Règles de calcul sur les fractions.

Calculs dans l'ensemble des rationnels 

Calcul : 
Simplifier les fractions suivantes (la lettre \( k \) désigne un entier naturel non nul).

    * a)] \(\dfrac{32}{40}\)
    * b)] \(8^2 \times \dfrac{1}{4}\)
    * c)] \(\dfrac{27^{-1} \times 4^2}{3^{-2} \times 2^4}\)
    * d)] \((-2)^{2k+1} \times 3^{2k-1} \div 4^k \times 3^{-k+1}\)

Sommes, produits, quotients, puissances. 
Écrire les nombres suivants sous forme d'une fraction irréductible.

    * a)] \(\dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{3}\)
    * b)] \(\dfrac{2}{3} - 0.2\)
    * c)] \(\dfrac{36}{25} \times \dfrac{15}{12} \times 5\)
    * d)] \(-\dfrac{2}{15} \div \left(\dfrac{6}{5}\right)\)

Calcul : 
Écrire les nombres suivants sous forme d'une fraction irréductible.

    * a)] \((2 \times 3 \times 5 \times 7) \div \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{7} \right)\)
    * b)] \(\left( \dfrac{136}{15} - \dfrac{28}{5} + \dfrac{62}{10} \right) \times \dfrac{21}{24}\)
    * c)] \(5^{10} \times 7^9 - 25^9 \times 49^2\)
    * d)] \((125 \times 7)^2 + 5^9 \times 14^3\)
    
    \[
    \dfrac{1\,978 \times 1\,979 + 1\,980 \times 21 + 1\,958}{1\,980 \times 1\,979 - 1\,978 \times 1\,979}
    \]

Un petit calcul: 
Écrire sous forme d'une fraction irréductible.

\(\dfrac{0.5 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}{2 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} + \dfrac{0.5 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}{2 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} - 0.2\) 

Le calcul littéral à la rescousse : 
En utilisant les identités remarquables et le calcul littéral, calculer les nombres suivants.

    * a)] \(\dfrac{2\,022}{(-2\,022)^2 + (-2\,021)(2\,023)}\)
    * b)] \(\dfrac{2\,021^2}{2\,020^2 + 2\,022^2 - 2}\)
    * c)] \(\dfrac{1\,235 \times 2\,469 - 1\,234}{1\,234 \times 2\,469 + 1\,235}\)
    * d)] \(\dfrac{4\,002}{1\,000 \times 1\,002 - 999 \times 1\,001}\)

 Les fractions et le calcul littéral: 

Mettre sous la forme d'une seule fraction, qu'on écrira sous la forme la plus simple possible.

    * a)] \( \dfrac{1}{(n+1)^2} + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} \) pour \( n \in \mathbb{N}^* \)
    
    * b)] \( \dfrac{a^2 - b^2}{(a-b)^2} = \dfrac{(a+b)^2}{a-b} \) pour \((a,b) \in \mathbb{Z}^2\), distincts deux à deux.
    
    * c)] \( \dfrac{\sin(\pi x)}{x(n-1)(n-2)} \) pour \( n \in \mathbb{N}^* \backslash \{1,2\} \)

 Le quotient de deux sommes de Gauss :

Simplifier \( \sum_{k=0}^{n^2} k \) pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), en utilisant la formule \( 1 + 2 + \cdots + p = \dfrac{p(p+1)}{2} \).

Décomposition en somme d'une partie entière et d'une partie décimale :

Soit \( k \in \mathbb{R} \backslash \{1\} \) et \( x \in \mathbb{R} \backslash \{2\} \). Écrire les fractions suivantes sous la forme \( a + \dfrac{b}{c} \) avec \( b < c \).

    * a)] \( \dfrac{29}{6} \quad \ldots \quad \text{......} \)
    * b)] \( \dfrac{k}{k-1} \quad \text{......} \)
    * c)] \( \dfrac{3x-1}{x-2} \quad \text{......} \)

Un produit de fractions :

Soit \( t \in \mathbb{R} \backslash \{-1\} \). On donne \( A = \dfrac{1}{1+t^2} - \dfrac{1}{(1+t)^2} \) et \( B = (1+t^2)(1+t)^2 \).

Simplifier \( AB \) autant que possible.

Comparaison :

 Règles de comparaison: 

Comparer les fractions suivantes avec le signe \( > \), \( < \) ou \( = \).

    * a)] \( \dfrac{3}{5} \quad \dfrac{5}{6} \quad \ldots \quad \text{......} \)
    * b)] \( \dfrac{12}{11} \quad \dfrac{10}{12} \quad \ldots \quad \text{......} \)
    * c)] \( \dfrac{125}{25} \quad \dfrac{105}{21} \quad \ldots \)

 — Produit en croix:

Les nombres \( A = \dfrac{33}{66} \cdot \dfrac{215}{317} \) et \( B = \dfrac{104}{208} \cdot \dfrac{348}{341} \) sont-ils égaux ? Oui ou non ?

— Produit en croix :

On pose \( A = \dfrac{100}{1000} \cdot \dfrac{001}{001} \) et \( B = \dfrac{1000}{101000} \cdot \dfrac{001}{001} \) : a-t-on \( A > B \), \( A = B \) ou \( A < B \) ?

\section*{Réponses mélangées}
\[
\begin{array}{cccccccc}
& -1 & ab & 2 & 3 & 12 & 10 & 1 & 247 & n^2 + n & 1 & 1000 & 1 \\
\dfrac{n}{(n+1)^2} & -a-b & 4 & 5 & 11 & 12 & 2 & 203 & n+1 & 3 & 5 & 9 \\
2t & 2\,022 & 3 & 5 & 3+ \dfrac{x-2}{2} & 3 & 24 & 15 & 6 & 5 & 9 \\
4+ \dfrac{5}{6} & A > B & 1 & \dfrac{16}{35} & 2^3 & -2 \times 3^{3k-2} & \text{Non} & 1+ \dfrac{k-1}{25} & 25 & 21
\end{array}
\]