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  • Select activity Nombres premiers jumeaux

    

    Nombres premiers jumeaux Forum
  • Select activity Facteurs et multiples

    Facteurs et multiples 

    Facteur 
    Si deux nombres naturels (également appelés nombres entiers) sont multipliés ensemble, alors chacun de ces nombres est appelé un facteur du produit ainsi obtenu. Ainsi, dans l'expression mathématique \( 7 \times 9 = 63 \), 7 et 9 sont des facteurs et 63 est le produit. Vous pouvez également voir que \( 63 \div 7 = 9 \) et \( 63 \div 9 = 7 \), et il n'y a aucun reste dans chaque cas. Par conséquent, nous pouvons également dire :
    Si un nombre naturel divise un autre nombre exactement (sans aucun reste), alors le diviseur est un facteur du dividende.

    Exemple 1 : Lister tous les facteurs des nombres suivants. 
    (a) 16  
    (b) 17  

    (a) \( 16 = 1 \times 16 \)  
    \( = 2 \times 8 \)  
    \( = 4 \times 4 \)  
    ∴ Les facteurs de 16 sont 1, 2, 4, 8 et 16.

    (b) \( 17 = 1 \times 17 \)  
    ∴ Les facteurs de 17 sont 1 et 17.

    De l'exemple ci-dessus, il est clair que :

    1. Chaque nombre a au moins deux facteurs   1 et le nombre lui-même.
    2. Tous les facteurs d'un nombre sont soit inférieurs, soit égaux au nombre.

    Nombre premier}
    Un nombre premier est tout nombre naturel qui a exactement deux facteurs — 1 et le nombre lui-même.  
    Par exemple, \( 13 = 1 \times 13 \).  
    Il n'y a pas d'autres facteurs de 13, donc 13 est un nombre premier.

    Nombre composé 
    Tout nombre naturel sauf 1 qui a plus de deux facteurs différents est appelé un nombre composé.

    - Cette méthode est appelée "Le Crible d'Ératosthène" car les facteurs sont utilisés pour filtrer certains nombres qui sont des multiples, tout comme un crible sépare la balle du blé.

    Exemple 2 : Déterminer si chacun des nombres 48 et 23 est composé ou premier.

    \[
    48 = 1 \times 48
    \]
    \[
    = 2 \times 24
    \]
    \[
    = 3 \times 16
    \]
    \[
    = 4 \times 12
    \]
    \[
    = 6 \times 8
    \]

    10 facteurs, donc **composé**.

    \[
    23 = 1 \times 23 \quad \text{exactement 2 facteurs, donc **premier**}
    \]

    Nombres premiers jumeaux:
    Les nombres premiers jumeaux sont des nombres premiers qui diffèrent de 2.  
    Par exemple, 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, etc., sont des nombres premiers jumeaux.

    Nombres premiers entre eux:
    Deux nombres naturels sont dits premiers entre eux s'ils n'ont que 1 comme facteur commun.  
    Par exemple, 2 et 3, 5 et 7, 3 et 4, 4 et 9, etc., sont des nombres premiers entre eux.

    Factorisation en nombres premiers:
    Tout nombre composé peut être écrit comme un produit de nombres premiers. Une expression écrite comme un produit de ses facteurs premiers est appelée la factorisation en nombres premiers de ce nombre.

    -Exemple  : Trouver la factorisation en nombres premiers de 120.
    **Méthode 1 : Arbre de facteurs**  
    **Étape 1 :** Écrivez le nombre à factoriser en haut.  
    **Étape 2 :** Choisissez une paire de facteurs comme branches. Si l'un de ces facteurs est composé, factorisez à nouveau.  
    **Étape 3 :** Choisissez une paire de facteurs pour chaque nombre composé et continuez les branches pour les facteurs premiers.  
    **Étape 4 :** Continuez à factoriser jusqu'à ce que vous ayez une ligne de facteurs premiers.

  • Select activity Factorisation en nombres premiers

    Factorisation en nombres premiers:

    Par convention, les facteurs premiers sont écrits dans l'ordre croissant.  
    \( \therefore \) La factorisation en nombres premiers de \( 120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \).  

    **Méthode 2 : Division continue**  
    **Étape 1 :** Commencez par diviser par le plus petit facteur premier jusqu'à ce que vous ne puissiez plus diviser.  
    **Étape 2 :** Continuez à diviser par le facteur premier suivant.  
    **Étape 3 :** Répétez le processus jusqu'à obtenir 1.  

    \[
    \begin{array}{|c|c|}
    \hline
    2 & 120 \\
    \hline
    2 & 60 \\
    \hline
    2 & 30 \\
    \hline
    3 & 15 \\
    \hline
    5 & 5 \\
    \hline
    \end{array}
    \]

    \( \therefore \) La factorisation en nombres premiers de \( 120 \) est \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \).  

    **Conseils :** Vous pouvez avoir plusieurs arbres de facteurs pour le nombre 120. Essayez ! Mais à la fin, les facteurs premiers seront les mêmes.  

    - Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

    Si un nombre est un facteur de deux ou plusieurs nombres entiers, il est appelé un facteur commun de ces nombres.  

    Par exemple, \( 4 \times 2 = 8 \) et \( 4 \times 5 = 20 \). Donc, \( 4 \) est un facteur commun de 8 et 20.  
    Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux ou plusieurs nombres est le plus grand des facteurs communs. C'est le plus grand nombre qui divise les nombres donnés exactement.

  • Select activity Méthodes pour trouver le Plus Grand Commun

    Méthodes pour trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

    Vous pouvez trouver le PGCD de deux ou plusieurs nombres par différentes méthodes, comme suit :

    Méthode 1 : Par liste des facteurs

    **Exemple 4 :** Trouver le PGCD de 12 et 40.

    **Étape 1 :** Lister tous les facteurs de chaque nombre.

    Facteurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

    Facteurs de 40 : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 et 40.

    **Étape 2 :** Identifier les facteurs communs.

    Les facteurs communs sont 1, 2 et 4.

    **Étape 3 :** Identifier le plus grand nombre dans la liste des facteurs communs.

    Parmi ces facteurs communs, 4 est le plus grand.

    ∴ Le PGCD de 12 et 40 est 4.

    Méthode 2 : Par factorisation en nombres premiers

    **Exemple 5 :** Trouver le PGCD de 20 et 28.

    **Étape 1 :** Lister tous les facteurs de chaque nombre par l'une des méthodes.

    \[
    \begin{array}{ccc}
    20 & = & 2 \times 2 \times 5 \\
    28 & = & 2 \times 2 \times 7 \\
    \end{array}
    \]

    **Étape 2 :** Identifier les facteurs premiers communs.

    20 = 2 × 2 × 5

    28 = 2 × 2 × 7

    **Étape 3 :** Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs.

    ∴ Le PGCD de 20 et 28 = 2 × 2 = 4.

    **Conseils :** Vous pouvez obtenir la factorisation en nombres premiers en utilisant des arbres de facteurs ou par division continue. Cependant, la division continue est la méthode préférée.

    Méthode 3 : Par méthode de division

    **Exemple 6 :** Trouver le PGCD de 12, 18 et 42.

    **Étape 1 :** Diviser les nombres par les facteurs communs uniquement.

    **Étape 2 :** Arrêter de diviser lorsqu'il n'y a plus de facteurs communs sauf 1.

    **Étape 3 :** Trouver le produit des facteurs communs. 2, 3 et 7 n'ont aucun facteur commun.

  • Select activity Méthode de division pour trouver le PGCD

    Méthode de division pour trouver le PGCD:

    Lorsqu'il n'y a plus de facteurs communs sauf 1, arrêtez la division.

    \[
    \begin{array}{c|c|c}
    2 & 12 & 18 & 42 \\
    \hline
    3 & 6 & 9 & 21 \\
    \hline
      & 2 & 3 & 7 \\
    \end{array}
    \]

    ∴ Le PGCD de 12, 18 et 42 = \(2 \times 3 = 6\).

    **Conseils :** Vous pouvez utiliser l'une des trois méthodes mentionnées ci-dessus pour trouver le PGCD de deux ou plusieurs nombres.

    PGCD de grands nombres:

    Il est plus facile de trouver le PGCD de grands nombres en utilisant la méthode de division.

    **Exemple 7 :** Trouver le PGCD de 217 et 686.

    **Étape 1 :** Divisez le plus grand nombre par le plus petit nombre.

    **Étape 2 :** Faites du reste le nouveau diviseur et du diviseur original, le nouveau dividende. Répétez le processus jusqu'à obtenir un reste de 0.

    **Étape 3 :** Le dernier diviseur est le PGCD recherché. Ici, le dernier diviseur est 7. Donc, le PGCD de 217 et 686 est 7.

    Dans le cas de trois nombres, trouvez d'abord le PGCD de deux nombres.

    Ensuite, prenez le dernier diviseur des deux nombres et le nombre restant, puis trouvez leur PGCD.

    **Exemple 8 :** Trouver le PGCD de 275, 525 et 830.

    D'abord, prenons 275 et 525.

    Maintenant, trouvez le PGCD de 25 et 830.

  • Select activity Un multiple d'un nombre entier...

    Multiples

    Un multiple d'un nombre entier est le produit de ce nombre et de n'importe quel nombre entier naturel.  
    Nous pouvons énoncer quelques multiples de 2 et 11 comme suit :

    \[
    \begin{cases} 
    1 \times 2 = 2 \\ 
    2 \times 2 = 4 \\ 
    3 \times 2 = 6 \\ 
    4 \times 2 = 8 \\ 
    5 \times 2 = 10 
    \end{cases}
    \]

    **Multiples de 2**

    \[
    \begin{cases} 
    1 \times 11 = 11 \\ 
    2 \times 11 = 22 \\ 
    3 \times 11 = 33 \\ 
    4 \times 11 = 44 \\ 
    5 \times 11 = 55 
    \end{cases}
    \]

    **Multiples de 11**

    À partir de la discussion ci-dessus, nous pouvons observer les propriétés suivantes des multiples :

    1. Chaque nombre est un multiple de 1.  
    2. Le plus petit multiple d'un nombre (autre que zéro) est le nombre lui-même.  
    3. Chaque multiple d'un nombre est supérieur ou égal à ce nombre.  
    4. Le nombre de multiples d'un nombre donné est infini.

  • Select activity premiers multiples

    Exemple : Trouver les cinq premiers multiples de 3.

    \[
    \begin{array}{ccc}
    1 \times 3 = & 3 \\
    2 \times 3 = & 6 \\
    3 \times 3 = & 9 \\
    4 \times 3 = & 12 \\
    5 \times 3 = & 15
    \end{array}
    \]

    **Multiples de 3**

    - Les cinq premiers multiples de 3 sont 3, 6, 9, 12 et 15.

    Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

    Si un nombre est un multiple de deux ou plusieurs nombres, il est appelé un multiple commun de ces nombres.

    Par exemple, \( 2 \times 9 = 18 \).  
    - \( 18 \) est un multiple commun de 2 et 9.  
    - Le plus petit nombre (autre que zéro) qui est un multiple de deux ou plusieurs nombres entiers naturels est le plus petit commun multiple (PPCM) de ces nombres. C'est le plus petit nombre divisible par tous les nombres donnés.

    Vous pouvez trouver le PPCM de deux ou plusieurs nombres par différentes méthodes, comme suit :

    Méthode 1 : Par liste des multiples

    **Exemple 10 :** Trouver le PPCM de 3, 6 et 12.

    **Étape 1 :** Lister quelques multiples de chaque nombre.

    Les multiples de 3 sont 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, ...

    Les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...

    Les multiples de 12 sont 12, 24, 36, 48, ...

    **Étape 2 :** Identifier les multiples communs.

    Certains multiples communs de 3, 6 et 12 sont 24, 36, ...

    **Étape 3 :** Choisir le plus petit multiple commun dans la liste des multiples communs.

    Parmi ces multiples communs, 24 est le plus petit.

    ∴ Le plus petit commun multiple (PPCM) de 3, 6 et 12 est 24.

    Méthode 2 : Par factorisation en nombres premiers

    **Exemple 11 :** Trouver le PPCM de 16 et 24.

  • Select activity Méthode 2 : Par factorisation en nombres ...

    Méthode 2 : Par factorisation en nombres premiers:

    **Étape 1 :** Trouver la factorisation en nombres premiers de chaque nombre.

    **Étape 2 :** Identifier les facteurs communs.

    \[
    16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2
    \]
    \[
    24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3
    \]

    **Étape 3 :** Multiplier les facteurs communs et les facteurs supplémentaires pour obtenir le PPCM.

    ∴ PPCM = \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 = 48 \).

    **Facteurs communs**  
    **Facteurs supplémentaires**

    ∵ Le PPCM de 16 et 24 est 48.

    Méthode 3 : Par méthode de division

    **Exemple 12 :** Trouver le PPCM de 20, 28 et 40.

    **Étape 1 :** Diviser les nombres par un facteur premier commun à au moins deux des nombres donnés. Abaissez le nombre tel quel s'il n'est pas complètement divisible par le facteur premier.

    **Étape 2 :** Arrêtez de diviser lorsqu'il n'y a plus de facteur commun sauf 1.

    **Étape 3 :** Trouver le produit des nombres dans la colonne de gauche et des derniers restes.

    \[
    \begin{array}{ccc}
    2 & 20, & 28, & 40 \\
    2 & 10, & 14, & 20 \\
    2 & 5, & 7, & 10 \\
    5 & 5, & 7, & 5 \\
    \end{array}
    \]

    ∴ Le PPCM de 20, 28 et 40 = \( 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 280 \).

  • Select activity Règles de divisibilité

    Règles de divisibilité:

    - Si un nombre est un diviseur d'un deuxième nombre, alors le deuxième nombre est divisible par le premier.  
      Par exemple, puisque 3 est un diviseur de 6, 6 est divisible par 3.

    - Si un nombre n'est pas premier, alors il est divisible par un nombre plus petit que lui-même. Nous pouvons déterminer par division réelle si un nombre est divisible par un autre ou non.  
      Par exemple, si nous divisons 392 par 7, nous trouvons que le reste est 0, donc 392 est divisible par 7. Dans certains cas, le processus peut être raccourci en appliquant certains tests sur les chiffres du nombre.

    \[
    \begin{array}{c}
    56 \\
    7) \quad 392 \\
    - \quad 35 \\
    \quad 42 \\
    - \quad 42 \\
    \quad 0 \\
    \end{array}
    \]

    Ci-dessous, nous donnons quelques-uns de ces tests :

    1. Divisibilité par 2:
    Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est divisible par 2.  
    Ainsi, un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre se terminant par 1, 3, 5, 7 ou 9 n'est pas divisible par 2.  
    Par exemple, les nombres 120, 3172, 234, 81396, 105098 sont tous divisibles par 2, tandis que les nombres comme 13, 287, 335, 7091, 28469 ne sont pas divisibles par 2.

    2. Divisibilité par 3:
    Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.  
    Par exemple, le nombre 384 est divisible par 3 et la somme de ses chiffres (3 + 8 + 4) est 15, qui est divisible par 3.  
    De même, le nombre 217095 est également divisible par 3 car la somme de ses chiffres (2 + 1 + 7 + 0 + 9 + 5) est 24, qui est divisible par 3.  
    Le nombre 839 n'est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres (8 + 3 + 9) est 20, qui n'est pas divisible par 3.

    3. Divisibilité par 5:
    Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.  
    Par exemple, les nombres comme 205, 3075, 2370, 15000 sont tous divisibles par 5. Les nombres comme 27, 3189, 200053 ne sont pas divisibles par 5 car ils ne se terminent pas par 0 ou 5.

  • Select activity Règles de divisibilité

    Règles de divisibilité :

    4. Divisibilité par 9 :
    Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.  
    Par exemple, le nombre 7326 est divisible par 9, car \(7 + 3 + 2 + 6 = 18\) et 18 est divisible par 9. Le nombre 27041 n'est pas divisible par 9, car la somme de ses chiffres \(2 + 7 + 0 + 4 + 1 = 14\), qui n'est pas divisible par 9.

    5. Divisibilité par 10 
    Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.  
    Par exemple, les nombres 100, 8390, 9500, 5401000 sont tous divisibles par 10. Les nombres comme 209, 703001, 28597, 4385 ne sont pas divisibles par 10 car leur chiffre des unités n'est pas 0.

    6. Divisibilité par 11
    Un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres en positions impaires et la somme de ses chiffres en positions paires (en commençant par le chiffre des unités) est soit 0, soit divisible par 11.  
    Étudiez le tableau suivant.

    \[
    \begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Nbre} & \text{S des chiffres en positions impaires} & \text{S des chiffres en positions paires} & \text{Différence} \\
    \hline
    3465 & 5 + 4 = 9 & 6 + 3 = 9 & 9 - 9 = 0 \\
    6457 & 7 + 4 = 11 & 5 + 6 = 11 & 11 - 11 = 0 \\
    95986 & 6 + 9 + 9 = 24 & 8 + 5 = 13 & 24 - 13 = 11 \\
    280929 & 9 + 9 + 8 = 26 & 2 + 0 + 2 = 4 & 26 - 4 = 22 \\
    \hline
    \end{array}
    \]

    Ainsi, les nombres 3465, 6457, 95986 et 280929 sont tous divisibles par 11.

    Règles de divisibilité pour les nombres composés :

    Voici les règles pour tester la divisibilité d'un nombre par des nombres composés comme 4, 6, 8, 12 et 25 :

    1. Divisibilité par 4 
    Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4.  
    Par exemple, dans le nombre 80372, le nombre 72 formé par les chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4. Vous pouvez vérifier que ce nombre est divisible par 4.

    2. Divisibilité par 6 
    Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible à la fois par 2 et par 3, c'est-à-dire qu'il doit être pair et la somme de ses chiffres doit être divisible par 3.  
    Par exemple, le nombre 68370 est divisible par 6. Il est pair et la somme de ses chiffres \((6 + 8 + 3 + 7 + 0)\) est 24, qui est divisible par 3.

    3. Divisibilité par 8 
    Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par les chiffres aux positions des centaines, des dizaines et des unités est divisible par 8.

  • Select activity Divisibilité par 8

    Divisibilité par 8:
    
    Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par les chiffres des centaines, des dizaines et des unités est divisible par 8.

    Considérons le nombre 207608.

    Le nombre formé par les chiffres des centaines, des dizaines et des unités, c'est-à-dire 608, est divisible par 8.

    \[
    8:207608
    \]

    Q=25951

    Ce nombre est divisible par 8.

    Puisque 705 n'est pas divisible par 8, le nombre 8705 n'est pas divisible par 8.

    \[
    8:8705
    \]

    Q=1088  R= 1

    Divisibilité par 25
    Un nombre est divisible par 25 si le nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités est divisible par 25.

    Par exemple, dans les nombres 8750, 23275, 8926825, nous observons que 50, 75 et 25, c'est-à-dire les nombres formés par les chiffres des dizaines et des unités, sont divisibles par 25. Ainsi, tous ces nombres sont divisibles par 25.

    \[
    25:8750
    \]

    Q=350
    À partir des règles ci-dessus, nous observons que :

    Un nombre est divisible par un autre nombre s'il est divisible par ses facteurs premiers entre eux.  
    Ainsi, un nombre divisible par 2 et 5 sera également divisible par 10.

    Exemple 13 : Vérifier la divisibilité de 19440 par 18.
    Les facteurs premiers entre eux de 18 sont 2 et 9.

    Par conséquent, pour vérifier la divisibilité de 19440 par 18, nous vérifions si le nombre donné est divisible par 2 et 9.

    19440 : C'est un nombre pair, donc il est divisible par 2.

    La somme des chiffres = \(1 + 9 + 4 + 4 + 0 = 18\), qui est divisible par 9, donc 19440 est également divisible par 9.

    Ainsi, 19440 est divisible par \(2 \times 9\), c'est-à-dire 18.

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