Exercice 1 (5 points)
Soit la suite \( (U_n) \) définie par :
\[
\begin{cases}
U_0 = 2, \\
U_{n+1} = \dfrac{U_n}{2} + 3.
\end{cases}
\]
1. Montrer que \( (U_n) \) est croissante et majorée par 6
Croissance : Étudions \( U_{n+1} - U_n \) :
\[
U_{n+1} - U_n = \dfrac{U_n}{2} + 3 - U_n = -\dfrac{U_n}{2} + 3.
\]
On a :
\[
U_n \leq 6 \Rightarrow -\dfrac{U_n}{2} + 3 \geq 0.
\]
Donc si \( U_n \leq 6 \), alors \( U_{n+1} \geq U_n \). On vérifie par récurrence que \( U_n \leq 6 \), donc la suite est croissante.
- Montrons que \( U_n \leq 6 \) par récurrence :
- \( U_0 = 2 \leq 6 \)
- Si \( U_n \leq 6 \), alors :
\[
U_{n+1} = \dfrac{U_n}{2} + 3 \leq \dfrac{6}{2} + 3 = 6.
\]
Donc la suite est majorée par 6.
La suite \( (U_n) \) est croissante et majorée, donc elle est convergente.
2. Déterminer \( a \) pour que \( V_n = U_n + a \) soit géométrique
On cherche un réel \( a \) tel que \( V_n = U_n + a \) soit géométrique.
On a :
\[
V_{n+1} = U_{n+1} + a = \dfrac{U_n}{2} + 3 + a = \dfrac{V_n - a}{2} + 3 + a.
\]
\[
V_{n+1} = \dfrac{V_n}{2} + \left( -\dfrac{a}{2} + 3 + a \right) = \dfrac{V_n}{2} + \left( \dfrac{a}{2} + 3 \right).
\]
Pour que \( V_{n+1} = q V_n \), il faut que :
\[
\dfrac{a}{2} + 3 = 0 \Rightarrow a = -6.
\]
- 3. Expressions explicites et convergence
Avec \( a = -6 \), on a \( V_n = U_n - 6 \), et :
\[
V_{n+1} = \dfrac{V_n}{2}.
\]
Donc \( (V_n) \) est une suite géométrique de raison \( \dfrac{1}{2} \) et de premier terme :
\[
V_0 = U_0 - 6 = 2 - 6 = -4.
\]
Donc :
\[
V_n = -4 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n, \quad U_n = V_n + 6 = -4 \left( \dfrac{1}{2} \right)^n + 6.
\]
\[
\lim_{n \to \infty} U_n = 6.
\]
4. Calcul de \( S_n = \sum_{k=0}^{n-1} V_k \) et \( S'_n = \sum_{k=0}^{n-1} U_k \)
Somme de \( V_n \) :
\[
S_n = -4 \sum_{k=0}^{n-1} \left( \dfrac{1}{2} \right)^k = -4 \cdot \dfrac{1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n}{1 - \dfrac{1}{2}} = -8 \left( 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right).
\]
Somme de \( U_n \) :
\[
S'_n = \sum_{k=0}^{n-1} U_k = \sum_{k=0}^{n-1} (V_k + 6) = S_n + 6n = -8 \left( 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right) + 6n.
\]
Exercice 2 (5 points)
On considère la fonction :
\[
h_a(x) = (-x^2 + ax + a)e^{-x}.
\]
1. Point fixe des courbes \( \mathcal{C}_a \)
Factorisons :
\[
h_a(x) = (-x^2 + a(x + 1))e^{-x}.
\]
Le terme en \( a(x + 1) \) disparaît si \( x = -1 \). On a alors :
\[
h_a(-1) = (-1 + 0)e = -e.
\]
Donc toutes les courbes \( \mathcal{C}_a \) passent par le point fixe :
\[
I(-1, -e).
\]
2. Étude des variations de \( h_a \)
On dérive :
\[
h_a'(x) = \left[ (-x^2 + ax + a)' - (-x^2 + ax + a) \right] e^{-x}
\]
\[
= (-2x + a + x^2 - ax - a)e^{-x} = (x^2 - (2 + a)x) e^{-x}.
\]
Donc :
\[
h_a'(x) = x(x - (2 + a))e^{-x}.
\]
Les racines sont \( x = 0 \) et \( x = 2 + a \), ce qui permet de dresser un tableau de variations en fonction de \( a \).
3. Tracé de la courbe \( \mathcal{C}_{-4} \)
Pour \( a = -4 \), on a :
\[
h_{-4}(x) = (-x^2 - 4x - 4)e^{-x}.
\]
Dérivée :
\[
h'_{-4}(x) = x(x + 2)e^{-x}.
\]
On étudie le signe de la dérivée sur \( \mathbb{R} \) pour tracer la courbe.
4. Étude du point \( M_a \) d'abscisse \( a+2 \)
- a) Ordonnée de \( M_a \)
\[
h_a(a+2) = (-(a+2)^2 + a(a+2) + a)e^{-(a+2)}.
\]
Développement :
\[
h_a(a+2) = (-a^2 - 4a - 4 + a^2 + 2a + a)e^{-(a+2)} = (-a - 4)e^{-(a+2)}.
\]
- b) Courbe \( \Gamma \) décrite par \( M_a \)
Coordonnées de \( M_a \) :
\[
x = a + 2, \quad y = (-a - 4)e^{-(a+2)}.
\]
Mais \( a = x - 2 \), donc :
\[
y = (-(x - 2) - 4)e^{-x} = (-x - 2)e^{-x}.
\]
Donc \( \Gamma \) est la courbe définie par :
\[
\Gamma : y = (-x - 2)e^{-x}.
\]
- c) Vérification que \( \Gamma \) passe par \( I \)
On vérifie que :
\[
y = (-(-1) - 2)e^{-(-1)} = (1 - 2)e = -e.
\]
Donc \( I(-1, -e) \in \Gamma \).