Course: Produit scalaire, colinéarité et orthogonalité de vecteurs

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Produit scalaire, colinéarité et orthogonalité de vecteurs}

Définition :
Angle avec deux vecteurs :
Soit \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs.

On note \( (\vec{u}, \vec{v}) \) l’angle géométrique \( \vec{BAC} \) où \( \vec{u} = \vec{AB} \) et \( \vec{v} = \vec{AC} \).

Définition :
Avec le cosinus :
On appelle produit scalaire de ces deux vecteurs non nuls, le réel défini par :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]
Si \( \vec{u} = \vec{AB} \) et \( \vec{v} = \vec{AC} \), le produit scalaire s'écrit :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} \times \cos(\vec{BAC}) \]

De plus si \( \vec{u} = \vec{0} \) ou si \( \vec{v} = \vec{0} \) alors \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).

Exemple :
Soit deux vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) tels que \( ||\vec{AB}|| = AB = 2 \) et \( ||\vec{AC}|| = AC = 3 \) et \( \vec{BAC} = 30^\circ \).

Leur produit scalaire vaut :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} \times \cos(\vec{BAC}) = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}. \]
A \(\rightarrow\) \( 30^\circ \) B

Propriété:
Symétrie :
Pour tous vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), on a :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \]

En notant \( \vec{u} = \vec{AB} \) et \( \vec{v} = \vec{AC} \):
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} \times \cos(\vec{BAC}) = \vec{AC} \times \vec{AB} \times \cos(\vec{CAB}) = \vec{AC} \cdot \vec{AB} \]

Propriété :
Cas de la colinéarité :
Lorsque les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires alors :
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \) s'ils sont de même sens.
- \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \) s'ils sont de sens contraires.

Démonstration :
- Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont de même sens alors \( \vec{BAC} = (\vec{u}, \vec{v}) = 0 \) et donc \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \) et donc \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \).
- Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont de sens contraires alors \( \vec{BAC} = (\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ \) et donc \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1 \) et donc \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \).

Exemple :
Soit trois points \( A, B \) et \( C \) alignés dans cet ordre sur une droite graduée alors on a :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times \vec{AC} = 15, \vec{BAC} = -BA \times BC = -6, \]
\[ \vec{CB} \cdot \vec{CA} = \vec{CB} \times \vec{CA} = 10 \) et \( \vec{AB} \cdot \vec{CB} = -\vec{AB} \times \vec{CB} = -6 \).

Propriété :
Avec la projection orthogonale :
Soit \( A, B \) et \( C \) trois points et \( H \) le projeté orthogonal de \( C \) sur la droite (\( AB \)) alors :
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \times AH \) si les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AH} \) sont de même sens.
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -\vec{AB} \times AH \) si les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AH} \) sont de sens contraires.

Par définition \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB \times AC \times \cos(\overline{BAC}) \).

- Dans le cas où \( \overline{AB} \) et \( \overline{AH} \) sont de même sens, l’angle \( \overline{BAC} \) est inférieur à 90° et donc \( \cos(\overline{BAC}) = \cos(\overline{HAC}) \).

\[
\begin{array}{c}
\text{C} \\
\hline
\text{A} \quad \text{H} \quad \text{B} \\
\end{array}
\]

Or dans le triangle \( ACH \), on a \( \cos(\overline{HAC}) = \frac{\overline{AH}}{\overline{AC}} \)

donc \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB \times AC \times \frac{\overline{AH}}{\overline{AC}} = AB \times AH \).

- Dans le cas où \( \overline{AB} \) et \( \overline{AH} \) sont de sens contraires, l’angle \( \overline{BAC} \) est supérieur à 90° d’où \( \overline{BAC} = (180^\circ - \overline{HAC}) \) et donc \( \cos(\overline{BAC}) = \cos(180^\circ - \overline{HAC}) = -\cos(\overline{HAC}) \).

\[
\begin{array}{c}
\text{C} \\
\hline
\text{A} \quad \text{B} \\
\end{array}
\]

Dans le triangle \( ACH \), on a toujours \( \cos(\overline{HAC}) = \frac{\overline{AH}}{\overline{AC}} \) donc \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = -AB \times AH \).

Remarques :

1. Sur le cercle trigonométrique les angles bleu et rouge sont tels que leur somme vaut 180° et ils ont des cosinus qui sont opposés.
2. Dans le cas général, pour calculer \( \overline{AB} \cdot \overline{C} \) on peut projeter les points C et D sur la droite (AB) et alors \( \overline{AB} \cdot \overline{CD} = \overline{AB} \cdot \overline{HK} \). On peut aussi projeter A et B sur la droite (CD).
3. On dit que le projeté du vecteur \( \overline{CD} \) sur la droite (AB) est le vecteur \( HK \).

Exemple :

Dans le carré ABCD de centre O et de côté 4, on a :

- \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} = AB \times AB = 16 \) car le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB) est le point B et les vecteurs \( \overline{AB} \) et \( \overline{AB} \) sont de même sens.

- \( \overline{AO} \cdot \overline{CD} = \overline{CD} \cdot \overline{AO} = -\frac{1}{2} \cdot \overline{CD} \times \overline{CD} = -8 \) car les projetés orthogonaux des points O et A sur la droite (CD) sont le milieu H du segment [CD] et le point D, par suite, les vecteurs \( \overline{DH} \) et \( \overline{CD} \) sont de sens contraires.

Définition Orthogonalité :

Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)

Propriété Droites perpendiculaires :

Deux droites \( \vec{d} \) et \( \vec{d'} \) sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux.

Si deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) non nuls sont orthogonaux alors l’angle \( (\vec{u}, \vec{v}) \) qu’ils forment vaut 90° et donc \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \).

Réciproquement, si le produit scalaire est nul \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) alors \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \) et donc l’angle vaut 90°.

Exemple :

Dans un carré ABCD, on a : \( \overline{AC} \cdot \overline{BD} = 0 \) car les diagonales d’un carré sont perpendiculaires.

2 Autres définitions et propriétés}

Propriété Produit scalaire avec les normes}

Soit \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs, on a :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 - \| \vec{u} - \vec{v} \|^2). \]

L’activité 1 montre que :
\[ AB^2 + AC^2 - BC^2 = 2 \times AC \times AB \times \cos(\theta_{AC}). \]
Pour les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) tels que \( \vec{u} = AB \) et \( \vec{v} = AC \) alors \( \vec{u} - \vec{v} = AB - AC = CA + AB = CB \).
Donc cette égalité devient :
\[ \| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 - \| \vec{u} - \vec{v} \|^2 = 2 \times \vec{u} \cdot \vec{v} \]
qui donne bien la propriété.

Propriété Produit scalaire avec les coordonnées}

Dans un repère orthonormé, si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) alors
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'. \]

Si \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) alors
\[ \vec{u} - \vec{v} \begin{pmatrix} x - x' \\ y - y' \end{pmatrix} \]
et la relation :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 - \| \vec{u} - \vec{v} \|^2) \]
devient
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + x'^2 + y'^2 - (x - x')^2 - (y - y')^2) = xx' + yy'. \]

Propriété Condition d’orthogonalité}

Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \) sont orthogonaux si et seulement si
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
ce qui se traduit par
\[ xx' + yy' = 0. \]

Exemple}

On considère les vecteurs \( \vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \end{pmatrix} \). Leur produit scalaire vaut :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-3) + 3 \times (-5) = -21 \neq 0 \]
donc les deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) ne sont pas orthogonaux.

Propriétés Bilinéarité, carré scalaire, norme d’une somme}

Soit \( \vec{u}, \vec{v} \) et \( \vec{w} \), trois vecteurs, et \( k \) un réel.

* *\( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)
* *\( \vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) \)
* *\( \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \)
* *\( \| \vec{u} + \vec{v} \|^2 = \| \vec{u} \|^2 + \| \vec{v} \|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} \)

Remarque :

Ces propriétés sont vraies que l’on se place dans un repère avec des coordonnées ou pas.

La propriété 2 se démontre ainsi :
\[ \vec{u} \cdot (k\vec{v}) = x(kx') + y(ky') = kxx' + kyy' = k(xx' + yy') = k(\vec{u} \cdot \vec{v}). \]

Dans un triangle ABC quelconque :

Dans un triangle \( ABC \) quelconque, on a, par exemple :
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC) \]

Développement :
\[ BC^2 = (BA + AC)^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \times BA \cdot AC = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \cdot AC = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC) \]

Remarque:
Si le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \), on retrouve le théorème de Pythagore.

Exemple:
Soit un triangle \( ABC \) tel que \( AB = 8 \), \( AC = 4 \) et \( \angle BAC = 50^\circ \). On calcule la longueur \( BC \) :
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle BAC) = 64 + 16 - 2 \times 8 \times 4 \times \cos 50^\circ \]
Ce qui donne :
\[ BC^2 = 80 - 64 \times \cos 50^\circ \approx 38,86 \]
et donc :
\[ BC \approx 6,23 \]

3 Étude d’un ensemble de points}

Propriété : Transformation d’une expression}
Étant donné deux points \( A \) et \( B \) et leur milieu \( I \), on a :
\[ MA^2 - MB^2 = 2 \times \overrightarrow{MI} \cdot \overrightarrow{AB} \]

Démonstration}
\[ MA^2 - MB^2 = (MI + IA)^2 - (MI + IB)^2 = (MI + IA)^2 - (MI - IA)^2 = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{1}{4}AB^2 \]
car \( IA = \frac{AB}{2} \).

Exemple:
Déterminer l’ensemble des points \( M \) tels que \( MA^2 - MB^2 = 2 \) où \( A \) et \( B \) sont tels que \( AB = 8 \).

\[ MA^2 - MB^2 = 2 \] équivaut à
\[ MI^2 - \frac{1}{4}AB^2 = 2 \] d’où
\[ MI^2 = 2 + 16 = 18 \]
donc l’ensemble des points \( M \) est le cercle de centre le milieu de \( [AB] \) et de rayon \( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).

Propriété : Cercle:
Étant donné deux points \( A \) et \( B \), l’ensemble des points \( M \) du plan tels que \( MA^2 - MB^2 = 0 \) est le cercle de diamètre le segment \( [AB] \).

Démonstration:
\[ MA^2 - MB^2 = 0 \Leftrightarrow MI = IA \]
c’est-à-dire que les points \( M \) sont sur le cercle de centre \( I \) et de rayon \( IA = \frac{1}{2}AB \).

Propriété : Cercle et triangle rectangle}
Un triangle \( ABC \) est rectangle en \( C \) si et seulement si le point \( C \) appartient au cercle de diamètre \( [AB] \), avec \( C \) différent de \( A \) et \( B \).

Démonstration}
\( ABC \) est rectangle en \( C \) équivaut à \( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0 \) donc d’après la propriété précédente, \( C \) appartient au cercle de diamètre \( [AB] \).

Serie1

Select activity Produits scalaires dans un rectangle On considère ...

Produits scalaires dans un rectangle

On considère un rectangle \( ABCD \) de centre \( O \) tel que \( AB = 6 \) et \( AD = 4 \).
Calculer les produits scalaires suivants :

* * \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} \)
* * \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} \)
* * \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} \)
* * \( \overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{BC} \)
* * \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} \)
* * \( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} \)

Solution :

* * Les vecteurs \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{BC} \) sont égaux donc :
\[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} = 16 \]

* * Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont opposés donc :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = -36 \]

* * On peut projeter les points \( A \) et \( O \) sur la droite \( (AB) \) ce qui donne les points \( A \) et \( O' \). Donc :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO'} = \overrightarrow{AB} \cdot \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) = 18 \]

* * De même, on peut projeter les points \( D \) et \( O \) sur la droite \( (BC) \) ce qui donne les points \( C \) et \( O'' \). Donc :
\[ \overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CO''} \cdot \overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = -8 \]

* * On projette le point \( C \) sur la droite \( (AB) \) ce qui donne le point \( B \). Donc :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BB} = 0 \]

* * Le projeté du point \( C \) sur la droite \( (AB) \) est le point \( B \), donc :
\[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB}^2 = -36 \]

Exercices sur les produits scalaires :

1. Carré ABCD de centre O et de côté 6

Calculer les produits scalaires suivants :

* *\( \overline{AB} \cdot \overline{BC} \)
* *\( \overline{DC} \cdot \overline{AB} \)
* *\( \overline{BC} \cdot \overline{BD} \)
* *\( \overline{AB} \cdot \overline{DO} \)

2. Triangle équilatéral ABC de côté 6

Calculer les produits scalaires suivants :

* *\( \overline{AB} \cdot \overline{AC} \)
* *\( \overline{AB} \cdot \overline{CA} \)
* *\( \overline{AC} \cdot \overline{BA} \)

3. Trapèze rectangle ABCD

ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que \( AB = 5 \), \( AD = 4 \) et \( CD = 8 \). Calculer les produits scalaires suivants :

* *\( \overline{AB} \cdot \overline{BC} \)
* *\( \overline{DC} \cdot \overline{BC} \)
* *\( \overline{BC} \cdot \overline{DA} \)

Serie2

Select activity Calculer un produit scalaire avec un angle

Calculer un produit scalaire avec un angle

Le triangle \( ABC \) est équilatéral de côté 8. Le point \( D \) est le milieu du segment \( [AB] \). On admet que la hauteur \( CD \) mesure \( 4\sqrt{3} \).

Calculer les produits scalaires suivants :

* * \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} \)
* * \( \overline{CA} \cdot \overline{CD} \)
* * \( \overline{DA} \cdot \overline{DB} \)

Solution :

* * D’après le cours, on a :
\[
\overline{AB} \cdot \overline{AC} = \overline{AB} \times \overline{AC} \times \cos(\angle BAC) = 8 \times 8 \times \cos 60^\circ = 8 \times 8 \times \frac{1}{2} = 32
\]

* * Les vecteurs \( \overline{CA} \) et \( \overline{CD} \) forment un angle de \( 30^\circ \), donc :
\[
\overline{CA} \cdot \overline{CD} = \overline{CA} \times \overline{CD} \times \cos 30^\circ = 8 \times 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 48
\]

* * Les vecteurs \( \overline{DA} \) et \( \overline{DB} \) forment un angle de \( 180^\circ \), donc :
\[
\overline{DA} \cdot \overline{DB} = \overline{DA} \times \overline{DB} \times \cos 180^\circ = \overline{DA} \times \overline{DB} \times (-1) = -16
\]

Calculer un angle:

On considère les points \( A(2 ; 3) \), \( B(-1 ; -2) \) et \( C(-3 ; 4) \).

Déterminer la valeur approchée à \( 0,01 \) près, en radian, de l’angle \( \angle BAC \).

Solution:

On calcule les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) :
\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

On calcule les normes de ces vecteurs :
\[
\| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{34}
\]
\[
\| \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}
\]

On calcule le produit scalaire :
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \times (-5) + (-5) \times 1 = 15 - 5 = 10
\]

La formule du produit scalaire est :
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \| \overrightarrow{AB} \| \times \| \overrightarrow{AC} \| \times \cos(\angle BAC)
\]

On en déduit :
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\| \overrightarrow{AB} \| \times \| \overrightarrow{AC} \|} = \frac{10}{\sqrt{26} \times \sqrt{34}}
\]

Simplifions l'expression :
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{10}{\sqrt{2 \times 13 \times 2 \times 17}} = \frac{10}{2 \sqrt{13 \times 17}} = \frac{5}{\sqrt{221}}
\]

Finalement, on trouve :
\[
\angle BAC \approx 1,23 \text{ rad} \]

Serie3

Select activity S3

\[ \boxed{Exercice 1 } \]
Reproduis les figures ci-dessous sur une feuille quadrillée.

Parmi les vecteurs suivants
\[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BP}, \overrightarrow{NP}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{PC}, \overrightarrow{NM}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{CP}, \]
indique
a) ceux qui ont même direction ;
b) ceux qui ont même sens ;
c) ceux qui ont même longueur ;
d) ceux qui sont égaux.

\[ \boxed{Exercice 2 } \]
On donne trois points non alignés A, B et C. Construis
a) le point D tel que \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \) ;
b) le point E tel que \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BE} \) ;
c) le point K tel que \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CK} \).

\[ \boxed{Exercice 3 } \]
On donne trois points non alignés A, B, C. Construis
a) le point D tel que \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) ;
b) le point E tel que \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EA} \).

\[ \boxed{Exercice 4 } \]
On donne le parallélogramme ABCD de centre O et les milieux respectifs I, J, K et L des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Écris des vecteurs égaux à chacun des vecteurs suivants
\[ \overrightarrow{DL}, \overrightarrow{AI} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{IJ}. \]

\[ \boxed{Exercice 5 } \]
On donne trois points non alignés A, B, C. Construis les points D et E vérifiant
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC}. \]
Démontre que C est le milieu de [DE].

\[ \boxed{Exercice 6 } \]
ABC est un triangle. M, N et P sont les milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].
Démontre que \( \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{MN} \).

\[ \boxed{Exercice 7 } \]
ABC est un triangle ; D est le milieu du segment [BC].
Construis le point M, image de A par la symétrie de centre D et le point N image de M par la symétrie de centre C.
Démontre que \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BC} \).

\[ \boxed{Exercice 8 } \]

Construis dans chaque cas le point M tel que
\[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AR} + \overrightarrow{OT} + \overrightarrow{BS}. \]

\[ \boxed{Exercice 9} \]
Dans chacun des cas suivants, reproduis la figure sur une feuille quadrillée et construis un vecteur égal à la somme indiquée.

\[ \overrightarrow{....} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]

\[ \overrightarrow{....} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]

\[ \overrightarrow{....} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \]

\[ \boxed{Exercice 10} \]
On donne trois points non alignés A, B, C. Construis
a) le point D tel que
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \]
b) le point E tel que
\[ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \]
c) le point K tel que
\[ \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}. \]

\[ \boxed{Exercice 11} \]
On donne un carré ABCD de centre O.
Construis

a) le point E tel que
\[\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC};\]

b) le point G tel que
\[\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}.\]

\[ \boxed{Exercice 12} \]
On donne un triangle ABC.
Construis le point D tel que
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}.\]

\[ \boxed{Exercice 13} \]
Recopie et complète les égalités suivantes en utilisant l’égalité de Chasles

a) \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MK} = \ldots\);

b) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\ldots} = \overrightarrow{AM}\);

c) \(\overrightarrow{K\ldots} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{KC}\);

d) \(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{K\ldots}\);

e) \(\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{K+K\ldots}\);

f) \(\overrightarrow{B\ldots} = \overrightarrow{K+\ldots A}\).

\[ \boxed{Exercice 14} \]
ABCD est un parallélogramme. Trouve une expression plus simple pour chacun des vecteurs suivants

a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\);

b) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\);

c) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\);

d) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}\).

\[ \boxed{Exercice 15} \]
MNRS est un parallélogramme. Recopie puis complète les égalités suivantes

a) \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{S\ldots}\);

b) \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{RN}\);

c) \(\overrightarrow{S\ldots} + \overrightarrow{S\ldots} = \overrightarrow{SN}\);

d) \(\overrightarrow{NS} = \overrightarrow{NM}\).

\[ \boxed{Exercice 16 } \]
ABCD est un parallélogramme. Les vecteurs suivants sont-ils égaux ?

a) \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{AB}\);

b) \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CB}\);

c) \(\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AB}\);

d) \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\);

e) \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DC}\);

f) \(\overrightarrow{AA}\) et \(\overrightarrow{CC}\);

g) \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\);

h) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) et 0;

i) \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{AB}\);

j) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{CA}\).

\[ \boxed{Exercice 17} \]
On donne un triangle ABC et le milieu O du côté [BC].
Construis le point D tel que
\[\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}.\]
Démontre que
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.\]

\[ \boxed{Exercice 18 } \]
On donne quatre points A, B, C et D.
Démontre que
\[\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}.\]

\[ \boxed{Exercice 19} \]
On donne un triangle ABC.
Construis les points M, N et P tels que
\[\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB};\]
\[\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB}\]
et
\[\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AB}.\]

a) Démontre que
\[\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{MN}.\]

b) Démontre que
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{BC}.\]

\[ \boxed{Exercice 20} \]
On donne un rectangle ABCD.
Construis le point E tel que
\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}.\]
Démontre que A est le milieu de [BE].

\[ \boxed{Exercice 21} \]
ABC est un triangle. Construis le point M tel que
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}.\]
Démontre que ACBM est un parallélogramme.

\[ \boxed{Exercice 22} \]
On donne quatre points A, B, C, D.
Quel est le point E tel que
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AC}?\]

\[ \boxed{Exercice 23} \]
On donne un triangle ABC et un point K du segment [BC] distinct de B et C.
Construis les points M et N vérifiant
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AB}\]
et
\[\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AC}.\]

a) Démontre que
\[\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BM}.\]

b) Démontre que
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}.\]

\[ \boxed{Exercice 24 } \]
On donne un triangle ABC et un point D du segment [AC] distinct de A et C. Construis les points M et N vérifiant
\[ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB}. \]

a) Démontre que \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC}. \)
b) Démontre que C est le milieu de [MN].

\[ \boxed{Exercice 25} \]
On donne un segment [AM]. Construis un triangle équilatéral ABC tel que
\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AM} \]
Énonce le programme de la construction.

\[ \boxed{Exercice 26 } \]
On donne un triangle ABC et les points M et N, images respectives de A et B par la symétrie de centre C.
a) Construis le point D, image de A par la translation de vecteur BC.
b) Démontre que
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DN} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{MN}. \]
c) Démontre que
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN} \]
\[ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{ND}. \]

\[ \boxed{Exercice 27 } \]
On donne un parallélogramme ABCD et le milieu M de [BC]. Construis le point E image de C par la translation de vecteur DC.
Démontre que \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{MC}. \)
Démontre que M est le milieu de [AE].

\[ \boxed{Exercice 28} \]
On donne un triangle ABC, le point M milieu du côté [AC] et le point D image de A par la symétrie de centre B.
a) Construis le point E image de M par la translation de vecteur AB.
b) Démontre que les quadrilatères ABEM, BDEM et BECM sont des parallélogrammes.
c) Démontre que E est le milieu de [DC].

\[ \boxed{Exercice 29} \]
ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle (\%) de centre O.
a) Démontre que OABC est un losange.
b) Démontre que
\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} \]
\[ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OE}. \]

\[ \boxed{Exercice 30} \]
On donne un triangle ABC, le point K milieu de [AC] et la hauteur [AH].
a) Construis les points M et N images respectives de B et C par \( \overrightarrow{t_{AH}} \). Démontre que le quadrilatère BCNM est un rectangle.
b) Construis la droite (L) image de la droite (AH) par \( \overrightarrow{t_{HK}} \). Démontre que la droite (L) est la médiatrice de [HC].

\[ \boxed{Exercice 31} \]
On donne un triangle équilatéral OMN.
a) Construis les points P, Q, R et S tels que
\[ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{MO} \quad ; \quad \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{NO} \quad ; \quad \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{NO} \quad ; \quad \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{NO}. \]
b) Démontre que MNQPSR est un hexagone régulier.

\[ \boxed{Exercice 32 } \]
On donne un triangle ABC.
a) Construis les points D et E tels que
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}. \]
Construis les points F et H images respectives de A et B par la symétrie de centre C.
b) Démontre que les quadrilatères CEFH et BDHE sont des parallélogrammes.
c) Démontre que \( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF}. \)

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Produit scalaire, colinéarité et orthogonalité de vecteurs

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