \( A \) et
\( B \) sont tels que \( AB = 8 \).
\[ MA^2 - MB^2 = 2 \] équivaut à
\[ MI^2 - \frac{1}{4}AB^2 = 2 \] d’où
\[ MI^2 = 2 + 16 = 18 \]
donc l’ensemble des points \( M \) est le cercle de centre le milieu de \( [AB] \) et de rayon \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).
Propriété : Cercle:
Étant donné deux points \( A \) et \( B \), l’ensemble des points \( M \) du plan tels que
\( MA^2 - MB^2 = 0 \) est le cercle de diamètre le segment \( [AB] \).
Démonstration:
\[ MA^2 - MB^2 = 0 \Leftrightarrow MI = IA \]
c’est-à-dire que les points \( M \) sont sur le cercle de centre \( I \) et de rayon
\( IA = \frac{1}{2}AB \).
Propriété : Cercle et triangle rectangle}
Un triangle \( ABC \) est rectangle en \( C \) si et seulement si le point \( C \)
appartient au cercle de diamètre \( [AB] \), avec \( C \) différent de \( A \) et \( B \).
Démonstration}
\( ABC \) est rectangle en \( C \) équivaut à \( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 \) donc d’après la propriété précédente, \( C \) appartient
au cercle de diamètre \( [AB] \).