Produits scalaires dans un rectangle
On considère un rectangle \( ABCD \) de centre \( O \) tel que \( AB = 6 \) et \( AD = 4 \).
Calculer les produits scalaires suivants :
* * \( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} \)
* * \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} \)
* * \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} \)
* * \( \overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{BC} \)
* * \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} \)
* * \( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} \)
Solution :
* * Les vecteurs \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{BC} \) sont égaux donc :
\[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} = 16 \]
* * Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont opposés donc :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = -36 \]
* * On peut projeter les points \( A \) et \( O \) sur la droite \( (AB) \) ce qui donne les points \( A \) et \( O' \). Donc :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AO'} = \overrightarrow{AB} \cdot \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) = 18 \]
* * De même, on peut projeter les points \( D \) et \( O \) sur la droite \( (BC) \) ce qui donne les points \( C \) et \( O'' \). Donc :
\[ \overrightarrow{DO} \cdot \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CO''} \cdot \overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC} = -8 \]
* * On projette le point \( C \) sur la droite \( (AB) \) ce qui donne le point \( B \). Donc :
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BB} = 0 \]
* * Le projeté du point \( C \) sur la droite \( (AB) \) est le point \( B \), donc :
\[ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB}^2 = -36 \]
Exercices sur les produits scalaires :
1. Carré ABCD de centre O et de côté 6
Calculer les produits scalaires suivants :
* *\( \overline{AB} \cdot \overline{BC} \)
* *\( \overline{DC} \cdot \overline{AB} \)
* *\( \overline{BC} \cdot \overline{BD} \)
* *\( \overline{AB} \cdot \overline{DO} \)
2. Triangle équilatéral ABC de côté 6
Calculer les produits scalaires suivants :
* *\( \overline{AB} \cdot \overline{AC} \)
* *\( \overline{AB} \cdot \overline{CA} \)
* *\( \overline{AC} \cdot \overline{BA} \)
3. Trapèze rectangle ABCD
ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que \( AB = 5 \), \( AD = 4 \) et \( CD = 8 \). Calculer les produits scalaires suivants :
* *\( \overline{AB} \cdot \overline{BC} \)
* *\( \overline{DC} \cdot \overline{BC} \)
* *\( \overline{BC} \cdot \overline{DA} \)