Exercice 1 : (3,5 points) 

L'espace \(E\) est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). Soit \(S\) l'ensemble des points \(M(x, y, z)\) tels que :
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 4y + 2z + 2 = 0.
\]

1. Montrer que \(S\) est une sphère de centre \(\Omega(0, 2, -1)\) et de rayon \(r = \sqrt{3}\).}

Solution: Complétons les carrés pour chaque variable \(x\), \(y\) et \(z\) dans l'équation de la sphère :
\[
x^2 + y^2 + z^2 - 4y + 2z + 2 = 0.
\]
Complétons le carré pour \(y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4\) et pour \(z^2 + 2z = (z + 1)^2 - 1\).
On obtient alors :
\[
x^2 + (y-2)^2 + (z+1)^2 = 3.
\]
Cela montre que \(S\) est une sphère de centre \(\Omega(0, 2, -1)\) et de rayon \(r = \sqrt{3}\).

2.a) Vérifier que le point \(A(-1, 1, 0)\) appartient à la sphère \(S\).}

Solution: Substituons les coordonnées de \(A(-1, 1, 0)\) dans l'équation de la sphère :
\[
(-1)^2 + 1^2 + 0^2 - 4(1) + 2(0) + 2 = 1 + 1 + 0 - 4 + 0 + 2 = 0.
\]
Puisque l'équation est satisfaite, \(A\) appartient bien à la sphère.

2.b) Écrire une équation du plan \(P\) tangent à la sphère \(S\) au point \(A\).}

Solution: L'équation du plan tangent à une sphère au point \(A(x_0, y_0, z_0)\) est donnée par :
\[
(x_0)(x - x_0) + (y_0)(y - y_0) + (z_0)(z - z_0) = 0.
\]
Le centre de la sphère étant \(\Omega(0, 2, -1)\), le vecteur normal au plan est \(\overrightarrow{\Omega A} = (-1, -1, 1)\).
Ainsi, l'équation du plan est :
\[
-1(x + 1) - 1(y - 1) + 1(z - 0) = 0,
\]
ce qui donne :
\[
x + y - z = 0.
\]

3.a) Vérifier que \(x + y + z - 2 = 0\) est une équation cartésienne du plan \(Q\) passant par le point \(B(1, 3, -2)\) et \(\vec{n}(1, 1, 1)\) est un vecteur normal au plan.}

Solution: Vérifions que le point \(B(1, 3, -2)\) appartient au plan \(Q\). Substituons les coordonnées dans l'équation :
\[
1 + 3 + (-2) - 2 = 0.
\]
Cela confirme que \(B\) appartient bien au plan \(Q\).
Le vecteur normal est \(\vec{n} = (1, 1, 1)\). L'équation du plan peut s'écrire sous la forme :
\[
1(x - 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0,
\]
ce qui simplifie à :
\[
x + y + z - 2 = 0.
\]

3.b) Montrer que \(Q\) coupe \(S\) suivant un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. 

Solution: L'intersection d'une sphère et d'un plan donne un cercle. Pour déterminer le centre et le rayon du cercle, il faut :
1. Résoudre l'équation du plan dans celle de la sphère.
2. Déterminer l'équation du cercle en utilisant les propriétés géométriques.

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Exercice 2 : (3,5 points) 

On considère dans l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb{C}\) l'équation :
\[
(E) : z^2 - 4iz - 4(1+i) = 0.
\]
On désigne par \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l'équation \((E)\) tel que :
\[
\Re(z_1) > 0.
\]

1. Montrer que le discriminant de l'équation \((E)\) est : 
\[
\Delta = \left[ 2\sqrt{2}(1+i) \right]^2 \text{ puis déterminer } z_1 \text{ et } z_2.
\]

Solution: L'équation est de la forme \(az^2 + bz + c = 0\), avec \(a = 1\), \(b = -4i\), et \(c = -4(1+i)\).

Le discriminant est donné par :
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-4i)^2 - 4(1)(-4(1+i)) = -16 - 4 \cdot (-4 - 4i) = -16 + 16 + 16i = 16i.
\]
La racine carrée de \(\Delta\) est \(2\sqrt{2}(1+i)\).

En appliquant la formule des racines pour l'équation quadratique, on trouve les solutions \(z_1\) et \(z_2\).

2. Vérifier que \(z_1 = a + b\) et \(z_2 = a - b\) puis écrire \(a\) et \(b\) sous forme trigonométrique.}

Solution: On pose \(a = 2i\) et \(b = \sqrt{2}(1+i)\).  
Pour exprimer \(a\) et \(b\) sous forme trigonométrique, il faut déterminer leur module et argument.  
- \(a = 2i\) a pour module 2 et argument \(\frac{\pi}{2}\).
- \(b = \sqrt{2}(1+i)\) a pour module \(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) et argument \(\frac{\pi}{4}\).

Exercice 3 : (3 points)}

Un sac contient neuf jetons indiscernables au toucher : deux jetons blancs portant le nombre 1, trois jetons rouges portant les nombres 1, 2 et 2 et quatre jetons noirs portant les nombres 1, 1, 2 et 2.  
On tire simultanément et au hasard trois jetons du sac.

1. Calculer les probabilités des événements suivants :

    - A : "les trois jetons tirés sont de couleurs différentes (un jeton de chaque couleur)".
    - B : "les trois jetons tirés portent le même nombre".
    - C : "au moins un jeton parmi les jetons tirés est rouge".

Solution:  
Utiliser les combinaisons pour calculer les probabilités des événements donnés en fonction des tirages possibles.

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Exercice 4 : (10 points)}

Partie I}

Soit \(f\) la fonction définie par :
\[
f(x) = 1 - \frac{1}{2}x - \frac{2}{e^x + 1}.
\]

a) Vérifier que :}
\[
\frac{1}{e^{-x} + 1} = 1 - \frac{1}{e^x + 1} \text{ pour tout } x \in \mathbb{R}.
\]

Solution: Montrer cette identité par manipulation algébrique.

b) En déduire que \(f\) est une fonction impaire. 

Solution: Montrer que \(f(-x) = -f(x)\) pour tous \(x\).