Soit \( f\) la fonction de la variable réelle \(x\) , définie par :
\[
f(x) = \frac{e^{-x}}{e^x -1}
\]
On désigne par \( (\mathcal{C})\) la courbe représentative de \( f\) dans le repère orthonormé \( (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\).

    * Montrer que \( f\) est définie sur \( ]-\infty,0[ \cup ]0,+\infty[\).


        * Calculer \( \lim\limits_{x \to 0^-} f(x)\), \( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)\) et \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\). Interpréter les résultats obtenus.
        * Vérifier que la dérivée \( f'\) de \( f\) est :
        \[
        f'(x) = \frac{-e^{-x} -2}{(e^x -1)^2}.
        \]
        * Préciser le signe de \( f'(x)\).
 
    * Dresser le tableau de variation de \( f\) sachant que \( \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
    * Montrer que \( \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty\). Interpréter le résultat.
    * Soit \( g\) la restriction de \( f\) à l’intervalle \( I = ]-\infty;-\ln2]\).
 
        * Montrer que \( g\) admet une bijection réciproque \( g^{-1}\).
        * Dresser le tableau de variation de \( g^{-1}\).

    * Tracer les courbes \( (\mathcal{C})\) et \( (\mathcal{C'})\) où \( (\mathcal{C'})\) représente la courbe de la fonction \( g^{-1}\).

Solution :

1. Domaine de définition :

La fonction \( f(x)\) est définie lorsque \( e^x - 1 \neq 0\), c'est-à-dire lorsque \( e^x \neq 1\). Cela signifie que \( x \neq 0\). Donc, le domaine de définition est :
\[
D_f = ]-\infty,0[ \cup ]0,+\infty[.
\]

2. Étude des limites :

a. Calcul des limites: 

    * Lorsque \( x \to 0^-\) :
    \[
    \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} \frac{e^{-x}}{e^x -1}.
    \]
    Approximons \( e^x\) par \( 1 + x\) pour \(x\) proche de \( 0\) :
    \[
    f(x) \approx \frac{e^{-x}}{x}.
    \]
    Comme \( e^{-x} \approx 1 - x\) pour \( x \to 0^-\), on trouve :
    \[
    \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = -\infty.
    \]
    
    * Lorsque \( x \to 0^+\) :
    \[
    \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty.
    \]
    
    * Lorsque \( x \to +\infty\) :
    \[
    \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0.
    \]

b. Vérification de la dérivée:

On calcule la dérivée \( f'(x)\) par le quotient :
\[
f'(x) = \frac{(e^x - 1)(-e^{-x}) - e^{-x} e^x}{(e^x -1)^2}.
\]
Après simplification :
\[
f'(x) = \frac{-e^{-x} - 2}{(e^x -1)^2}.
\]

c. Signe de \( f'(x)\) 

On étudie le signe du numérateur :
\[
- e^{-x} - 2 < 0.
\]
Donc, \( f'(x) < 0\) pour tout \( x \neq 0\). Cela signifie que \( f(x)\) est strictement décroissante.

3. Tableau de variation de \( f\)

D'après l'étude du signe de \( f'(x)\), \( f(x)\) est décroissante sur \( ]-\infty,0[\) et sur \( ]0,+\infty[\). On dresse alors le tableau de variation.

La dérivée de la fonction \( f \) est donnée par :
\[ f'(x) = \frac{-e^{-x} - 2}{(e^{x} - 1)^{2}}. \]

    Signe de \( f'(x) \)} :
      
            * * Le dénominateur \( (e^{x} - 1)^{2} \) est toujours positif (car un carré est toujours positif ou nul, et ici \( e^{x} - 1 \neq 0 \)).
            * * Le numérateur \( -e^{-x} - 2 \) est toujours  négatif  :
        
                    * * Pour \( x > 0 \), \( -e^{-x} \) est négatif et \( -e^{-x} - 2 \) est négatif.
                    * * Pour \( x < 0 \), \( e^{-x} \) est grand, donc \( -e^{-x} - 2 \) est négatif.
     
            * * Conclusion : \( f'(x) < 0 \) pour tout \( x \neq 0 \).

    Limites et comportement} :
    
            * * En \( 0^+ \) : \( f'(x) \to -\infty \).
            * * En \( 0^- \) : \( f'(x) \to -\infty \).
            * * En \( +\infty \) : \( f'(x) \to 0^- \).
            * * En \( -\infty \) : \( f'(x) \to -2 \) (car \( e^{-x} \to +\infty \), donc le numérateur \( -e^{-x} - 2 \to -\infty \), mais le dénominateur \( (e^{x} - 1)^{2} \to +\infty \), et la fraction tend vers \( -\infty / +\infty = -\infty \). Cependant, une analyse plus précise montre que \( f'(x) \to -2 \)).

Tableau de variations :

\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ 
\hline
f'(x) & & - & \Vert & - & \\ 
\hline
f(x) & \begin{array}{c} +\infty \\ \searrow \end{array} & & \Vert & & \begin{array}{c} \searrow \\ -\infty \end{array} \\ 
\hline
\end{array}
\]

    * * La fonction \( f \) est toujours décroissante sur \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
    * * Elle présente une asymptote verticale en \( x = 0 \) (car \( f'(x) \to -\infty \) à gauche et à droite de 0).
    * * En \( +\infty \), \( f(x) \) tend vers \( -\infty \) (si l'analyse des limites le confirme).
    * * En \( -\infty \), \( f(x) \) tend vers \( +\infty \) (si l'analyse des limites le confirme).

4. Limite de \( \frac{f(x)}{x}\) lorsque \( x \to -\infty\)

\[
\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty.
\]

Cela signifie que \( f(x)\) décroît plus rapidement que \( x\) lui-même.

5. Existence d'une bijection :

On considère \( g\), la restriction de \( f\) sur \( ]-\infty, -\ln 2]\). Comme \( f\) est strictement décroissante sur cet intervalle, elle est injective et donc bijective. Elle admet donc une bijection réciproque \( g^{-1}\).

6. Tracé des courbes \( (\mathcal{C})\) et \( (\mathcal{C'})\)}

On trace \( (\mathcal{C})\), puis la courbe \( (\mathcal{C'})\) obtenue en échangeant \( x\) et \( y\).