Racines carrées :

Racines carrées. Méthode de la quantité conjuguée.

Définition de la racine carrée :
Exprimer sans racine carrée les expressions suivantes.

    a)] \(\sqrt{(-5)^2}\)= ..............................
    b)] \(\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}\)= ..............................
    c)] \(\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}\)= ..............................
    
    d)] \(\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}\)= ..............................
    e)] \(\sqrt{(3-\pi)^2}\)= ..............................
    f)] \(\sqrt{(3-a)^2}\)= ..............................

— Transformation d'écriture : 
Écrire aussi simplement que possible les expressions suivantes.

    a)] \((2\sqrt{3})^2\)= ..............................
    b)] \((2+\sqrt{5})^2\)= ..............................
    c)] \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)= ..............................
    d)] \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}\)= ..............................
    
    e)] \((3+\sqrt{7})^2-(3-\sqrt{7})^2\)= ..............................
    f)] \(\sqrt{2\sqrt{3}}\)= ..............................
    g)] \(\left( \frac{5-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)^2\)= ..............................
    h)] \((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2\)= ..............................

- Avec la méthode de la quantité conjuguée :

Rendre rationnels les dénominateurs des expressions suivantes.

    a)] \(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{2}}\)= ..............................
    b)] \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)= ..............................
    c)] \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)= ..............................
    d)] \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)= ..............................
    
    e)] \(\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)= ..............................
    f)] \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\)= ..............................
    g)] \(\frac{5+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{5-2\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)= ..............................
    h)] \(\left( \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \right)^2\)= ..............................

Calcul : 

Exprimer la quantité suivante sans racine carrée au dénominateur.

\[ 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} \]

Calculs variés :

– Avec une variable :
On considère la fonction \(f\) qui à \(x > 1\) associe \(f(x) = \sqrt{x - 1}\).

Pour tout \(x > 1\), calculer et simplifier les expressions suivantes.

    a)] \(f(x) + \frac{1}{f(x)}\)= ..............................
    b)] \(\frac{f(x + 2) - f(x)}{f(x + 2) + f(x)}\)= ..............................
    c)] \(\sqrt{x + 2f(x)}\)= ..............................
    d)] \(\frac{f'(x)}{f(x)}\)= ..............................
    
    e)] \(f(x) + 4f''(x)\)= ..............................
    f)] \(\frac{f(x)}{f''(x)}\)= ..............................

– Mettre au carré :

Élever les quantités suivantes au carré pour en donner une expression simplifiée.

    a)] \(\sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{3 - \sqrt{5}}\)= ..............................
    b)] \(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)= ..............................

Donner une écriture simplifiée des réels suivants.

    a)] \(\frac{3 - \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}\)= ..............................
    b)] \(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)= ..............................
    c)] \(\sqrt{\frac{2 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{2}}}\)= ..............................
    
    d)] \(3e^{-\frac{1}{2}\ln 3}\)= ..............................
    e)] \(2\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}\)= ..............................
    f)] \(\frac{1}{2}\ln\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\)= ..............................

Calcul :

Simplifier \(\sqrt{3 + \sqrt{9} + \frac{125}{27}} - \sqrt{3 + \sqrt{9} + \frac{125}{27}}\).

On commencera par exprimer \(A^3\) en fonction de \(A\).

- Réponse mélangées :

\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\sqrt{3} - 1 & \ln(1 + \sqrt{2}) & \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4} & \frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}}{2} & 5 \\
\hline
\frac{x(z - 2)}{(x - 1)\sqrt{z - 1}} & 1 + \sqrt{2} & 12 & 9 - \frac{10}{3} & 3 - 2\sqrt{2} & 1 \\
\hline
3 + \sqrt{2} & 50 - 25\sqrt{3} & |3 - a| & -\sqrt{3} + 2 & 12\sqrt{7} & 10 \\
\hline
20 & \sqrt{7} - 2 & -\sqrt{2} + \sqrt{3} & 2\sqrt{2} & \frac{\pi}{\sqrt{x - 1}} & 1 + \sqrt{3} \\
\hline
-11 + 5\sqrt{5} & 9 + 4\sqrt{5} & 2\sqrt{2} & \frac{1}{2} - 1 & -4(z - 1)^2 & x - \sqrt{x^2 - 1} \\
\hline
1 + \sqrt{x^2 - 1} & 2 - \sqrt{2} - \sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{6} & \sqrt{15} + \sqrt{10} - \sqrt{6} - 2 & 1 + \sqrt{2} & 1 - \sqrt{10} + \sqrt{15} & \pi - 3 \\
\hline
1 + \sqrt{5} & \sqrt{3} & & & & \\
\hline
\end{array}
\]