On considère la fonction définie dans \( \mathbb{R}\) par :
\[
g(x) = 1 - e^{2x} - 2x e^{2x}
\]
    * Démontrer que \( \lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = 1\).
    * Étudier le sens de variations de \( g\). Calculer \( g(0)\).
    * Déduire des variations de \( g\) le signe de \( g(x)\) suivant les valeurs de \( x\).
    * On considère la fonction \( f\) définie par :
    \[
    f(x) = x + 3 - x e^{2x}
    \]
    et \( (\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \( (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), unité \( 2\) cm.

        * Étudier les variations de \( f\).
        * Démontrer que \( f\) admet pour asymptote en \( -\infty\) la droite  (D) : y = x + 3.
        * Étudier les positions relatives de \( (D)\) et de \( (C )\) .

    * Tracer la courbe  \( (C)\) et la droite \( (D)\).

 Solution : 

1. Calcul de la limite 

On analyse la limite de \( g(x)\) lorsque \( x \to -\infty\) :
\[
\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} (1 - e^{2x} - 2x e^{2x}).
\]
Puisque \( e^{2x} \to 0\) lorsque \( x \to -\infty\), on a aussi \( 2x e^{2x} \to 0\), donc :
\[
\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = 1.
\]

2. Étude des variations de \( g\) 

Calcul de la dérivée :
\[
g'(x) = -2 e^{2x} - 4x e^{2x} - 2 e^{2x} = -6 e^{2x} - 4x e^{2x}.
\]
On factorise :
\[
g'(x) = e^{2x}(-6 - 4x).
\]

 signe de \( g'(x) \)}

    * \( e^{2x} \) est toujours strictement positif pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
    * Le signe de \( g'(x) \) dépend donc du signe de \( -6 - 4x \).

Étude de \( -6 - 4x \) 

\[
-6 - 4x \geq 0 \iff -4x \geq 6 \iff x \leq -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}.
\]

Ainsi :

    * Pour \( x < -\frac{3}{2} \), \( -6 - 4x > 0 \), donc \( g'(x) > 0 \).
    * Pour \( x = -\frac{3}{2} \), \( -6 - 4x = 0 \), donc \( g'(x) = 0 \).
    * Pour \( x > -\frac{3}{2} \), \( -6 - 4x < 0 \), donc \( g'(x) < 0 \).

 Tableau de variation :

\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & -\frac{3}{2} & +\infty \\
\hline
g'(x) & + & 0 & - \\
\hline
g(x) & \nearrow & \text{maximum} & \searrow \\
\end{array}
\]

Valeur de \( g(0)\) :
\[
g(0) = 1 - e^0 - 2(0)e^0 = 1 - 1 = 0.
\]

3. Signe de \( g(x)\)}

On utilise le tableau de variations pour déduire les valeurs où \( g(x)\) est positif ou négatif.

La fonction \( g \) est :

    * Croissante sur \( ]-\infty; -\frac{3}{2}[ \).
    * Décroissante sur \( ]-\frac{3}{2}; +\infty[ \).
    * Admet un maximum en \( x = -\frac{3}{2} \).

4. Étude de \( f(x)\)}

    * Calcul de la dérivée \( f'(x)\) :
    \[
    f'(x) = 1 - e^{2x} - 2x e^{2x} - x e^{2x} \cdot 2.
    \]
    Après simplification :
    \[
    f'(x) = 1 - (1 + 2x + 2x)e^{2x} = 1 - (1 + 4x)e^{2x}.
    \]
    On étudie le signe de \( f'(x)\).

On a la dérivée de \( f \) donnée par :
\[
f'(x) = 1 - (1 + 4x)e^{2x}.
\]

Analyse du signe de \( f'(x) \)}

Pour déterminer le signe de \( f'(x) \), nous devons étudier l'expression \( 1 - (1 + 4x)e^{2x} \).

Étude de \( 1 - (1 + 4x)e^{2x} \)}

    * Pour \( x = 0 \), \( f'(0) = 1 - (1 + 0)e^{0} = 1 - 1 = 0 \).
    * Pour \( x > 0 \), \( 1 + 4x > 1 \) et \( e^{2x} > 1 \), donc \( (1 + 4x)e^{2x} > 1 \), ce qui implique \( f'(x) < 0 \).
    * Pour \( x < 0 \), \( 1 + 4x < 1 \) et \( e^{2x} < 1 \), donc \( (1 + 4x)e^{2x} < 1 \), ce qui implique \( f'(x) > 0 \).

Tableau de variation :

\[
\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & 0 & +\infty \\
\hline
f'(x) & + & 0 & - \\
\hline
f(x) & \nearrow & \text{maximum} & \searrow \\
\end{array}
\]

La fonction \( f \) est :

    * Croissante sur \( ]-\infty; 0[ \).
    * Décroissante sur \( ]0; +\infty[ \).
    * Admet un maximum en \( x = 0 \).

    * Pour déterminer l’asymptote, on cherche :
    \[
    \lim\limits_{x \to -\infty} (f(x) - (x+3)).
    \]
    * Étude relative de \( (D)\) et \( (\mathcal{C})\).

On a :
\[
f(x) = x + 3 - x e^{2x}
\]
Ainsi :
\[
f(x) - (x + 3) = -x e^{2x}
\]

Calculons la limite lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \) :
\[
\lim_{x \to -\infty} -x e^{2x} = 0
\]

En effet, lorsque \( x \) tend vers \( -\infty \), \( e^{2x} \) tend vers \( 0 \) (car l'exponentielle d'un nombre négatif très grand tend vers 0), et \( -x \) tend vers \( +\infty \). Cependant, la décroissance exponentielle de \( e^{2x} \) domine la croissance linéaire de \( -x \), donc le produit \( -x e^{2x} \) tend vers \( 0 \).

5. Tracé des courbes 

On trace \( (\mathcal{C})\) et \( (D)\) dans un repère orthonormé.