Partie A

Soit \( g\) la fonction sur \( \mathbb{R}\) définie par :
\[
g(x) = 1 - x e^{1+x}
\]

    * Dresser le tableau de variation de \( g\).
    * Montrer que l'équation \( g(x) = 0\) admet une solution unique \( x_0 \in ]0, \frac{1}{2}[\).
    * Déduire suivant les valeurs de \( x\) le signe de \( g(x)\).

Partie B 

On considère la fonction \( f\) définie par :
\[
f(x) = \frac{x+1}{1+e^{x+1}}.
\]

Solution:

Partie A :

1. Étude des variations de \( g\) 

Calculons la dérivée \( g'(x)\) :

\[
g'(x) = -\left( e^{1+x} + x e^{1+x} \right).
\]

Factorisons :
\[
g'(x) = - e^{1+x} (1 + x).
\]

Le facteur \( e^{1+x}\) est toujours strictement positif, donc le signe de \( g'(x)\) est déterminé par \( (1 + x)\). 

- Si \( x > -1\), alors \( 1 + x > 0\) et donc \( g'(x) < 0\).
- Si \( x < -1\), alors \( 1 + x < 0\) et donc \( g'(x) > 0\).

Tableau de variations:
\[
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & +\infty \\ 
\hline
1+x & & - & 0 & + & \\ 
\hline
g'(x) & & + & 0 & - & \\ 
\hline
g(x) & \begin{array}{c} \\ \nearrow \\  -\infty \end{array} & & \text{Maximum} & & \begin{array}{c} \searrow \\  -\infty \end{array} \\ 
\hline
\end{array}
\]

    *  \( g \) est croissante  sur \( ]-\infty, -1[ \) (car \( g'(x) > 0 \)).
    *  \( g \) est décroissante  sur \( ]-1, +\infty[ \) (car \( g'(x) < 0 \)).
    * \( g \) admet un  maximum  en \( x = -1 \).
    * Les limites nécessitent l'expression de \( g(x) \) pour être déterminées précisément.

Conclusion :

- \( g(x)\) est croissante sur \( ]-\infty, -1]\).
- \( g(x)\) est décroissante sur \( [-1, +\infty[\).

On calcule \( g(-1)\) :
\[
g(-1) = 1 - (-1) e^{0} = 1 + 1 = 2.
\]

Ainsi, \( g(x)\) atteint un maximum en \( x = -1\) avec \( g(-1) = 2\).

2. Résolution de \( g(x) = 0\) 

L'équation \( g(x) = 0\) revient à :
\[
1 = x e^{1+x}.
\]

Définissons la fonction auxiliaire :
\[
h(x) = x e^{1+x}.
\]

Nous avons déjà établi que \( h(x)\) est strictement croissante sur \( ]0, +\infty[\), donc l'équation \( h(x) = 1\) admet au plus une solution unique dans cet intervalle.

Or, en testant les valeurs :
\[
h(0) = 0, \quad h\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} e^{3/2} > 1.
\]

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution unique \( x_0 \in ]0, \frac{1}{2}[\).

3. Signe de \( g(x)\) 

- Pour \( x < x_0\), on a \( g(x) > 0\).
- Pour \( x > x_0\), on a \( g(x) < 0\).

Partie B

Étude de la fonction \( f(x)\)}

On pose :
\[
f(x) = \frac{x+1}{1+e^{x+1}}.
\]

Calculons sa dérivée :
\[
f'(x) = \frac{(1+e^{x+1}) - (x+1) e^{x+1}}{(1+e^{x+1})^2}.
\]

Factorisons le numérateur :
\[
f'(x) = \frac{1 - x e^{x+1}}{(1+e^{x+1})^2}.
\]

Or, nous avons vu que l'équation \( 1 - x e^{x+1} = 0\) admet une solution unique \( x_0\). Donc :

- Pour \( x < x_0\), on a \( f'(x) > 0\) \( \Rightarrow\) \( f\) est croissante.
- Pour \( x > x_0\), on a \( f'(x) < 0\) \( \Rightarrow\) \( f\) est décroissante.

La fonction \( f(x)\) admet un maximum en \( x_0\).