On considère la fonction numérique \( f\) de la variable réelle \( x\) définie par :
\[
f(x) = 2 \ln \left( e^x - 2\sqrt{e^x} + 2 \right)
\]
On note \( (C)\) la courbe représentative de la fonction \( f\) dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j})\).
1)Vérifier que :
\[
e^x - 2\sqrt{e^x} + 2 = \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)^2 + 1
\]
pour tout\( x \in \mathbb{R}\). En déduire l'ensemble de définition de \( f\).
2)Calculer :
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x)
\]
puis montrer que :
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0.
\]
3-a)Montrer que :
\[
f'(x) = \frac{2\sqrt{e^x} \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)}{\left( \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)^2 + 1 \right)}
\]
et vérifier que \( f'(0) = 0\).
3-b)Étudier le signe de \( \sqrt{e^x} - 1\) et en déduire le sens de variation de \( f\).
4-a)Vérifier que :
\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = 2x + 2 \ln \left( 1 - \frac{2}{\sqrt{e^x} + 2} \right).
\]
4-b)Montrer que la droite \( (D)\) d’équation \( y = 2x\) est une asymptote à \( (C)\) au voisinage de \( +\infty\).
5-a)Vérifier que :
\[
e^x - 3\sqrt{e^x} + 2 = \left( \sqrt{e^x} - 2 \right) \left( \sqrt{e^x} - 1 \right).
\]
5-b)Étudier le signe de \( \left( \sqrt{e^x} - 2 \right) \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)\) sur \( \mathbb{R}\).
5-c)En déduire que :
\[
f(x) \leq 2x + 2 \quad \text{pour tout } x \in [0,4].
\]
6)Tracer la courbe \( (C)\).
II)Soit \( (u_n)\) la suite numérique définie par :
\[
u_0 = 1, \quad u_{n+1} = f(u_n), \quad \forall n \in \mathbb{N}.
\]
1) Ensemble de définition de \( f\)
On factorise l'expression donnée :
\[
e^x - 2\sqrt{e^x} + 2 = (\sqrt{e^x} - 1)^2 + 1.
\]
Comme \( (\sqrt{e^x} - 1)^2\) est toujours positif, alors :
\[
(\sqrt{e^x} - 1)^2 + 1 > 1 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}.
\]
L'expression est strictement positive pour tout \( x \in \mathbb{R}\), donc \( f(x)\) est bien définie sur \( \mathbb{R}\).
2) Limites de \( f(x)\)
Limite en \( +\infty\) :} On analyse l'expression de \( f(x)\) :
\[
f(x) = 2 \ln \left( \left( \sqrt{e^x} - 1 \right)^2 + 1 \right).
\]
Pour \( x \to +\infty\), on a \( \sqrt{e^x} \to +\infty\), donc :
\[
(\sqrt{e^x} - 1)^2 + 1 \approx \left(\sqrt{e^x}\right)^2 = e^x.
\]
Ainsi,
\[
f(x) \approx 2 \ln e^x = 2x.
\]
D'où :
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.
\]
Limite en \( -\infty\) :} Pour \( x \to -\infty\), on a \( e^x \to 0\) et donc \( \sqrt{e^x} \to 0\). Ainsi :
\[
(\sqrt{e^x} - 1)^2 + 1 \to 1.
\]
D'où :
\[
f(x) = 2 \ln 1 = 0.
\]
Donc,
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0.
\]
3) Dérivée de \( f(x)\)
On pose :
\[
g(x) = e^x - 2\sqrt{e^x} + 2.
\]
La dérivée de \( g(x)\) est :
\[
g'(x) = e^x - \frac{e^x}{\sqrt{e^x}} = e^x - \sqrt{e^x}.
\]
On obtient alors :
\[
f'(x) = \frac{2 g'(x)}{g(x)} = \frac{2\sqrt{e^x} (\sqrt{e^x} - 1)}{(\sqrt{e^x} - 1)^2 + 1}.
\]
Calcul de \( f'(0)\) : Pour \( x = 0\), on a \( e^0 = 1\) et donc :
\[
\sqrt{e^0} - 1 = 0.
\]
Donc :
\[
f'(0) = \frac{2 \times 0}{1} = 0.
\]
4) Étude du signe de \( f'(x)\)
Tableau de variation de \( f \)
On a la dérivée de \( f \) donnée par :
\[
f'(x) = \frac{2g'(x)}{g(x)} = \frac{2\sqrt{e^x}(\sqrt{e^x} - 1)}{(\sqrt{e^x} - 1)^2 + 1}.
\]
Analyse du signe de \( f'(x) \)
- Le dénominateur \( (\sqrt{e^x} - 1)^2 + 1 \) est toujours strictement positif pour tout \( x \in \mathbb{R} \), car c'est une somme de carrés.
- Le numérateur \( 2\sqrt{e^x}(\sqrt{e^x} - 1) \) dépend du signe de \( \sqrt{e^x} - 1 \).
Étude de \( \sqrt{e^x} - 1 \)
\[
\sqrt{e^x} - 1 \geq 0 \iff \sqrt{e^x} \geq 1 \iff e^x \geq 1 \iff x \geq 0.
\]
Ainsi :
- Pour \( x < 0 \), \( \sqrt{e^x} - 1 < 0 \), donc \( f'(x) < 0 \).
- Pour \( x = 0 \), \( \sqrt{e^x} - 1 = 0 \), donc \( f'(x) = 0 \).
- Pour \( x > 0 \), \( \sqrt{e^x} - 1 > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \).
Tableau de variation :
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & 0 & +\infty \\
\hline
f'(x) & - & 0 & + \\
\hline
f(x) & \searrow & \text{minimum} & \nearrow \\
\end{array}
\]
La fonction \( f \) est :
- Décroissante sur \( ]-\infty; 0[ \).
- Croissante sur \( ]0; +\infty[ \).
- Admet un minimum en \( x = 0 \).
5) Asymptote en \( +\infty\)
On utilise l'approximation obtenue plus haut :
\[
f(x) \approx 2x.
\]
Donc la droite d’équation \(y = 2x\) est une asymptote oblique à la courbe \( (C)\).
6) Tracé de \( (C)\)
On trace \( (C)\) en utilisant les variations et les limites obtenues.
7) Étude de la suite \( (u_n)\)
La suite \( (u_n)\) est définie par :
\[
u_0 = 1, \quad u_{n+1} = f(u_n).
\]
On utilise les résultats précédents pour montrer sa convergence :
- \( (u_n)\) est croissante car \( f\) est croissante sur \( [0,+\infty[\).
- Elle est majorée par la fonction asymptote.
On en déduit que la suite est convergente.