Puissances :

Prérequis :
Opérations sur les puissances (produits, quotients), décomposition en facteurs premiers, sommes d'expressions (incluant même dénominateur), identités remarquables, factorisations et développements simples.

Calcul : 
Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme d'une puissance de 10.

    a)] \( 10^5 \cdot 10^3 \) = .................................
    b)] \( (10^5)^3 \) = .................................
    
    c)] \( \dfrac{10^6}{10^8} \) = .................................
    d)] \( \dfrac{10^{-5}}{10^{-3}} \) = .................................
    
    e)] \( \dfrac{(10^5 \cdot 10^{-3})^5}{(10^{-3} \cdot 10^5)^{-3}} \) = .................................
    f)] \( \dfrac{(10^5)^{-5} \cdot 10^5}{10^9 \cdot 10^{-5}} \) = .................................

Calcul : 
Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme \( a^n \) avec \( a \) et \( n \) deux entiers relatifs.

    a)] \( 3^4 \cdot 5^4 \) = .................................
    b)] \( (5^2)^{-2} \) = .................................
    
    c)] \( \dfrac{2^2}{2 \cdot 3} \) = .................................
    d)] \( (-7)^2 \cdot (-7)^{-5} \) = .................................
    
    e)] \( \dfrac{6^5}{3^5} \) = .................................
    f)] \( \dfrac{(30^4)^7}{2^{28} \cdot 5^{28}} \) = .................................

Calcul : 
Dans chaque cas, donner le résultat sous la forme \( 2^n \cdot 3^p \), où \( n \) et \( p \) sont deux entiers relatifs.

    a)] \( \dfrac{2^3 \cdot 3^2}{3^4 \cdot 2^6 \cdot 6^{-1}} \) = .................................
    b)] \( 2^{21} + 2^{22} \) = .................................
    
    c)] \( \dfrac{3^{22} + 3^{21}}{3^{22} - 3^{21}} \) = .................................
    d)] \( \dfrac{(3^2 \cdot (-2)^4)^8}{((-3)^6 \cdot 2^9)^{-2}} \) = .................................

Calcul : 
Dans chaque cas, simplifier au maximum.

    a)] \( 8^{11} \cdot 6^{-6} \) = .................................
    b)] \( 9^{-3} \cdot 2^{32} \) = .................................
    c)] \( \dfrac{12^{-2} \cdot 15^4}{25^2 \cdot 18^{-4}} \) = .................................
    d)] \( \dfrac{55^2 \cdot 121^{-2} \cdot 125^2}{275 \cdot 605^{-2} \cdot 25^2} \) = .................................
    e)] \( \dfrac{36^5 \cdot 70^6 \cdot 10^2}{14^3 \cdot 28^2 \cdot 15^6} \) = .................................

Calcul: 
Dans chaque cas, simplifier au maximum l'expression en fonction du réel \( x \).

    a)] \( \dfrac{x}{x-1} - \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{2}{x^2-1} \) = .................................
    b)] \( \dfrac{2}{x+2} - \dfrac{-x}{x-2} = \dfrac{8}{x^2-4} \) = .................................
    
    c)] \( \dfrac{x}{x^2-x} - \dfrac{x^2}{x^2+x} = \dfrac{2x^2}{x^2-x} \) = .................................
    d)] \( \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{x+2}{x^2-4} = \dfrac{2}{x^2-2x} \) = .................................

Réponses mélangées :

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
3^{26} & 11 & 10^2 & 8 & \dfrac{2x}{x+1} & 15^4 & (-7)^{-2} & \dfrac{x}{x+1} \\
\hline
2^{38} \cdot 3^{56} & 2^7 & 2^6 \cdot 5 & 2 & 2^{-4} \cdot 3^{-1} & 10^{-8} & 10^{15} & 10^4 \\
\hline
\dfrac{2}{x-2} & 3^{10} & 5^{-6} & 3^5 & 2^{21} \cdot 3 & 10^{-2} & \dfrac{1}{x-2} & 10^6 \\
\hline
\end{array}
\]

Les identités remarquables.

Développer, réduire et ordonner: 

Dans cette section, on tâchera de mener les calculs avec le minimum d'étapes. Idéalement, on écrira directement le résultat. La variable \( x \) représente un nombre réel (ou complexe).

Calcul : 
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes selon les puissances décroissantes de \( x \).

    * a)] \(\left(2x - \dfrac{1}{2}\right)^3\) = ...............................
    * b)] \((x - 1)^2(x^2 + x + 1)\) = ...............................
    * c)] \((x + 1)(x^2 - x + 1)\) = ...............................
    * d)] \((x + 1)(x^2 + x + 1)\) = ...............................
    * e)] \((x - 1)(x^2 + x + 1)\) = ...............................
    * f)] \((x + 1)(x^2 - x + 1)\) = ...............................

Calcul : 
Développer, réduire et ordonner les expressions polynomiales suivantes selon les puissances croissantes de \( x \).

    * a)] \((x - 2)^2(-x^2 + 3x - 1) - (2x - 1)(x^2 + 2)\) = ...............................
    * b)] \((2x + 3)(5x - 8) - (2x - 4)(5x - 1)\) = ...............................
    * c)] \(\left((x + 1)^2(x - 1)(x^2 - x + 1) + 1\right)x - x^6 - x^5 + 2\) = ...............................
    * d)] \((x + 1)(x - 1)^2 - 2(x^2 + x + 1)\) = ...............................
    * e)] \(\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right)\left(1 - \sqrt{2}x + x^2\right)\) = ...............................
    * f)] \(\left(x^2 + x + 1\right)^2\) = ...............................

Factoriser : 

Factoriser les expressions polynomiales de la variable réelle \( x \) suivantes.

    * a)] \(-(6x + 7)(6x - 1) + 36x^2 - 49\) = ...............................
    * b)] \(25 - (10x + 3)^2\) = ...............................
    * c)] \((6x - 8)(4x - 5) + 30x^2 - 64\) = ...............................
    * d)] \((-9x - 8)(8x + 8) + 64x^2 - 64\) = ...............................
    * g)] \((-9x - 8)(8x + 8) + 64x^2 - 64\) = ...............................

Calcul :
Factoriser les polynômes de degré deux suivants en utilisant leur forme canonique. On rappelle que la forme canonique de \( ax^2 + bx + c \) est \( a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right] \).

% Note: Le document original contient une formule incomplète pour la forme canonique
% J'ai complété avec la formule correcte

 À l'aide de la forme canonique: 

Factoriser les polynômes de degré deux suivants en utilisant leur forme canonique. On rappelle que la forme canonique de \( ax^2 + bx + c \) est \( a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \) (où \( a \neq 0 \)).

    * a)] \( x^2 - 2x + 1 \) = ..............................
    * b)] \( x^2 + 4x + 4 \) = ..............................
    * c)] \( x^2 + 3x + 2 \) = ..............................
    * d)] \( 3x^2 + 7x + 1 \) = ..............................
    * e)] \( 2x^2 + 3x - 28 \) = ..............................
    * f)] \( -5x^2 + 6x - 1 \) = ..............................

— Avec plusieurs variables}
Factoriser sur \( \mathbb{R} \) les expressions polynomiales suivantes dont les variables représentent des nombres réels.

    * a)] \( (x + y)^2 - x^2 \) = ..............................
    * b)] \( x^2 + 6xy + 9y^2 - 160x^2 \) = ..............................
    * c)] \( xy + x + y + 1 \) = ..............................
    * d)] \( xy - x - y + 1 \) = ..............................
    * e)] \( x^2 + x^2y + 2x^2 + 2xy + x + y \) = ..............................
    * f)] \( y^2(a^2 + b^2) + 16x^4(-a^2 - b^2) \) = ..............................

— On passe au niveau supérieur : 
Factoriser sur \( \mathbb{R} \) les expressions polynomiales suivantes dont les variables représentent des nombres réels.

    * a)] \( x^4 - 1 \) = ..............................
    * b)] \( (-9x^2 + 24)(8x^2 + 8) + 64x^4 - 64 \) = ..............................
    * c)] \( x^4 + x^2 + 1 \) = ..............................
    * d)] \( (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 \) = ..............................
    * e)] \( (ap + bq + cr + ds)^2 + (ap - bp - cs + dr)^2 + (ar + bs - cp - dq)^2 + (as - br + cq - dp)^2 \) = ..............................

Réponse mélangée :

\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
2(3x - 4)(10x + 3) & (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) & -2 + 12x - 17x^2 + 8x^3 - 3x^4 \\
\hline
(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) & -5(x - 1)\left(x - \frac{1}{5}\right) & (x - 1)(y - 1) \\
\hline
2 + x^3 - x^4 - x^5 & -8(x^2 + 1)(x - 4)(x + 4) & (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(p^2 + q^2 + r^2 + s^2) \\
\hline
(x + y - z)(x + y + z) & (x + 1)(y + 1) & 8x^3 - 6x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{1}{8} \\
\hline
x^3 - x^4 + x^2 - 1 & (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) & x^5 + 2x^4 + x^3 - x^2 - 2x - 1 \\
\hline
(x + 2)^2 & -28 + 21x & 1 + x^4 \\
\hline
x^4 + x^2 + 1 & (a^2 + b^2)(y - 4x^2)(y + 4x^2) & 3(14x + 3y)(-4x + y) \\
\hline
-6(6x + 7) & (x - 1)^2 & 3\left(x + \frac{7 - \sqrt{37}}{6}\right)\left(x + \frac{7 + \sqrt{37}}{6}\right) \\
\hline
-1 - 3x - 3x^2 + x^3 & x^5 - x^3 - x^2 + 1 & (x + y)(x + 1)^2 \\
\hline
2\left(x + \frac{3 - \sqrt{233}}{4}\right)\left(x + \frac{3 + \sqrt{233}}{4}\right) & 1 + 2x + 3x^2 + 2x^3 + x^4 & x^5 - 2x^4 + x^3 - x^2 + 2x - 1 \\
\hline
(x + 1)(x + 2) & 4(5x + 4)(-5x + 1) & -8(x + 1)(x + 16) \\
\hline
\end{array}
\]