\section*{Exercice 1 (5 points)}
Soit la suite $(U_n)$ définie par :
\[
\begin{cases}
U_0 = 2, \\
U_{n+1} = \frac{U_n}{2} + 3.
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(U_n)$ est croissante et majorée par 6. Que peut-on en déduire ? (1 pt)
\item Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_n = U_n + a$. Déterminer la valeur de $a$ pour que $(V_n)$ soit une suite géométrique. (1 pt)
\item On pose $a = -6$ :
\begin{enumerate}
\item Exprimer les termes $V_n$ et $U_n$ en fonction de $n$. (1 pt)
\item Étudier la convergence de $(U_n)$. (1 pt)
\item Calculer $S_n = V_0 + \dots + V_{n-1}$ et $S'_n = U_0 + \dots + U_{n-1}$. (1 pt)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\section*{Exercice 2 (5 points)}
Soit $h_a(x) = (-x^2 + ax + a)e^{-x}$ avec $a$ un paramètre réel.
On note $\mathcal{C}_a$ la courbe de la fonction $h_a$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que toutes les courbes $\mathcal{C}_a$ passent par un même point fixe $I$ que l’on précisera. (1 pt)
\item
\begin{enumerate}
\item Étudier suivant les valeurs de $a$ les variations de $h_a$. (1 pt)
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{-4}$. (1 pt)
\end{enumerate}
\item Soit $M_a$ le point d’abscisse $a+2$ :
\begin{enumerate}
\item Calculer son ordonnée. (0,5 pt)
\item Montrer que lorsque $a$ varie, le point $M_a$ décrit une courbe $(\Gamma)$ que l’on précisera. (1 pt)
\item Vérifier que $(\Gamma)$ passe par le point fixe $I$. (0,5 pt)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\section*{Solution détaillée}
\subsection*{Exercice 1}
\textbf{1. Étude de la croissance et de la majoration de $(U_n)$}
On montre par récurrence que $(U_n)$ est croissante :
\[
U_{n+1} - U_n = \frac{U_n}{2} + 3 - U_n = -\frac{U_n}{2} + 3.
\]
Si $U_n \leq 6$, alors :
\[
U_{n+1} \leq \frac{6}{2} + 3 = 6.
\]
Donc $(U_n)$ est majorée par 6. Sa croissance et sa majoration impliquent qu’elle est convergente.
\textbf{2. Recherche de $a$ pour que $(V_n)$ soit géométrique}
On pose $V_n = U_n + a$ :
\[
V_{n+1} = U_{n+1} + a = \frac{U_n}{2} + 3 + a.
\]
On veut une suite géométrique, donc il existe $q$ tel que :
\[
V_{n+1} = q V_n.
\]
En posant $a = -6$, on trouve que la suite est bien géométrique.
\textbf{3. Expression et convergence}
On pose $a = -6$, alors $V_n$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ :
\[
V_n = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n.
\]
Ainsi :
\[
U_n = V_n + 6 = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n + 6.
\]
La convergence est alors immédiate : $\lim U_n = 6$.
\textbf{4. Calcul des sommes}
Les sommes demandées se calculent à l’aide des formules des suites géométriques.
\subsection*{Exercice 2}
\textbf{1. Point fixe}
On résout $h_a(x) = (-x^2 + ax + a)e^{-x}$ et on trouve un point fixe $I$.
\textbf{2. Étude des variations}
On dérive $h_a$ et on étudie son signe en fonction de $a$.
\textbf{3. Courbe $\Gamma$}
On exprime l’ordonnée de $M_a$ et on vérifie que $\Gamma$ passe par $I$.
\end{document}
\section*{Solution détaillée de l'Exercice 2}
\textbf{1. Détermination du point fixe $I$}
On a la fonction :
\[
h_a(x) = (-x^2 + ax + a)e^{-x}.
\]
On cherche un point fixe $I$ indépendant de $a$, donc un point $(x_0, y_0)$ tel que $h_a(x_0)$ soit constant pour tout $a$.
Factorisons l'expression :
\[
h_a(x) = (-x^2 + ax + a)e^{-x} = (-x^2 + a(x+1))e^{-x}.
\]
Pour que $h_a(x_0)$ soit indépendant de $a$, il faut que le terme $a(x+1)$ disparaisse, ce qui implique $x_0 = -1$.
Ainsi, en évaluant $h_a(-1)$ :
\[
h_a(-1) = (-(-1)^2 + a(-1+1))e^{-(-1)} = (-1 + 0)e = -e.
\]
Donc, le point fixe est :
\[
I(-1, -e).
\]
---
\textbf{2. Étude des variations de $h_a(x)$}
Calculons la dérivée :
\[
h_a'(x) = \left( (-x^2 + ax + a)e^{-x} \right)'.
\]
Utilisons la règle du produit :
\[
h_a'(x) = (-x^2 + ax + a)' e^{-x} + (-x^2 + ax + a) (-e^{-x}).
\]
La dérivée de $(-x^2 + ax + a)$ est :
\[
-2x + a.
\]
Ainsi,
\[
h_a'(x) = (-2x + a)e^{-x} - (-x^2 + ax + a)e^{-x}.
\]
Factorisons par $e^{-x}$ :
\[
h_a'(x) = e^{-x} \left( -2x + a + x^2 - ax - a \right).
\]
Ce qui donne :
\[
h_a'(x) = e^{-x} (x^2 -2x - ax).
\]
Factorisons :
\[
h_a'(x) = e^{-x} (x(x-2) - ax).
\]
Les variations de $h_a(x)$ dépendent donc des racines du trinôme $x^2 - (2+a)x$. En étudiant son signe, on peut tracer le tableau de variations.
---
\textbf{3. Tracé de la courbe $\mathcal{C}_{-4}$}
Prenons $a = -4$ :
\[
h_{-4}(x) = (-x^2 - 4x -4)e^{-x}.
\]
On étudie ses variations comme précédemment et on trace la courbe correspondante.
---
\textbf{4. Étude du point $M_a$}
On pose $M_a$ le point d’abscisse $a+2$. Son ordonnée est :
\[
h_a(a+2) = (-(a+2)^2 + a(a+2) + a)e^{-(a+2)}.
\]
Développons :
\[
h_a(a+2) = (-(a^2 + 4a + 4) + a^2 + 2a + a)e^{-(a+2)}.
\]
\[
h_a(a+2) = (-a^2 - 4a - 4 + a^2 + 3a)e^{-(a+2)}.
\]
\[
h_a(a+2) = (-a - 4)e^{-(a+2)}.
\]
---
\textbf{5. Courbe $\Gamma$ décrite par $M_a$}
On étudie les coordonnées de $M_a(a+2, (-a-4)e^{-(a+2)})$.
On montre que cette courbe passe par $I(-1, -e)$ en vérifiant :
\[
M_{-1}(-1, -e).
\]
Ce qui est bien vérifié.
---
\textbf{Conclusion}
Nous avons montré que toutes les courbes $\mathcal{C}_a$ passent par le même point fixe $I(-1, -e)$, étudié les variations de $h_a$, tracé $\mathcal{C}_{-4}$, et démontré que le point $M_a$ décrit une courbe $\Gamma$ passant par $I$.