Exercice 1 : (3 points)
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct \( (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on considère les points :
* \( A(1,2,-2)\)
* \(B(1,-1,1)\)
* \(C(2,1,-2)\)
1. a) Déterminer les coordonnées de \( AB et AC \).
b) Démontrer que \( x + y + z - 1 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((ABC)\).
2. Soit \(S\) la sphère de centre \(\Omega(1,1,1)\) et de rayon \(R = \frac{2}{\sqrt{3}}\).
& a) Démontrer que \( (ABC)\) est tangent à \( S\) et déterminer les coordonnées de \( H\) point de contact.
b) Soit \( M(a,b,c) \in (ABC)\), démontrer que : \( a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{1}{3}\)
Exercice 2 : (3 points)
On considère la suite \( (u_n)\) définie par :
\[ u_0 = 0, \quad u_1 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+2} = \frac{2}{5}u_{n+1} - \frac{1}{25}u_n \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}. \]
On pose :
\[ v_n = u_{n+1} - \frac{1}{5}u_n \quad \text{et} \quad w_n = s^n u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}. \]
* Montrer que \( (v_n)\) est géométrique de raison \( \frac{1}{5} \) et exprimer \( v_n\) en fonction de \( n\).
* Montrer que \( (w_n)\) est arithmétique de raison \( s\).
* Exprimer \( w_n\) en fonction de \( n\) et en déduire \( u_n\).
* Montrer que \( 0 < u_{n+1} \leq \frac{2}{5}u_n\) pour tout \( n \in \mathbb{N}^*\).
* En déduire que \( 0 < u_n \leq \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} \quad \forall n \geq 2 \) et calculer \( \lim\limits_{n\to\infty} u_n\).
Exercice 3 : (3 points)
Deux sacs :
* 5 jetons (3 avec "2", 2 avec "3")
* 5 jetons (3 blancs, 2 rouges)
On tire un jeton de \( U_1\) (noté \( X\)) puis On tire aléatoirement et simultanément \( n\) jetons du sac \( U_2\) où \( n\) est le nombre porté par le jeton tiré de \( U_1\). Soit \( X\) la variable aléatoire égale au nombre de jetons rouges tirés.
1. Déterminer la loi de probabilité de \( X\).
2. Calculer l'espérance mathématique de \( X\).
Exercice 4 : (3 points)
On considère dans \( \mathbb{C}\) l'équation :
\[ z^2 + 2z + 1 + i = 0. \]
Soit \( z_1\) et \( z_2\) les solutions avec\( \Im(z_1) > 0\).
1. Déterminer \( z_1\) et \( z_2\) (remarquer que \( (1-i)^2 = -2i\)).
Dans le plan rapporté à \( (O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère les points :
* \( A(-1)\)
* \( B\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right)\)
* \( M_1(z_1)\)
* \( M_2(z_2)\)
a) Écrire sous forme trigonométrique \( -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\).
b) Vérifier que \( AM_1 = OB\) et que \( A\) est le milieu de \( [M_1M_2]\), puis construire ces points.
c) En déduire que \( AOBM_1\) est un losange et que \( \arg(z_1) = \frac{7\pi}{8} [2\pi]\).
Problème : (8 points)}
Partie I :
On considère l'équation différentielle :
\[ (E) : y'' - 2y' + y = x - 1. \]
1. Résoudre \( y'' - 2y' + y = 0\).
2. a) Trouver une solution particulière de \( (E)\) de la forme \( y_0 : x \mapsto ax + b\).
b) Donner la solution générale de \( (E)\).
c) Déterminer la solution \( h\) de \( (E)\) vérifiant \( h(0)=0\) et \( h'(0)=1\).
Partie II :
On considère la fonction \( g\) définie sur \( [0; +\infty[\) par :
\[ g(x) = (x-1)e^x + x + 1. \]
a) Calculer \( g'(x)\) pour \( x \in [0; +\infty[\) et en déduire les variations de \( g\).
b) Montrer que : \( g(x) \geq 0\) pour tout \( x \in [0,+\infty[\) (remarquer que \( g(0)=0\)).
Partie III :
On considère la fonction \( f\) définie sur \( \mathbb{R}^*\) par :
\[ f(x) = \frac{xe^x}{(e^x - 1)^2}. \]
\( (C)\) est sa courbe représentative dans \( (O,\vec{i},\vec{j})\).
1. Montrer que \( f\) est impaire.
2. a) Calculer \( \lim\limits_{x\to 0^+} f(x)\) (rappel : \( \lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\)) et interpréter graphiquement.
b) Montrer que \( \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0\) et interpréter graphiquement (remarquer que \( f(x)=\frac{x}{e^x(1-e^{-x})^2}\)).
3. a) Montrer que : \( f'(x)=-\frac{e^x}{(e^x-1)^3}g(x)\) pour \( x\in[0,+\infty[\).
b) Donner le tableau de variations de \( f\) sur \( [0,+\infty[\).
4. Construire\( (C)\).
5. a) Montrer que : \( \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{1}{e^x-1}dx = 2\ln 2 - \ln 3\)
(remarquer que \( \frac{1}{e^x-1}=\frac{e^x}{e^x-1}-1\)). \\
b) En posant \( t=e^x\), montrer que :
\( \int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x)dx = \int_2^3 \frac{\ln t}{(t-1)^2}dt\).
6. a) Par intégration par parties, montrer que :
\( \int_2^3 \frac{\ln t}{(t-1)^2}dt = 3\ln 2 - \frac{3}{2}\ln 3\).
c) En déduire l'aire du domaine délimité par :
* \( (C)\)
* L'axe des abscisses
* Les droites \( x=\ln 2\) et \( x=\ln 3\)
* avec \( ln 2\approx 0,7\) et \( ln 3 \approx 1,1\)).