📘 Étude de fonction et suite numérique
Fonction \(f(x) = 2\ln(e^x - 2\sqrt{e^x} + 2)\)
📌 Énoncé
On considère la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par :
\( f(x) = 2 \ln \left( e^x - 2\sqrt{e^x} + 2 \right) \)
On note \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
📌 1) Ensemble de définition
Vérifier que :
\( e^x - 2\sqrt{e^x} + 2 = \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)^2 + 1 \)
pour tout
\(x \in \mathbb{R}\). En déduire l'ensemble de définition de
\(f\).
📌 2) Limites
Calculer :
\( \lim_{x \to +\infty} f(x) \)
puis montrer que :
\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0. \)
📌 3) Dérivée et variations
3-a) Montrer que :
\( f'(x) = \frac{2\sqrt{e^x} \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)}{\left( \sqrt{e^x} - 1 \right)^2 + 1} \)
et vérifier que
\(f'(0) = 0\).
3-b) Étudier le signe de \(\sqrt{e^x} - 1\) et en déduire le sens de variation de \(f\).
3-c) Dresser le tableau de variations de \(f\).
| \(x\) |
\(-\infty\) |
|
\(0\) |
|
\(+\infty\) |
| \(f'(x)\) |
|
\(-\) |
\(0\) |
\(+\) |
|
| \(f(x)\) |
\(0\) |
\(\searrow\) |
\(f(0)\) |
\(\nearrow\) |
\(+\infty\) |
📌 4) Asymptote
4-a) Vérifier que :
\( \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = 2x + 2 \ln \left( 1 - \frac{2}{\sqrt{e^x} + 2} \right). \)
4-b) Montrer que la droite \((D)\) d'équation \(y = 2x\) est une asymptote à \((C)\) au voisinage de \(+\infty\).
📌 5) Signe et inégalité
5-a) Vérifier que :
\( e^x - 3\sqrt{e^x} + 2 = \left( \sqrt{e^x} - 2 \right) \left( \sqrt{e^x} - 1 \right). \)
5-b) Étudier le signe de \(\left( \sqrt{e^x} - 2 \right) \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)\) sur \(\mathbb{R}\).
5-c) En déduire que :
\( f(x) \leq 2x + 2 \quad \text{pour tout } x \in [0,4]. \)
📌 6) Tracé de la courbe
Tracer la courbe \((C)\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
📌 II) Étude de la suite \((u_n)\)
Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par :
\( u_0 = 1, \quad u_{n+1} = f(u_n), \quad \forall n \in \mathbb{N}. \)
1) Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \in [1, +\infty[\).
2) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
3) Montrer que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
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