On pose :
\[
J = \int_{-2}^{-1} \ln(2x+6) \,dx \quad \text{et} \quad I = \int_{-2}^{-1} \frac{x}{x+3} \,dx.
\]

 1-a)] Vérifier que :
    \[
    \frac{x}{x+3} = 1 - \frac{3}{x+3}
    \]
    pour tout réel \( x\) tel que \( x \neq -3\).
    
 1-b)] Montrer que :
    \[
    I = 1 - 3\ln 2.
    \]

 2)] En utilisant une intégration par parties, montrer que :
    \[
    J = -I.
    \]

Solution:

1-a) Vérification de l'égalité 

On considère l'expression :
\[
\frac{x}{x+3}.
\]

On peut réécrire :
\[
\frac{x}{x+3} = \frac{(x+3) - 3}{x+3} = \frac{x+3}{x+3} - \frac{3}{x+3} = 1 - \frac{3}{x+3}.
\]

Cette égalité est bien vérifiée pour tout \( x \neq -3 \).

1-b) Calcul de \( I \) 

Utilisons l'égalité précédente pour transformer l'intégrale :

\[
I = \int_{-2}^{-1} \left(1 - \frac{3}{x+3} \right) dx.
\]

On peut scinder cette intégrale :

\[
I = \int_{-2}^{-1} 1 \,dx - 3 \int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x+3}.
\]

Calculons chaque terme séparément :
\[
\int_{-2}^{-1} 1 \,dx = [-2, -1] = (-1) - (-2) = 1.
\]

Pour la seconde intégrale, nous utilisons le résultat classique :
\[
\int \frac{dx}{x+a} = \ln |x+a|.
\]

Donc :
\[
\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x+3} = \ln |x+3| \Big|_{-2}^{-1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2.
\]

Ainsi :
\[
I = 1 - 3\ln 2.
\]

2) Calcul de \(J\) et démonstration que \( J = -I\)}

Nous devons démontrer que :

\[
J = \int_{-2}^{-1} \ln(2x+6) \,dx = -I.
\]

Posons le changement de variable :

\[
u = 2x+6 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}.
\]

Lorsque \(x = -2\), alors \(u = 2(-2) + 6 = 2\).  
Lorsque \(x = -1\), alors \(u = 2(-1) + 6 = 4\).

L'intégrale devient :

\[
J = \int_{2}^{4} \ln u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} \ln u \,du.
\]

On utilise l'intégration par parties avec :

\[
v = \ln u \Rightarrow dv = \frac{du}{u},
\]
\[
w' = du \Rightarrow w = u.
\]

Ainsi :

\[
\int \ln u \,du = u\ln u - u.
\]

En évaluant entre \(2\) et \(4\) :

\[
\int_{2}^{4} \ln u \,du = \left[ u \ln u - u \right]_{2}^{4} = (4 \ln 4 - 4) - (2 \ln 2 - 2).
\]

\[
= 4 \ln 4 - 4 - 2 \ln 2 + 2 = 4 \ln 2 - 4 - 2 \ln 2 + 2.
\]

\[
= 2 \ln 2 - 2.
\]

Donc :

\[
J = \frac{1}{2} (2 \ln 2 - 2) = \ln 2 - 1.
\]

Comparons avec \( I\) :

\[
I = 1 - 3 \ln 2.
\]

On remarque que :

\[
J = -I.
\]

Ce qui conclut la démonstration.