Calculer un produit scalaire avec un angle
Le triangle \( ABC \) est équilatéral de côté 8. Le point \( D \) est le milieu du segment \( [AB] \). On admet que la hauteur \( CD \) mesure \( 4\sqrt{3} \).
Calculer les produits scalaires suivants :
* * \( \overline{AB} \cdot \overline{AC} \)
* * \( \overline{CA} \cdot \overline{CD} \)
* * \( \overline{DA} \cdot \overline{DB} \)
Solution :
* * D’après le cours, on a :
\[
\overline{AB} \cdot \overline{AC} = \overline{AB} \times \overline{AC} \times \cos(\angle BAC) = 8 \times 8 \times \cos 60^\circ = 8 \times 8 \times \frac{1}{2} = 32
\]
* * Les vecteurs \( \overline{CA} \) et \( \overline{CD} \) forment un angle de \( 30^\circ \), donc :
\[
\overline{CA} \cdot \overline{CD} = \overline{CA} \times \overline{CD} \times \cos 30^\circ = 8 \times 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 48
\]
* * Les vecteurs \( \overline{DA} \) et \( \overline{DB} \) forment un angle de \( 180^\circ \), donc :
\[
\overline{DA} \cdot \overline{DB} = \overline{DA} \times \overline{DB} \times \cos 180^\circ = \overline{DA} \times \overline{DB} \times (-1) = -16
\]
Calculer un angle:
On considère les points \( A(2 ; 3) \), \( B(-1 ; -2) \) et \( C(-3 ; 4) \).
Déterminer la valeur approchée à \( 0,01 \) près, en radian, de l’angle \( \angle BAC \).
Solution:
On calcule les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) :
\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
On calcule les normes de ces vecteurs :
\[
\| \overrightarrow{AB} \| = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{34}
\]
\[
\| \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}
\]
On calcule le produit scalaire :
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \times (-5) + (-5) \times 1 = 15 - 5 = 10
\]
La formule du produit scalaire est :
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \| \overrightarrow{AB} \| \times \| \overrightarrow{AC} \| \times \cos(\angle BAC)
\]
On en déduit :
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\| \overrightarrow{AB} \| \times \| \overrightarrow{AC} \|} = \frac{10}{\sqrt{26} \times \sqrt{34}}
\]
Simplifions l'expression :
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{10}{\sqrt{2 \times 13 \times 2 \times 17}} = \frac{10}{2 \sqrt{13 \times 17}} = \frac{5}{\sqrt{221}}
\]
Finalement, on trouve :
\[
\angle BAC \approx 1,23 \text{ rad} \]