Serie3

\[ \boxed{Exercice 1 } \]
Reproduis les figures ci-dessous sur une feuille quadrillée.

Parmi les vecteurs suivants
\[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BP}, \overrightarrow{NP}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AM}, \overrightarrow{PC}, \overrightarrow{NM}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{CP}, \]
indique
a) ceux qui ont même direction ;
b) ceux qui ont même sens ;
c) ceux qui ont même longueur ;
d) ceux qui sont égaux.

\[ \boxed{Exercice 2 } \]
On donne trois points non alignés A, B et C. Construis
a) le point D tel que \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \) ;
b) le point E tel que \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BE} \) ;
c) le point K tel que \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CK} \).

\[ \boxed{Exercice 3 } \]
On donne trois points non alignés A, B, C. Construis
a) le point D tel que \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) ;
b) le point E tel que \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EA} \).

\[ \boxed{Exercice 4 } \]
On donne le parallélogramme ABCD de centre O et les milieux respectifs I, J, K et L des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. Écris des vecteurs égaux à chacun des vecteurs suivants
\[ \overrightarrow{DL}, \overrightarrow{AI} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{IJ}. \]

\[ \boxed{Exercice 5 } \]
On donne trois points non alignés A, B, C. Construis les points D et E vérifiant
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC}. \]
Démontre que C est le milieu de [DE].

\[ \boxed{Exercice 6 } \]
ABC est un triangle. M, N et P sont les milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].
Démontre que \( \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{MN} \).

\[ \boxed{Exercice 7 } \]
ABC est un triangle ; D est le milieu du segment [BC].
Construis le point M, image de A par la symétrie de centre D et le point N image de M par la symétrie de centre C.
Démontre que \( \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BC} \).

\[ \boxed{Exercice 8 } \]

Construis dans chaque cas le point M tel que
\[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AR} + \overrightarrow{OT} + \overrightarrow{BS}. \]

\[ \boxed{Exercice 9} \]
Dans chacun des cas suivants, reproduis la figure sur une feuille quadrillée et construis un vecteur égal à la somme indiquée.

\[ \overrightarrow{....} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]

\[ \overrightarrow{....} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]

\[ \overrightarrow{....} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \]

\[ \boxed{Exercice 10} \]
On donne trois points non alignés A, B, C. Construis
a) le point D tel que
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \]
b) le point E tel que
\[ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \]
c) le point K tel que
\[ \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}. \]

\[ \boxed{Exercice 11} \]
On donne un carré ABCD de centre O.  
Construis  

a) le point E tel que  
\[\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC};\]  

b) le point G tel que  
\[\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC}.\]  

\[ \boxed{Exercice 12} \]
On donne un triangle ABC.  
Construis le point D tel que  
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}.\]  

\[ \boxed{Exercice 13} \]
Recopie et complète les égalités suivantes en utilisant l’égalité de Chasles  

a) \(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MK} = \ldots\);  

b) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B\ldots} = \overrightarrow{AM}\);  

c) \(\overrightarrow{K\ldots} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{KC}\);  

d) \(\overrightarrow{M} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{K\ldots}\);  

e) \(\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{K+K\ldots}\);  

f) \(\overrightarrow{B\ldots} = \overrightarrow{K+\ldots A}\).  

\[ \boxed{Exercice 14} \]
ABCD est un parallélogramme. Trouve une expression plus simple pour chacun des vecteurs suivants  

a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}\);  

b) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\);  

c) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\);  

d) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA}\).  

\[ \boxed{Exercice 15} \]
MNRS est un parallélogramme. Recopie puis complète les égalités suivantes  

a) \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{S\ldots}\);  

b) \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{RN}\);  

c) \(\overrightarrow{S\ldots} + \overrightarrow{S\ldots} = \overrightarrow{SN}\);  

d) \(\overrightarrow{NS} = \overrightarrow{NM}\).  

\[ \boxed{Exercice 16 } \]
ABCD est un parallélogramme. Les vecteurs suivants sont-ils égaux ?  

a) \(\overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{AB}\);  

b) \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CB}\);  

c) \(\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AB}\);  

d) \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\);  

e) \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{DC}\);  

f) \(\overrightarrow{AA}\) et \(\overrightarrow{CC}\);  

g) \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\);  

h) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) et 0;  

i) \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}\) et \(\overrightarrow{AB}\);  

j) \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DA}\) et \(\overrightarrow{CA}\).  

\[ \boxed{Exercice 17} \]
On donne un triangle ABC et le milieu O du côté [BC].  
Construis le point D tel que  
\[\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}.\]  
Démontre que  
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}.\]  

\[ \boxed{Exercice 18 } \]
On donne quatre points A, B, C et D.  
Démontre que  
\[\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}.\]  

\[ \boxed{Exercice 19} \]
On donne un triangle ABC.  
Construis les points M, N et P tels que  
\[\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB};\]  
\[\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB}\]  
et  
\[\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AB}.\]  

a) Démontre que  
\[\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{MN}.\]  

b) Démontre que  
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{BC}.\]  

\[ \boxed{Exercice 20} \]
On donne un rectangle ABCD.  
Construis le point E tel que  
\[\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}.\]  
Démontre que A est le milieu de [BE].  

\[ \boxed{Exercice 21} \]
ABC est un triangle. Construis le point M tel que  
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}.\]  
Démontre que ACBM est un parallélogramme.  

\[ \boxed{Exercice 22} \]
On donne quatre points A, B, C, D.  
Quel est le point E tel que  
\[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{AC}?\]  

\[ \boxed{Exercice 23} \]
On donne un triangle ABC et un point K du segment [BC] distinct de B et C.  
Construis les points M et N vérifiant  
\[\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AB}\]  
et  
\[\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AC}.\]  

a) Démontre que  
\[\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BM}.\]  

b) Démontre que  
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}.\]

\[ \boxed{Exercice 24 } \]
On donne un triangle ABC et un point D du segment [AC] distinct de A et C. Construis les points M et N vérifiant
\[ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AB}. \]

a) Démontre que \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC}. \)
b) Démontre que C est le milieu de [MN].

\[ \boxed{Exercice 25} \]
On donne un segment [AM]. Construis un triangle équilatéral ABC tel que
\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AM} \]
Énonce le programme de la construction.

\[ \boxed{Exercice 26 } \]
On donne un triangle ABC et les points M et N, images respectives de A et B par la symétrie de centre C.
a) Construis le point D, image de A par la translation de vecteur BC.
b) Démontre que
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DN} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{MN}. \]
c) Démontre que
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN} \]
\[ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{ND}. \]

\[ \boxed{Exercice 27 } \]
On donne un parallélogramme ABCD et le milieu M de [BC]. Construis le point E image de C par la translation de vecteur DC.
Démontre que \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{MC}. \)
Démontre que M est le milieu de [AE].

\[ \boxed{Exercice 28} \]
On donne un triangle ABC, le point M milieu du côté [AC] et le point D image de A par la symétrie de centre B.
a) Construis le point E image de M par la translation de vecteur AB.
b) Démontre que les quadrilatères ABEM, BDEM et BECM sont des parallélogrammes.
c) Démontre que E est le milieu de [DC].

\[ \boxed{Exercice 29} \]
ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle (\%) de centre O.
a) Démontre que OABC est un losange.
b) Démontre que
\[ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} \]
\[ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OE}. \]

\[ \boxed{Exercice 30} \]
On donne un triangle ABC, le point K milieu de [AC] et la hauteur [AH].
a) Construis les points M et N images respectives de B et C par \( \overrightarrow{t_{AH}} \). Démontre que le quadrilatère BCNM est un rectangle.
b) Construis la droite (L) image de la droite (AH) par \( \overrightarrow{t_{HK}} \). Démontre que la droite (L) est la médiatrice de [HC].

\[ \boxed{Exercice 31} \]
On donne un triangle équilatéral OMN.
a) Construis les points P, Q, R et S tels que
\[ \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{MO} \quad ; \quad \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{NO} \quad ; \quad \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{NO} \quad ; \quad \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{NO}. \]
b) Démontre que MNQPSR est un hexagone régulier.

\[ \boxed{Exercice 32 } \]
On donne un triangle ABC.
a) Construis les points D et E tels que
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}. \]
Construis les points F et H images respectives de A et B par la symétrie de centre C.
b) Démontre que les quadrilatères CEFH et BDHE sont des parallélogrammes.
c) Démontre que \( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EF}. \)