Exercice 1 : (2 points)
1. Résoudre l'équation différentielle : \( y'' - 6y' + 9y = 0\).
2. On considère l'équation différentielle : \( (E): y'' - 6y' + 9y = 2e^{3x}\).
a) Montrer que \( u(x) = x^2 e^{3x}\) est une solution particulière de \( (E)\).
b) Donner la solution générale de \( (E)\).
Exercice 2 : (4 points)
On considère dans \( \mathbb{C}\) l'équation :
\[ z^2 - 2\sqrt{3}(1+i)z + 8i = 0. \]
Soit \( z_1\) et \( z_2\) les solutions telles que \( \Re(z_1) > \Re(z_2)\).
* Déterminer \( z_1\) et \( z_2\) (remarquer que \( (1-i)^2 = -2i\)).
* Montrer que : \( z_1^2 = 4(\sqrt{3}+i)\) et \( z_2 = i\overline{z_1}\).
* Écrire sous forme trigonométrique \( 4(\sqrt{3}+i)\).
* En déduire une forme trigonométrique de \( z_1\) et \( z_2\).
* Dans le plan rapporté à \( (O, \vec{u}, \vec{v})\), avec \( A(z_1)\) et \( B(z_2)\) :
* Calculer \( \arg\left(\frac{z_2}{z_1}\right)\)
* Montrer que le triangle \( OAB\) est équilatéral.
Exercice 3 : (4 points)
Dans l'espace muni de \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère :
* Le point \( A(1,-1,3)\)
* Le plan \( (P): x - y + 3z = 0\)
* Vérifier que :
\[
\begin{cases}
x = t
y = -t \quad (t \in \mathbb{R}) \text{ est une représentation paramétrique}
z = 3t \quad \text{de la droite } (OA)
\end{cases}
\]
* Déterminer une équation cartésienne du plan \( (Q)\) orthogonal à \( (OA)\) en \( A\).
c) Vérifier que \( (P)\) est parallèle à \( (Q)\).
2. On considère la sphère \( (S)\) tangente à \( (Q)\) en \( A\) et coupant \( (P)\) suivant le cercle \( \Gamma\) de centre \( O\) et rayon \( \sqrt{33}\).
a) Démontrer que \( \Omega(a,b,c)\) centre de \( (S)\) appartient à \( (OA)\) et en déduire que \( b = -a\) et \( c = 3a\).
b) Démontrer que : \( a^2 + b^2 + c^2 = 33\) puis que \( a - b + 3c = -11\).
c) En déduire les coordonnées de \( \Omega\) et montrer que son rayon est \( 2\sqrt{11}\).
Problème : (10 points)
Partie I :
On considère la fonction \( g\) définie sur \( [0;+\infty[\) par :
\[ g(x) = \ln(1+x) - x. \]
Partie II :
* Calculer \( g'(x)\) pour \( x \in [0;+\infty[\) et montrer que \( g\) est strictement décroissante.
* En déduire que : \( g(x) \leq 0\) pour tout \( x \in [0;+\infty[\).
Partie III :
Montrer que : \( 0 < \ln(1+x) < x\) pour tout \( x \in ]0;+\infty[\).
Partie IV :
On considère la fonction \( f\) définie par :
\[ f(x) = x + \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right). \]
Soit \( (C)\) sa courbe représentative dans \( (O,\vec{i},\vec{j})\) (unité : 1cm).
* Montrer que le domaine de définition de \( f\) est :
\[ D = ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[. \]
* Montrer que\( f\) est impaire.
* Calculer \( \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\) et \( \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)\).
* Montrer que : \( \forall x \in D, f'(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 1}\).
* En déduire les variations de \( f\) sur \( [1;+\infty[\).
* Vérifier que la droite \( (\Delta)\) d'équation \( y = x\) est une asymptote oblique de \( (C)\).
b) Étudier le signe de \( \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\)
(remarquer que : \( \forall x \in D, \frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}\)).
c) En déduire la position relative de \( (C)\) et \( (\Delta)\).
5. Construire \( (C)\) dans \( (O,\vec{i},\vec{j})\) \\
(on prendra : \( \sqrt{3} \approx 1,7\) et \( f(\sqrt{3}) = 3\)).
6. a) Montrer que :
\[ \int_{2}^{4} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) dx = 5\ln 5 - 6\ln 3 \]
(on pourra utiliser une intégration par parties).
b) En déduire, en cm\( ^2\), l'aire du domaine plan délimité par :
* La courbe \( (C)\)
*Les droites \( x=2\), \( x=4\) et \( y=x\)
Partie III :
On considère la suite \( (u_n)_{n \geq 2}\) définie par :
\( u_n = f(n) - n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}. \)
Vérification :
Montrer que pour tout \( n \geq 2\) :
\( u_n = \ln\left(1 + \frac{2}{n-1}\right) \)
- Montrer que la suite \( (u_n)_{n \geq 2}\) est décroissante.
- Montrer que pour tout \( n \geq 2\) :
\(0 < u_n < \frac{2}{n-1} \)
Indication : Utiliser le résultat
- Calculer la limite : \( \lim_{n\to\infty} u_n \)