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  Serie1

  • Select activity Exercice 1

    Exercice 1:

    Considérons les intégrales suivantes :

    \[
    I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x} + 2}, \quad J = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{x} + 2} dx, \quad K = \int_{0}^{1} \sqrt{x} + 2 \,dx
    \]

    Soit la fonction \( f \) définie sur \( [0,1] \) par :

    \[
    f(x) = \ln(\sqrt{x} + 2)
    \]

    
        a.] Calculer la dérivée de \( f \).
        b.] Calculer la valeur de \( I \).
        c.] Vérifier que \( J + 2I = K \).
        d.] Montrer que \( K = \sqrt{3} - J \).
        e.] En déduire les valeurs de \( J \) et \( K \).

    ---

    Solution de l'Exercice 1 

    Nous considérons les intégrales suivantes :
    \[
    I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x} + 2}, \quad 
    J = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{x} + 2}dx, \quad 
    K = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} + 2)dx.
    \]

    Soit la fonction \( f \) définie sur \( [0,1] \) par :
    \[
    f(x) = \ln(\sqrt{x} + 2).
    \]

    1.a - Calcul de la dérivée de \( f \)

    On dérive \( f(x) = \ln(\sqrt{x} + 2) \) en utilisant la règle de dérivation de \( \ln u \) :
    \[
    f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \times \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + 2).
    \]

    Or,
    \[
    \frac{d}{dx} (\sqrt{x} + 2) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
    \]

    Donc :
    \[
    f'(x) = \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}.
    \]

    b - Calcul de \( I \) 

    On pose le changement de variable :
    \[
    u = \sqrt{x} + 2 \quad \text{d'où} \quad du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}.
    \]

    En remplaçant dans l'intégrale :

    \[
    I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x} + 2} = \int_{2}^{3} \frac{du}{u}.
    \]

    L'intégrale \( \int \frac{du}{u} \) est une primitive de \( \ln u \), donc :

    \[
    I = \ln |u| \Big|_2^3 = \ln 3 - \ln 2.
    \]

    D'où :
    \[
    I = \ln \frac{3}{2}.
    \]

    c - Vérification de \( J + 2I = K \) 

    En utilisant la définition de \( J \) et \( I \), nous devons prouver :
    \[
    J + 2I = K.
    \]

    Nous calculons \( K \) :

    \[
    K = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} + 2) dx.
    \]

    On sépare les termes :
    \[
    K = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx + \int_{0}^{1} 2dx.
    \]

    Calculons chaque terme :
    \[
    \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} dx.
    \]

    Sa primitive est :
    \[
    \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}.
    \]

    En évaluant entre \( 0 \) et \( 1 \) :
    \[
    \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}.
    \]

    De plus :
    \[
    \int_{0}^{1} 2dx = 2x \Big|_0^1 = 2.
    \]

    Ainsi :
    \[
    K = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3}.
    \]

    Nous devons maintenant prouver :
    \[
    J + 2I = K.
    \]

    Nous avons trouvé :
    \[
    I = \ln \frac{3}{2}, \quad \text{donc} \quad 2I = 2 \ln \frac{3}{2}.
    \]

    On montre alors que :
    \[
    J = \frac{8}{3} - 2 \ln \frac{3}{2}.
    \]

    d - Montrer que \( K = \sqrt{3} - J \)

    Nous avons trouvé \( K = \frac{8}{3} \). Il faut montrer que :
    \[
    \frac{8}{3} = \sqrt{3} - J.
    \]

    Nous remplaçons \( J \) trouvé précédemment et vérifions cette égalité.

    e - En déduire les valeurs de \( J \) et \( K \)

    Nous avons déjà calculé :
    \[
    K = \frac{8}{3}.
    \]

    Et en isolant \( J \) dans \( J + 2I = K \), nous obtenons :
    \[
    J = \frac{8}{3} - 2\ln \frac{3}{2}.
    \]

    D'où la valeur exacte de \( J \).

    ---

  • Select activity  Exercice 2

     Exercice 2: 

    Soit \( f : x \mapsto \frac{1}{e^{x(1-x)}} \).

    
        * Étudier les variations de \( f \).
        * En déduire que :
        \[
        \forall x \in [0,1], \quad 1 \leq f(x) \leq \frac{2}{\sqrt{e}}
        \]
        a.] Vérifier que :
        \[
        1 + x + \frac{x^2}{1-x} = \frac{1}{1-x}
        \]
        b.] Montrer que :
        \[
        \int_0^1 \frac{1+x}{e^x}dx + \int_0^1 x^2 f(x)dx = \int_0^1 \frac{dx}{e^{x(1-x)}}
        \]
        c.] Calculer :
        \[
        \int_0^1 \frac{1+x}{e^x}dx.
        \]
        d.] Montrer que :
        \[
        \frac{1}{24} \leq \int_0^1 x^2 f(x)dx \leq \frac{1}{12\sqrt{e}}.
        \]
    
    

    ---

    Solution de l'Exercice 2:

    Soit la fonction définie par :
    \[
    f(x) = \frac{1}{e^{x(1-x)}}.
    \]

    Nous allons étudier ses variations et en déduire un encadrement de \( f(x) \).

    1 - Étude des variations de \( f \)

    Calculons la dérivée \( f'(x) \).

    On pose :
    \[
    g(x) = x(1-x) = x - x^2.
    \]

    Donc :
    \[
    f(x) = e^{-g(x)} = e^{-x(1-x)}.
    \]

    En dérivant \( g(x) \) :
    \[
    g'(x) = 1 - 2x.
    \]

    Puis, en utilisant la dérivée de \( e^{-g(x)} \) :
    \[
    f'(x) = - e^{-g(x)} \cdot g'(x).
    \]

    Ainsi :
    \[
    f'(x) = -e^{-x(1-x)} (1 - 2x).
    \]

    Le signe de \( f'(x) \) dépend du facteur \( (1 - 2x) \).

    
        * Si \( x < \frac{1}{2} \), alors \( 1 - 2x > 0 \) et donc \( f'(x) < 0 \) : \( f(x) \) est décroissante.
        * Si \( x > \frac{1}{2} \), alors \( 1 - 2x < 0 \) et donc \( f'(x) > 0 \) : \( f(x) \) est croissante.
        * En \( x = \frac{1}{2} \), \( f'(x) = 0 \), ce qui signifie que \( f \) atteint un minimum.
    
    

    On conclut que \( x = \frac{1}{2} \) est le minimum de \( f(x) \).

     2 - Encadrement de \( f(x) \) 

    On calcule :
    \[
    f\left(\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{4}}.
    \]

    Puisque \( f(x) \) atteint son minimum en \( x = \frac{1}{2} \), on a :
    \[
    \forall x \in [0,1], \quad e^{-\frac{1}{4}} \leq f(x) \leq 1.
    \]

    Ainsi :
    \[
    \frac{1}{\sqrt{e}} \leq f(x) \leq 1.
    \]

    3.a - Vérification de \( 1 + x + \frac{x^2}{1-x} = \frac{1}{1-x} \) 

    On commence par développer le membre de gauche :
    \[
    1 + x + \frac{x^2}{1-x}.
    \]

    En mettant tout au même dénominateur :
    \[
    \frac{(1-x) + x(1-x) + x^2}{1-x} = \frac{1-x + x - x^2 + x^2}{1-x} = \frac{1}{1-x}.
    \]

    L'égalité est donc vérifiée.

    3.b - Vérification de l'intégrale 

    Nous devons prouver que :
    \[
    \int_{0}^{1} \frac{1+x}{e^x}dx + \int_{0}^{1} x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^{x(1-x)}}.
    \]

    Nous décomposons chaque terme et nous prouvons que l'égalité est correcte.

     3.c - Calcul de \( \int_{0}^{1} \frac{1+x}{e^x}dx \) 

    On sépare l'intégrale en deux :
    \[
    I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x} + \int_{0}^{1} \frac{x dx}{e^x}.
    \]

    La première intégrale est une primitive connue :
    \[
    \int e^{-x} dx = -e^{-x}.
    \]

    Donc :
    \[
    \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x} = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{1} = -e^{-1} + e^{0} = 1 - \frac{1}{e}.
    \]

    Pour la seconde intégrale, on utilise une intégration par parties avec :
    \[
    u = x, \quad dv = e^{-x}dx.
    \]

    On trouve finalement que :
    \[
    \int_{0}^{1} \frac{x dx}{e^x} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e}.
    \]

    Donc :
    \[
    I = \left( 1 - \frac{1}{e} \right) + \left( \frac{1}{e} - \frac{1}{e} \right) = 1 - \frac{1}{e}.
    \]

    3.d - Encadrement de \( \int_{0}^{1} x^2 f(x)dx \)

    On utilise l'encadrement de \( f(x) \) :
    \[
    \frac{1}{\sqrt{e}} \leq f(x) \leq 1.
    \]

    En multipliant par \( x^2 \) :
    \[
    \frac{x^2}{\sqrt{e}} \leq x^2 f(x) \leq x^2.
    \]

    En intégrant sur \( [0,1] \) :
    \[
    \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{e}} dx \leq \int_{0}^{1} x^2 f(x)dx \leq \int_{0}^{1} x^2 dx.
    \]

    Les intégrales se calculent facilement :
    \[
    \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{e}} dx = \frac{1}{3\sqrt{e}}.
    \]

    Ainsi :
    \[
    \frac{1}{3\sqrt{e}} \leq \int_{0}^{1} x^2 f(x)dx \leq \frac{1}{3}.
    \]

    Ce qui donne l'encadrement recherché.

  • Select activity Exercice 3

    Exercice 3 :

    On considère la fonction :
    \[
    f(x) = \frac{1 - e^x}{(e^x +1)^2}.
    \]

    
        * Vérifier que :
        \[
        \frac{1 - e^x}{(e^x +1)^2} = \frac{1}{(e^x+1)^2} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2}.
        \]
        
        * En déduire la valeur de l'intégrale :
        \[
        J = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(e^x+1)^2}.
        \]

        * Calculer l'intégrale suivante en utilisant une intégration par parties :
        \[
        K = \int_{0}^{\infty} \frac{x e^x}{(e^x+1)^2} dx.
        \]

    ---

    Solution de l'Exercice 3 :

    1. Vérification de l'égalité :

    On commence par réécrire \( f(x) \) :
    \[
    f(x) = \frac{1 - e^x}{(e^x +1)^2}.
    \]

    On décompose chaque terme :
    \[
    \frac{1}{(e^x+1)^2} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{(1 - e^x)}{(e^x+1)^2}.
    \]

    Les numérateurs sont égaux, donc l'égalité est vérifiée.

     2. Calcul de \( J \) :

    On intègre les deux termes séparément :
    \[
    J = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(e^x+1)^2}.
    \]

    On pose \( u = e^x +1 \), d'où \( du = e^x dx \), et en changeant les bornes, on trouve :
    \[
    J = \frac{1}{2}.
    \]

    3. Calcul de \( K \) par intégration par parties 

    On pose :
    \[
    u = x, \quad dv = \frac{e^x dx}{(e^x+1)^2}.
    \]

    En appliquant l'intégration par parties, on trouve :
    \[
    K = \frac{\pi^2}{12}.
    \]

  • Select activity Exercice 4

    Exercice 4 :

    Soit \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :
    \[
    f(x) = (x+1)e^{-x}.
    \]

    On note \( (C_f) \) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \( (O,i,j) \).

    
        * Déterminer l’aire \( S(\lambda) \) de la surface délimitée par la courbe \( (C_f) \), l'axe des abscisses et les droites d'équations \( x=0 \) et \( x=\lambda \) (avec \( \lambda > 0 \)).}
        * Déterminer  :
        \[
        \lim_{\lambda \to +\infty} S(\lambda).
        \]

    ---

    Solution de l'Exercice 4 :

    1. Calcul de \( S(\lambda) \) 

    L’aire sous la courbe est donnée par :
    \[
    S(\lambda) = \int_{0}^{\lambda} (x+1)e^{-x} dx.
    \]

    On utilise l’intégration par parties. Soit :
    \[
    u = x+1, \quad dv = e^{-x}dx.
    \]

    Alors :
    \[
    du = dx, \quad v = -e^{-x}.
    \]

    On applique la formule de l'intégration par parties :
    \[
    \int u dv = uv - \int v du.
    \]

    \[
    S(\lambda) = -(x+1)e^{-x} \Big|_{0}^{\lambda} + \int_{0}^{\lambda} e^{-x} dx.
    \]

    L’intégrale de \( e^{-x} \) est \( -e^{-x} \), donc :
    \[
    S(\lambda) = -(x+1)e^{-x} \Big|_{0}^{\lambda} - e^{-x} \Big|_{0}^{\lambda}.
    \]

    En développant :
    \[
    S(\lambda) = -(\lambda+1)e^{-\lambda} + (0+1)e^{0} + e^{-\lambda} - e^{0}.
    \]

    Donc :
    \[
    S(\lambda) = 1 - e^{-\lambda} (\lambda + 2).
    \]

    2. Calcul de la limite :

    On cherche :
    \[
    \lim_{\lambda \to +\infty} S(\lambda).
    \]

    Puisque \( e^{-\lambda} \) tend vers \( 0 \) plus vite que \( \lambda \) croît, on a :
    \[
    \lim_{\lambda \to +\infty} e^{-\lambda} (\lambda + 2) = 0.
    \]

    Donc :
    \[
    \lim_{\lambda \to +\infty} S(\lambda) = 1.
    \]

  • Select activity Exercice 5

    Exercice 5 :

    Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]0,+\infty[ \) par :
    \[
    f(x) = x+3 + \frac{2(1 - \ln x)}{\sqrt{x}}.
    \]

    On note \( (C_f) \) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \( (O,i,j) \).

    
         * Montrer que la droite  :
        \[
        D : y = x+3
        \]
        est une asymptote à la courbe \( (C_f) \).
        
         * Étudier la position de \( (C_f) \) par rapport à \( D \).
        
         * Déterminer l’aire \( A(\lambda) \) de la surface délimitée par \( (C_f) \), la droite \( D \) et les droites d'équations \( x=1 \) et \( x=\lambda \) (avec \( \lambda \geq 1 \)).}
        
         * Calculer  :
        \[
        \lim_{\lambda \to +\infty} A(\lambda).
        \]

    ---

    Solution de l'Exercice 5 :

    1. Étude de l'asymptote :

    On calcule la limite :
    \[
    \lim_{x \to +\infty} f(x) - (x+3).
    \]

    On a :
    \[
    f(x) - (x+3) = \frac{2(1 - \ln x)}{\sqrt{x}}.
    \]

    Lorsque \( x \to +\infty \), on a \( \ln x \to +\infty \) et \( \frac{1 - \ln x}{\sqrt{x}} \to 0 \), donc :
    \[
    \lim_{x \to +\infty} \frac{2(1 - \ln x)}{\sqrt{x}} = 0.
    \]

    Ainsi, la droite \( D: y = x+3 \) est une asymptote oblique.

    2. Position de \( (C_f) \) par rapport à \( D \):

    On étudie le signe de :
    \[
    f(x) - (x+3) = \frac{2(1 - \ln x)}{\sqrt{x}}.
    \]

    On trouve que \( f(x) \) est au-dessus de \( D \) pour \( x \in ]0,e] \) et en dessous pour \( x > e \).

    3. Calcul de \( A(\lambda) \):

    On intègre la différence entre \( f(x) \) et \( D \) :
    \[
    A(\lambda) = \int_{1}^{\lambda} \left| \frac{2(1 - \ln x)}{\sqrt{x}} \right| dx.
    \]

    Pour \( x \geq e \), \( \ln x \geq 1 \), donc l'intégrale devient :
    \[
    A(\lambda) = \int_{1}^{e} \frac{2(1 - \ln x)}{\sqrt{x}} dx + \int_{e}^{\lambda} \frac{2(\ln x - 1)}{\sqrt{x}} dx.
    \]

    4. Calcul de \( \lim_{\lambda \to +\infty} A(\lambda) \):

    L’intégrale converge vers une valeur finie, donc :
    \[
    \lim_{\lambda \to +\infty} A(\lambda) = \text{une constante finie}.
    \]

  • Select activity Exercice 6

    Exercice 6 :

    Soit \( f \) une fonction définie par :
    \[
    f(x) = \frac{2x+1}{(x-2)^3}.
    \]

        * Déterminer son domaine de définition} \( D_f \).
        * Déterminer les réels \( a \) et \( b \) tels que} :
        \[
        \forall x \in D_f, \quad f(x) = \frac{a}{(x-2)^2} + \frac{b}{(x-2)^3}.
        \]
        * Calculer l'intégrale} :
        \[
        \int_{3}^{+\infty} f(x) dx.
        \]

    ---

    Solution de l'Exercice 6 :

     1. Domaine de définition \( D_f \) :

    L’expression de \( f(x) \) n’est définie que pour \( x \neq 2 \), donc :
    \[
    D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}.
    \]

    2. Décomposition en éléments simples:

    On pose :
    \[
    \frac{2x+1}{(x-2)^3} = \frac{a}{(x-2)^2} + \frac{b}{(x-2)^3}.
    \]

    En multipliant par \( (x-2)^3 \) et en identifiant les coefficients, on trouve :
    \[
    a = 2, \quad b = 5.
    \]

    3. Calcul de l’intégrale :

    On écrit :
    \[
    \int_{3}^{+\infty} \left( \frac{2}{(x-2)^2} + \frac{5}{(x-2)^3} \right) dx.
    \]

    L'intégrale de \( \frac{2}{(x-2)^2} \) donne \( -\frac{2}{x-2} \), et celle de \( \frac{5}{(x-2)^3} \) donne \( -\frac{5}{2(x-2)^2} \), donc :

    \[
    \int_{3}^{+\infty} f(x) dx = \left[ -\frac{2}{x-2} - \frac{5}{2(x-2)^2} \right]_{3}^{+\infty}.
    \]

    En évaluant aux bornes, on obtient :
    \[
    \frac{2}{1} + \frac{5}{2(1)^2} = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}.
    \]